Tageslänge & Zeitgleichung

Wann die Sonne an einem beliebigen Tag auf- und untergeht und warum eine Sonnenuhr und eine gewöhnliche Uhr um eine Viertelstunde voneinander abweichen.

Rechenbeispiel — Tageslänge & Zeitgleichung

Sonnenaufgang	06:02
Sonnenuntergang	18:13
Tageslänge	12h 10m
Wahrer Mittag	12:07
Sonnendeklination	−0,04
Zeitgleichung	−7,44
Neigungsterm	−0,04
Bahnterm	−7,42

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Nirgendwo auf der Erde dauert der Äquinoktiumstag genau zwölf Stunden 🖖

Stelle das Datum auf den 20. März 2026. Die Karte für die Tageslänge zeigt 12h 07m am Äquator, 12h 10m in London und 12h 16m bei 66° N. Die zusätzliche Zeit steckt in der Definition. Ein Almanach spricht von Sonnenaufgang, wenn der obere Rand der Sonne den Horizont berührt. Zudem hebt die Lichtbrechung nahe dem Horizont die gesamte Sonnenscheibe um etwa 34 Bogenminuten an. Die Sonnenmitte befindet sich an beiden Tagesenden also in Wirklichkeit 0,833° unter dem Horizont. Wähle die Einstellung Sonnenmitte am Horizont. Dann verkürzt sich die Dauer am selben Datum auf 12h 00m am Äquator und 11h 59m bei 66° N. Die letzte verbleibende Minute resultiert daraus, dass der Kalendertag nicht exakt mit dem Moment der Tagundnachtgleiche zusammenfällt. Zwischen den Polarkreisen sinkt dieser Überschuss nie unter 6 Minuten 39 Sekunden. Bei 66° S erreicht er sogar 17 Minuten 10 Sekunden. Dieselbe Korrektur um 0,833° ist der Grund, warum die Mitternachtssonne in Tromsø im Jahr 2026 ganze 69 Tage dauert, die Polarnacht hingegen nur 48.

Der früheste Sonnenuntergang findet Tage vor dem kürzesten Tag statt 🖖

Klick auf New York, frühester Sonnenuntergang. Das Werkzeug gibt für den 8. Dezember 2026 einen Sonnenuntergang um 16:28 Uhr an. Am 21. Dezember, dem kürzesten Tag dieses Jahres, geht die Sonne bereits wieder später unter, nämlich um 16:32 Uhr. Die Uhrzeit des Sonnenuntergangs ergibt sich aus dem Sonnenmittag plus der halben Tageslänge, und beide Größen verändern sich. In den ersten drei Dezemberwochen werden die Tage noch kürzer, doch zugleich verschiebt sich der Sonnenmittag täglich um etwa eine halbe Minute nach hinten. Der Grund: Die Zeitgleichung sinkt von +10,92 min am 1. Dezember auf +1,84 min am 21. Dezember. Kurz vor der Sonnenwende ändert sich die Tageslänge kaum noch, während sich der Sonnenmittag weiter verschiebt. Deshalb kehrt sich die Entwicklung beim Sonnenuntergang zuerst um. Zieh den Breitengradregler und beobachte, wie der Abstand schrumpft: dreizehn Tage bei 40° N, fünf Tage bei 60° N. Am Äquator bleibt die Tageslänge fast das ganze Jahr über gleich; dort fällt der früheste Sonnenuntergang auf den 2. November, sieben Wochen vor der Sonnenwende. Durchlaufe den gesamten Bereich von 66° S bis 66° N. An jedem dieser Breitengrade wird der Sonnenuntergang am 21. Dezember bereits später, sodass er im ganzen untersuchten Bereich nirgends an der Sonnenwende am frühesten ist.

Die Achsneigung beeinflusst die Sonnenuhr stärker als die elliptische Bahn 🖖

Frag, warum eine Sonnenuhr im November gegenüber einer gewöhnlichen Uhr vorgeht, und meist wird die elliptische Erdbahn als Ursache genannt. Tatsächlich trägt die Ellipse von beiden Ursachen weniger bei. Schreibt man die Zeitgleichung als E = L₀ − α, zerfällt sie nahezu exakt in zwei Anteile: die Reduktion auf die Ekliptik, hervorgerufen durch die Achsneigung von 23,44° und im Werkzeug als Neigungsterm bezeichnet, sowie die Mittelpunktsgleichung, die auf der elliptischen Bahn beruht. Im Verlauf des Jahres 2026 schwankt der Neigungsterm um ±9,86 Minuten, der Bahntterm um ±7,65 Minuten; ihr Verhältnis beträgt 1,29. Zudem haben sie unterschiedliche Perioden: Der Neigungsterm durchläuft jährlich zwei Zyklen, der Bahntterm einen. Im Jahr 2026 fallen ihre Maxima nicht zusammen. Die Summe ihrer Amplituden beträgt 17,51 Minuten, das tatsächliche Jahresmaximum jedoch +16,46 Minuten am 3. November. Addiere für ein beliebiges Datum die Werte der beiden Karten, und du erhältst bis auf 1,1 Sekunden genau den Wert der Zeitgleichungskarte. Die verbleibende Abweichung stammt von den Korrekturen für Aberration und Nutation, die in die scheinbare ekliptikale Länge der Sonne eingehen.

Aufgaben vollständig gelöst

Dreizehn Tage zwischen New Yorks frühestem Sonnenuntergang und kürzestem Tag im Jahr 2026 6 Schritte
Der kürzeste Tag in New York im Jahr 2026 ist der 21. Dezember, aber der früheste Sonnenuntergang fällt auf den 8. Dezember. Woher kommen diese dreizehn Tage Unterschied, und gibt es sie auf jedem Breitengrad?
1. Der Sonnenuntergang entspricht dem wahren Mittag plus der halben Tageslänge. Der wahre Mittag in Uhrzeit ist 720 − 4λ − E + 60Z Minuten nach Mitternacht, wobei λ die östliche Länge, Z die Standard-Zeitverschiebung und E die Zeitgleichung ist. Weder λ noch Z ändern sich im Jahresverlauf. Daher können nur zwei Werte den Sonnenuntergang verschieben: E und die Tageslänge D.
  
  $t_{set} = (720 - 4 λ + 60 Z) - E + \frac{1}{2} D$
2. Nimm die drei Wochen vor der Sonnenwende. Das Tool setzt den wahren Mittag auf 11:45 am 1. Dezember und 11:54 am 21. Dezember. Das sind 705,1 beziehungsweise 714,2 Minuten nach Mitternacht. Der Mittag hat sich also um 9,1 Minuten nach hinten verschoben. Der einzige variable Faktor dabei ist die Zeitgleichung, die von +10,92 min auf +1,84 min fällt.
  
  $Δ (- E) = 714.2 - 705.1 = + 9.1 min$
3. In denselben Wochen verkürzt sich der Tag von 568,4 auf 555,0 Minuten, was das Tool als 9h 28m und 9h 15m anzeigt. Der Sonnenuntergang trägt die Hälfte dieser Änderung, er verliert also 6,7 Minuten.
  
  $\frac{1}{2} Δ D = \frac{1}{2} (555.0 - 568.4) = - 6.7 min$
4. Addiert man beides, verschiebt sich der Sonnenuntergang um 2,4 Minuten nach hinten, von 989,3 auf 991,7 Minuten nach Mitternacht. Und das über drei Wochen, in denen der Tag 13,3 Minuten kürzer wurde.
  
  $Δ t_{set} = + 9.1 - 6.7 = + 2.4 989.3 \to 991.7 min$
5. Der Wendepunkt ist das Datum, an dem sich die beiden Raten aufheben. Am 8. Dezember liegt dE/dn bei −0,441 Minuten pro Tag und die Hälfte von dD/dn bei −0,433. Das ist fast identisch. Das Tool berechnet den Sonnenuntergang auf 16:28 bei einer Tageslänge von 9h 21m. Das markiert den frühesten Sonnenuntergang des Jahres.
  
  $\frac{d E}{d n} = \frac{1}{2} \frac{d D}{d n} ⟹ - 0.441 \approx - 0.433$
6. Betrachte nun alle Breitengrade zugleich. D hängt zwar vom Breitengrad ab, seine Veränderung im Jahreslauf wird jedoch allein von der Deklination bestimmt. Da diese bei einer Sonnenwende stationär ist, verschwindet dD/dn dort unabhängig vom Breitengrad nahezu vollständig. Übrig bleibt dt/dn = −dE/dn. Dieser Ausdruck beträgt am 21. Dezember +0,497 Minuten pro Tag und enthält keinen Breitengrad. Untersucht man den Bereich von 66° S bis 66° N in Hundertstelgrad-Schritten, reicht die tatsächliche Änderungsrate von +0,497 am Äquator bis +0,411 an den beiden Grenzen. Sie wird nirgends negativ; an keinem dieser Breitengrade fällt der früheste Sonnenuntergang daher auf die Sonnenwende im Dezember. Die Argumentation versagt genau dort, wo „nahezu vollständig“ nicht mehr zutrifft. Bei 65,72° N dauert der Tag zur Sonnenwende im Juni 23 h 47 min, zwei Hundertstelgrad weiter nördlich volle 24 h. Dort ist dD/dn keineswegs vernachlässigbar, und der Sonnenuntergang wird tatsächlich täglich um 0,11 Minuten früher. Dieser Streifen ist nur wenige Hundertstelgrad breit.
  
  $\frac{d D}{d n}_{n_{sol}} \to 0 \Rightarrow \frac{d t _{set}}{d n}_{n_{sol}} = - \frac{d E}{d n} = + 0.497 > 0$
Antwort

16:28 am 8. Dezember, dreizehn Tage vor der Sonnenwende, da die Zeitgleichung die Änderung der Tageslänge überholt. Das Tool zeigt immer nur einen Ort an. Der letzte Schritt deckt jedoch alle ab.
Eine Sonnenuhr, die 16 Minuten vorgeht, gemessen in Kilometern 6 Schritte
Am 3. November fällt Londons wahrer Mittag auf 11:44, wenn die Uhr auf GMT bleibt. Rechne aus, wie weit du nach Osten müsstest, damit eine Uhr mit mittlerer Zeit mit der Sonnenuhr übereinstimmt, und entscheide dann, ob eine Sonnenuhr auf See jemals die Länge hätte finden können.
1. Der wahre Mittag ist der mittlere Mittag, verschoben um zwei Dinge, und nur eines davon zählt hier. London liegt keine tausendstel Grad vom Nullmeridian entfernt, also steckt die gesamte Verschiebung in der Zeitgleichung, die das Feld mit +16,46 Minuten angibt.
  
  $t_{noon} = 720 - 4 λ - E + 60 Z = 720 - 4 (- 0.0015) - 16.46 + 0 = 703.5 min$
2. Zeit und Länge sind ein und dieselbe Größe in zwei Einheiten, mit einem Umrechnungssatz, den die Erdrotation festlegt: eine volle Umdrehung in 1.440 Minuten.
  
  $\frac{1440 min}{36 0 ^{\circ}} = 4 min per degree$
3. Der Vorsprung der Sonnenuhr ist damit 4,11° Länge wert. Eine Uhr, die auf dieser Länge mittlere Zeit zeigt, schlägt genau dann Mittag, wenn es eine Londoner Sonnenuhr tut.
  
  $\frac{16.46}{4} = 4.1 1^{\circ}$
4. In Bodenentfernung, auf Londons Breite, sind das 285 km nach Osten.
  
  $111.32 cos 51.4 8^{\circ} = 69.3 km per degree, 4.11 \times 69.3 = 285 km$
5. Und es kehrt sich um. Die Zeitgleichung erreicht am 11. Februar ihr Minimum von −14,18 Minuten, sodass die Sonnenuhr über ein Jahr um 30,64 Minuten schwingt, was 7,66° Länge entspricht.
  
  $E_{m a x} - E_{m i n} = 16.46 - (- 14.18) = 30.64 min = 7.6 6^{\circ}$
6. Am Äquator sind das 853 km, und eine einzige Minute Uhrfehler sind 27,8 km. Diese beiden Zahlen sind der Grund, warum die Zeitgleichung in jedem Almanach tabelliert steht, statt weggewinkt zu werden.
  
  $7.6 6^{\circ} \times 111.32 = 853 km, 1 min \to 0.2 5^{\circ} \to 27.8 km$
Antwort

4,11° nach Osten, etwa 285 km. Die Zeitgleichung ist eine Korrektur und kein Hindernis: Sie steht in den Tabellen, und eine auf die Minute abgelesene und korrigierte Sonnenuhr liefert die wahre Ortszeit auf ein Viertelgrad genau, am Äquator also auf 28 km. Was keine Sonnenuhr liefert, ist die andere Hälfte der Rechnung. Länge ist die Differenz zwischen der Ortszeit und der Zeit an einem vereinbarten Ort, und eine Sonnenuhr weiß immer nur, dass hier Mittag ist. Deshalb war die Antwort auf das Längenproblem eine Uhr, die die Referenz mitführt, und keine bessere Sonnenuhr.

$Δ λ = \frac{E}{4 min / ^{\circ}}, Δ x = Δ λ \times 111.32 cos φ$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Äquator, März-Äquinokt. - Das März-Äquinoktium dauert am Äquator 12h 07m und nicht zwölf Stunden. Der Sonnenaufgang wird nämlich ab dem oberen Rand der Sonne inklusive 34 Bogenminuten Refraktion gemessen.
London, Juni-Sonnenwende - London zur Juni-Sonnenwende bei britischer Sommerzeit (BST): Sonnenaufgang 04:43, Sonnenuntergang 21:21, 16h 38m Tageslicht und wahrer Mittag um 13:02.
New York, früh. Untergang - Der früheste Sonnenuntergang für New York im Jahr 2026 ist um 16:28 am 8. Dezember. Das sind dreizehn Tage vor dem kürzesten Tag, an dem der Untergang bereits wieder auf 16:32 verschoben ist.
Greenwich, max. Vorlauf - Am 3. November 2026 erreicht die Zeitgleichung ihren Höhepunkt. In Greenwich geht eine Sonnenuhr 16,46 Minuten gegenüber der normalen Uhr vor, und der wahre Mittag fällt auf 11:44.
Tromsø, Mitternachtsso. - Tromsø zur Juni-Sonnenwende: Die Sonne geht nie unter, daher gibt es keinen Auf- oder Untergang anzuzeigen. Die Tageslänge beträgt 24h 00m, und der wahre Mittag bleibt bei 11:46.