Winkelgrößen-Umrechner

Astronomie der kleinen Winkel: wie groß Objekte am Himmel von der Erde aus erscheinen.

Rechenbeispiel — Winkelgrößen-Umrechner

Winkelgröße (Radiant)	0.0090395 rad
Winkelgröße (Grad)	0.51792°
Winkelgröße (Bogenminuten)	31.075′
Winkelgröße (Bogensekunden)	1864.5′′
Fehler der Kleinwinkelnäherung	0.00068094%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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warum D/d nie exakt stimmt 🖖

Die Kleinwinkelformel θ ≈ D/d ist eine Näherung erster Ordnung der exakten Beziehung θ = 2 arctan(D/2d). Die exakte Formel folgt aus der Geometrie: Der Beobachter sieht eine Sehne der Länge D in der Entfernung d, und der volle Winkel ist das Doppelte des Arkustangens der halben Sehne geteilt durch die Entfernung. Die Näherung funktioniert, weil arctan(x) ≈ x für kleine x gilt. Für den Mond (D ≈ 3475 km, d ≈ 384.000 km) beträgt das Verhältnis D/d ≈ 0,0090, und der Fehler liegt bei nur 0,0007 %. Bei 10° beträgt der Fehler bereits 0,25 %, bei 60° erreicht er 10 %. In der Astronomie erfüllt fast jedes Ziel D ≪ d, sodass die Näherung bis auf Millionstel genau ist — doch bei Objekten in geringer Entfernung (ein Fußballfeld aus 50 m Entfernung, ein Planet bei einem nahen Vorbeiflug) wird die Arkustangens-Formel wichtig.

Es geht ums Wie-groß, nicht ums Wie-weit 🖖

Die Winkelgröße misst, wie groß etwas erscheint, nicht seine wahre Größe — ein Winkel, keine Länge. Ein ferner Wolkenkratzer und eine Münze auf Armlänge können gleich groß wirken, weil sich Größe und Entfernung im Verhältnis D/d ausgleichen. Die Sonne ist etwa 400-mal breiter als der Mond, aber auch rund 400-mal weiter entfernt, sodass beide etwa 0.5° am Himmel einnehmen — der Zufall, der totale Sonnenfinsternisse möglich macht.

Im expandierenden Universum wirkt Fernes größer 🖖

Die Kleinwinkel-Idee setzt einen flachen, statischen Raum voraus, doch die Kosmologie durchbricht das. Weil sich das Universum ausdehnte, während uraltes Licht zu uns unterwegs war, verläuft die Winkeldurchmesserdistanz nicht monoton: Sie erreicht bei einer Rotverschiebung von z ≈ 1.6 ihr Maximum. Eine Galaxie fester Größe schrumpft am Himmel daher nur bis dorthin — jenseits davon erscheinen entferntere (jüngere) Galaxien tatsächlich größer statt kleiner.

Wo deine Antwort landet

Die Raumstation ist ein größeres Ziel als Jupiter

Ein Winkel ist ein Verhältnis, und dem Verhältnis ist egal, welcher Term groß ist. Ein 109 Meter breites Raumfahrzeug in 420 km Höhe schlägt einen 140.000 Kilometer großen Planeten in vier astronomischen Einheiten Entfernung — und zwar deutlich. Jede Zeile unten ist ein echter Durchmesser und eine echte Entfernung, gerechnet mit demselben 2·arctan(D/2d), das auch das Werkzeug benutzt. Du kannst jede Zeile abtippen und bekommst denselben Wert zurück.

Worauf du schaust	Durchmesser	Entfernung	Scheinbare Größe
Ein Golfball auf Armlänge	42,67 mm	0,70 m	3,492°
Die Sonne	1.392.700 km	1,00 AU	32,00′
Der Vollmond	3.475 km	384.400 km	31,08′
Die Raumstation im Überflug	109 m	420 km	53,53″
Jupiter in Opposition	139.822 km	4,20 AU	45,90″
Eine astronomische Einheit, aus einem Parsec gesehen	149.597.871 km	3,26 ly	1,0000″
Die Sonne, von Proxima Centauri aus gesehen	1.392.700 km	4,25 ly	7,150 mas
Derselbe Golfball, auf dem Mond liegend	42,67 mm	384.400 km	22,90 µas

Die Parsec-Zeile beglaubigt die anderen sieben. Ein Parsec ist definiert als die Entfernung, aus der eine astronomische Einheit unter einer Bogensekunde erscheint — diese Zeile muss also 1,0000″ ergeben. Sie tut es, auf zwölf Stellen genau, mit derselben Formel wie alles darüber und darunter. Nichts in der Tabelle legt diesen Wert fest, sondern die Definition der Einheit. Zwei Zeilen lassen sich nicht direkt eintippen: Das Entfernungsmenü kennt kein Parsec, nimm also 3,26 ly, und das Durchmessermenü kennt keine Millimeter, der Golfball ist also 0,04267 m. Und die letzte Zeile ist die, die man behalten sollte. Ein Golfball auf dem Mond misst 22,9 Mikrobogensekunden, und der Ring, den das Event Horizon Telescope um das Schwarze Loch in M87 aufgelöst hat, ist 42 Mikrobogensekunden groß — nicht einmal doppelt so breit.

Quellen (6)

The parsec, and the self-check in the middle of the table: IAU, "Measuring the Universe" — a parsec is the distance at which one astronomical unit subtends one arcsecond
Moon diameter and mean distance: NASA Science, Earth’s Moon: Facts
Jupiter radius 69,911 km and 5.2 au from the Sun: NASA Science, Jupiter: Facts
ISS 109 m across the solar arrays: NASA, International Space Station Facts and Figures
Distance to Proxima Centauri: Gaia Collaboration 2021, "Gaia Early Data Release 3: The Gaia Catalogue of Nearby Stars", A&A 649, A6
The 42 µas ring, for the last line of the note: Event Horizon Telescope Collaboration 2019, "First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole", ApJL 875, L1

Aufgabe vollständig gelöst

Der Mond mit 3474,8 km Durchmesser und 384 400 km Entfernung 5 Schritte
Der Mond ist 3474,8 km breit und 384 400 km entfernt. Berechnen Sie, wie groß er in allen vier Einheiten erscheint — und klären Sie dann den Finsternis-Zufall mit derselben Formel.
1. Die Geometrie ist ein rechtwinkliges Dreieck auf dem halben Mond: der Halbmesser als Gegenkathete, die Entfernung als Ankathete. Das ergibt den halben Winkel, also verdoppeln Sie ihn am Ende.
  
  $tan \frac{θ}{2} = \frac{D /2}{d} = \frac{1737.4}{384 400} = 0.0045198$
2. Der Arkustangens liefert Bogenmaß, was hier die eigentliche Einheit ist und diejenige, die jede spätere Formel benötigt. Alles danach ist Einheitenumrechnung.
  
  $θ = 2 arctan (0.0045198) = 0.0090395 rad$
3. Grad, Bogenminuten und Bogensekunden sind Faktoren von 180/π, 60 und 60. Ein halbes Grad ist der Wert, den man sich merken sollte — deshalb verdeckt ein kleiner Fingernagel bei ausgestrecktem Arm den Mond.
  
  $0.0090395 \times \frac{180}{π} = 0.5179 2^{\circ} = 31.07 5^{'} = 1864. 5^{''}$
4. Die Kleinwinkelnäherung lässt den Arkustangens weg und dividiert einfach. Hier weicht sie um 7 Teile pro Million ab, weshalb Astronomen sie ohne Umschweife verwenden; bis etwa 10° bleibt sie innerhalb eines Prozents.
  
  $θ \approx \frac{D}{d} = 0.0090395 ⟹ error = 6.8 \times 1 0^{- 6} = 0.00068%$
5. Wenden Sie nun dieselben zwei Zeilen auf die Sonne an — 1,39 Millionen km bei 1 AU. Das ergibt 0,5334°.
  
  $θ_{⊙} = 2 arctan \frac{696 350}{1.496 \times 1 0 ^{8}} = 0.533 4^{\circ}, \frac{0.5334}{0.51792} = 1.030$
Antwort

Das Werkzeug gibt 0,0090395 rad, 0,51792°, 31,075′ und 1864,5″ für den Mond aus. Für die Sonne ergibt sich 0,5334°, nur 3% breiter — von einem Körper, der 400-mal größer und 390-mal weiter entfernt ist. Diese beinahe vollständige Aufhebung ist der Grund, warum totale Sonnenfinsternisse überhaupt möglich sind und warum sie so knapp sind: Die Entfernung des Mondes schwankt auf seiner Umlaufbahn um etwa ein Zehntel, sodass seine Scheibe die Sonne manchmal vollständig verdeckt und manchmal nicht ganz ausreicht und einen Ring hinterlässt. Nichts in der Physik verlangt, dass die beiden übereinstimmen. Klicken Sie auf die Sonnen-Voreinstellung und lesen Sie die beiden Zahlen nebeneinander ab — das gesamte Phänomen bewegt sich in einer Spanne von 3%.

$θ = 2 arctan \frac{D}{2 d} : 0.5179 2^{\circ} (Moon) vs 0.533 4^{\circ} (Sun)$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-14

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Beispielaufgaben

Mond - Der Winkeldurchmesser des Mondes beträgt von der Erde aus etwa einen halben Grad.
Sonne - Die Sonne erscheint bei 1 AU etwa einen halben Grad breit.
ISS-Überflug - Die ISS hat eine geringe scheinbare Größe und erfordert für Details eine hohe Vergrößerung.