Astronomischer Doppler-Effekt-Rechner

Gib Ruhe- und beobachtete Spektralwerte ein, um z zu schätzen und klassische mit relativistischer Geschwindigkeit zu vergleichen.

Rechenbeispiel — Astronomischer Doppler-Effekt-Rechner

651.66 nm	664.62 nm
Relativistische Geschwindigkeit	1694.501 km/s
Modellabweichung	0.2842%
Rotverschiebung z	0.00566831

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Bei großer Rotverschiebung liefert die Abkürzung v = zc die dreifache Lichtgeschwindigkeit 🖖

Das Werkzeug zeigt die relativistische Geschwindigkeit und die klassische v = zc nebeneinander, und der Abstand zwischen beiden ist der ganze Punkt. Bei den zwei Wasserstoff-Voreinstellungen liegt z bei etwa 0,006, beide stimmen auf die Stelle überein, die Abkürzung ist also harmlos. Lade dann die Voreinstellung quasar: Lyman-α ist von 121,567 nm auf 486,268 nm gewandert, genau das Vierfache seiner Ruhewellenlänge, also z = 3. Jetzt ergibt v = zc 3c — die dreifache Lichtgeschwindigkeit — während das relativistische β = ((1+z)² − 1)/((1+z)² + 1) auf 0,882c führt. Die Abkürzung überschätzt die Geschwindigkeit um 240 % und verletzt dabei die Physik.

Was eine Rotverschiebung wirklich misst 🖖

Eine Spektrallinie ist ein fester Fingerabdruck — Wasserstoff strahlt in Ruhe stets bei 656.28 nm. Miss, wo du diese Linie tatsächlich siehst: Wandert sie zu längerer (röterer) Wellenlänge, entfernt sich die Quelle; bei kürzerer (blauerer) nähert sie sich. Die Rotverschiebung z ist einfach die relative Dehnung. Erscheint H-alpha bei 660 nm statt 656.28 nm, folgt z ≈ 0.0057 — eine Fluchtgeschwindigkeit von rund 1700 km/s.

Rotverschiebung über 100% ohne c zu brechen 🖖

Lade die Quasar-Vorgabe: Lyman-alpha verschiebt sich von 121.567 nm auf 486.268 nm, also z = 3, und die Linie vervierfacht sich (1 + z = 4). Das naive v = zc behauptete dreifache Lichtgeschwindigkeit — unmöglich. Die relativistische Formel β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) liefert stattdessen 15/17 ≈ 0.88, sicher unter c. Wie groß z auch wird, β erreicht nie 1.

Aufgabe vollständig gelöst

Fluchtgeschwindigkeit, wenn die Wasserstoff-alpha-Linie einer Galaxie bei 660,00 nm liegt 6 Schritte
Die H-alpha-Linie einer Galaxie liegt bei 660,00 nm statt bei 656,28 nm. Bestimmen Sie ihre Fluchtgeschwindigkeit exakt und klären Sie, ob die Schulbuchformel v = cz hier ausreicht — und ab wo sie nicht mehr ausreicht.
1. Die Rotverschiebung ist als relative Änderung der Wellenlänge definiert und ist die einzige gemessene Größe auf dieser Seite. Alles Weitere ist Arithmetik auf ihrer Grundlage.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{660.00 - 656.28}{656.28} = 0.00566831$
2. Die relativistische Doppler-Formel für eine sich direkt entfernende Quelle kombiniert die klassische Verschiebung mit der Zeitdilatation. Lösen Sie nach β auf — durch Quadrieren beider Seiten wird die Umstellung zu einem Einzeiler.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1}$
3. Setzen Sie ein. Der Zähler ist im Wesentlichen 2z und der Nenner im Wesentlichen 2; deshalb liegt das Ergebnis bei kleiner Rotverschiebung so nahe an z, und deshalb muss die Übereinstimmung zusammenbrechen, sobald z² nicht mehr vernachlässigbar ist.
  
  $(1 + z)^{2} = 1.01136877, β = \frac{0.01136877}{2.01136877} = 0.0056522$
4. Multiplizieren Sie auf beide Arten mit c und vergleichen Sie. Der Unterschied von 4,8 km/s ist weit kleiner als die Pekuliargeschwindigkeit einer Galaxie in einem Haufen, sodass bei dieser Rotverschiebung die Wahl der Formel nicht der begrenzende Fehler ist.
  
  $v_{rel} = β c = 1694.501 km/s; v_{class} = z c = 1699.317 km/s; Δ = 0.2842%$
5. Erhöht man z, laufen die beiden auseinander. Der klassische Ausdruck besitzt keine Obergrenze; der relativistische hat β → 1 direkt in seiner Algebra verankert.
  
  $z = 0.1 \Rightarrow β = 0.09502 (classical is 5.24% high); z = 1 \Rightarrow β = 0.600 (classical gives c)$
6. Ein weiterer Schritt wandelt die Geschwindigkeit in eine Entfernung um. Das Hubblesche Gesetz mit H₀ = 70 km/s/Mpc verortet diese Galaxie in etwa 24 Mpc Entfernung — weit außerhalb der Lokalen Gruppe und eine Distanz, die nichts anderes in der Messung hätte liefern können.
  
  $d = \frac{v}{H _{0}} = \frac{1694.5}{70} = 24.2 Mpc \approx 79 million light years$
Antwort

1694,501 km/s gegenüber 1699,317 km/s aus v = cz — eine Überschätzung um 0,28 %. Bei dieser Rotverschiebung ist die Abkürzung harmlos. Sie bleibt eine Weile harmlos und versagt dann abrupt: Bei z = 0,1 liegt sie um 5,2 % zu hoch, und bei z = 1 liefert sie exakt c, was kein großer Fehler, aber eine unmögliche Antwort ist. Die relativistische Formel kann das nicht tun, da β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) sich unabhängig davon, wie groß z wird, von unten der 1 nähert. Setzt man z = 5 ein, liefert sie 0,946c; setzt man bei der Näherungsformel z = 5 ein, ergibt sich das Fünffache der Lichtgeschwindigkeit.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} \Rightarrow v = 1694.501 km/s$

Quellen (1)

The relativistic treatment this tool uses rather than the classical shortcut — the Doppler section is §7: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322, 891–921, 1905.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-06

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Beispielaufgaben

H-alpha, sich entfernend - Eine Verschiebung von H-alpha zu längeren Wellenlängen deutet auf Entfernung (Rotverschiebung) hin.
H-alpha, sich nähernd - Eine kürzere beobachtete Wellenlänge deutet auf Annäherung (Blauverschiebung) hin.
21-cm-Radioquelle - Eine niedrigere beobachtete 21-cm-Frequenz entspricht einer positiven Rotverschiebung.
Hoch-z-Quasar - Fall mit großem z, bei dem eine relativistische Geschwindigkeitskorrektur unverzichtbar wird.