Winkelgrößen-Umrechner

Die Kleinwinkelformel θ ≈ D/d ist eine Näherung erster Ordnung der exakten Beziehung θ = 2 arctan(D/2d). Die exakte Formel folgt aus der Geometrie: Der Beobachter sieht eine Sehne der Länge D in der Entfernung d, und der volle Winkel ist das Doppelte des Arkustangens der halben Sehne geteilt durch die Entfernung. Die Näherung funktioniert, weil arctan(x) ≈ x für kleine x gilt. Für den Mond (D ≈ 3475 km, d ≈ 384.000 km) beträgt das Verhältnis D/d ≈ 0,0090, und der Fehler liegt bei nur 0,002 %. Bei 10° beträgt der Fehler bereits 0,25 %, bei 60° erreicht er 15 %. In der Astronomie erfüllt fast jedes Ziel D ≪ d, sodass die Näherung bis auf Millionstel genau ist — doch bei Objekten in geringer Entfernung (ein Fußballfeld aus 50 m Entfernung, ein Planet bei einem nahen Vorbeiflug) wird die Arkustangens-Formel wichtig.

Die Winkelgröße misst, wie groß etwas erscheint, nicht seine wahre Größe — ein Winkel, keine Länge. Ein ferner Wolkenkratzer und eine Münze auf Armlänge können gleich groß wirken, weil sich Größe und Entfernung im Verhältnis D/d ausgleichen. Die Sonne ist etwa 400-mal breiter als der Mond, aber auch rund 400-mal weiter entfernt, sodass beide etwa 0.5° am Himmel einnehmen — der Zufall, der totale Sonnenfinsternisse möglich macht.

Die Kleinwinkel-Idee setzt einen flachen, statischen Raum voraus, doch die Kosmologie durchbricht das. Weil sich das Universum ausdehnte, während uraltes Licht zu uns unterwegs war, verläuft die Winkeldurchmesserdistanz nicht monoton: Sie erreicht bei einer Rotverschiebung von z ≈ 1.6 ihr Maximum. Eine Galaxie fester Größe schrumpft am Himmel daher nur bis dorthin — jenseits davon erscheinen entferntere (jüngere) Galaxien tatsächlich größer statt kleiner.