Wahrscheinlichkeit erdähnlicher Planeten

Vorkommensschätzung erdähnlicher Planeten auf Populationsebene: wahre Anzahl vs. wahrscheinlich entdeckte Anzahl.

Rechenbeispiel — Wahrscheinlichkeit erdähnlicher Planeten

Grobes Niedrig/Basis/Hoch-Band	2.922 - 3.137
Erwartete entdeckte erdähnliche Planeten	242
Untersuchte Sterne (N*)	150.000
Sterne mit Planeten (fp)	0.85
Planeten in habitabler Zone (fHZ)	0.18
Anteil erdgroßer Planeten (fEarth)	0.22
Detektionseffizienz (pDetect)	0.08

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Wahrscheinlichkeit erdähnlicher Planeten

Dies ist eine erwartete Anzahl, keine Wahrscheinlichkeit: Du gehst von einer Anzahl von Sternen aus und multiplizierst diese mit einer Kette von Anteilen, von denen jeder die Frage beantwortet: “welcher Anteil davon hat ebenfalls…?”. Das Ergebnis gibt an, wie viele Objekte zu erwarten wären, wenn jeder Anteil korrekt wäre — und es handelt sich um eine Berechnung nach Art der Drake-Gleichung, mit derselben Stärke und derselben Schwäche.

Sechs übereinanderliegende Balken, jeder halb so breit wie der darüber, von den untersuchten Sternen bis zu den erwarteten Nachweisen.

Die untersuchten Sterne — der ganze Balken und die einzige Zahl hier, die gezählt statt angenommen wird.
Jeder Bruchteil nimmt einen Anteil des Balkens darüber, nie des obersten. Genau das macht das Multiplizieren zulässig, und genau diesen Schritt überspringst du.
Nach vier Brüchen ist der Balken ein Sechzehntel des Ausgangswerts: 156256 erwartete Objekte.
Der Nachweis kommt nach der Wahrheit, als eigene Stufe — 78128. Was existiert und was eine Durchmusterung sähe, sind verschiedene Balken.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

N*: die Anzahl der untersuchten Sterne, bei den Standardwerten 150,000.
fractions: die Kette — f_p mit Planeten, f_HZ in der habitablen Zone, f⊕ erdgroß, f_rocky felsig. Jeder ist ein bedingter Anteil der jeweils vorherigen Stufe, nicht der Gesamtheit.
E: die erwartete Population — wie viele es dort draußen gibt: 3,029.
p_det: Nachweiseffizienz: der Anteil, den du tatsächlich finden würdest. Sie wandelt die Realität in eine Beobachtung um.
E_det: die erwarteten Nachweise, E × p_det = 242.

Woher die Formel kommt

Die Multiplikation ist nur deshalb die richtige Rechenoperation, weil jeder Anteil bedingt auf dem vorherigen aufbaut. f_HZ ist der Anteil der Sterne mit Planeten, die einen Planeten in der habitablen Zone besitzen, nicht der Anteil an allen Sternen.
Als Kette: E = N* · f_p · f_HZ · f⊕ · f_rocky. Bei den Standardwerten ergibt das 150,000 × 0.85 × 0.18 × 0.22 × 0.6 = 3,029.
Der Nachweis ist eine eigene Stufe, die nach der Realität angewendet wird: E_det = E · p_det = 3,029 × 0.08 = 242. Diese Trennung ist der Kernpunkt — sie unterscheidet das, was existiert, von dem, was eine Durchmusterung sehen würde.

Setzt voraus: Dass jeder Anteil — gegeben die vorherige Stufe — unabhängig von den anderen ist und dass eine einzelne Zahl stellvertretend für jeden stehen kann. Beide Annahmen sind heikel — das Vorkommen von Planeten korreliert mit Sterntyp und Metallizität, sodass diese Anteile in Wirklichkeit nicht völlig frei einzeln gewählt werden können.
Versagt, wenn: Die Genauigkeit ist mit Skepsis zu betrachten. Das Ergebnis wird auf die Einerstelle genau angegeben — 242 —, obwohl es aus fünf Anteilen stammt, die per Schieberegler jeweils auf eine Nachkommastelle eingestellt werden. Bei der Multiplikation von fünf Schätzwerten multiplizieren sich jedoch deren Fehler, anstatt sich auszumitteln. Halbierst du zwei der Anteile, viertelt sich das Ergebnis. Der angezeigte Bereich ist schmal, weil er nur den Umfang der Durchmusterung untersucht, nicht die Anteile — während sich fast die gesamte reale Unsicherheit in eben diesen Anteilen verbirgt.

Transitdurchmusterungen übersehen etwa 214 von 215 Planeten 🖖

Ein Transitplanet zeigt sich nur, wenn seine Bahn von unserer Richtung aus zufällig genau von der Kante zu sehen ist, und die Wahrscheinlichkeit dafür entspricht etwa dem Sternradius geteilt durch den Bahnabstand. Für eine Erde um eine Sonne sind das 696 340 km auf 1 AE — rund 0,465% oder eine passende Ausrichtung von 215. Jedes andere Erdanalogon dort draußen ist wirklich vorhanden und für diese Methode vollständig unsichtbar, nicht weil das Teleskop zu schwach wäre, sondern weil die Geometrie nie passt. Deshalb ist eine Häufigkeitsrate niemals die rohe Zahl der Entdeckungen: die Zahl muss erst durch die Ausrichtungswahrscheinlichkeit und durch die Nachweiseffizienz der Durchmusterung geteilt werden, bevor sie etwas bedeutet. Der Wert, den dieses Werkzeug ausgibt, ist eine korrigierte Schätzung, und die Korrektur ist viel größer als die Messung.

Ein Trichter aus Milliarden Sternen 🖖

Beginne mit allen Sternen, die dein Teleskop beobachtet, und behalte bei jedem Schritt nur einen Anteil: Sterne mit Planeten, Planeten in der habitablen Zone und darunter die erdgroßen Gesteinsplaneten. Diese Anteile zu multiplizieren ist wie Sand durch ineinandergeschachtelte Siebe zu schütten. Am Ende bleibt nur ein Bruchteil der ursprünglichen Zahl übrig. Noch kleiner ist die Zahl der entdeckten Planeten: Bei geringer Nachweiseffizienz tauchen viele tatsächlich vorhandene erdähnliche Welten in den Daten gar nicht erst auf.

Warum der Fehlerbalken aus der Radioaktivität stammt 🖖

Die grobe Spanne zwischen dem niedrigen und dem hohen Wert beruht auf der Poisson-Statistik. Dieselbe Mathematik beschreibt die Impulse eines Geigerzählers oder Photonen, die auf einen Detektor treffen. Zählst du seltene, voneinander unabhängige Ereignisse, liegt die typische Streuung bei etwa √E. Für ein Konfidenzniveau von 95 % verwendet das Werkzeug daher näherungsweise die Spanne E ± 1.96√E. Für die Zahl habitabler Planeten gilt dasselbe Unsicherheitsgesetz wie für die Zahl radioaktiver Zerfälle.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Setze alle Anteile auf 0.5 und merke dir die beiden Zahlen. Erhöhe nun genau einen von f_p, f_HZ, f_Earth oder f_rocky auf 0.6 — setze ihn dann zurück und erhöhe stattdessen p_detect auf 0.6. Was ist am fünften anders?

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Die vier Populationsanteile sind austauschbar. Welchen du auch erhöhst, die erwartete Detektion geht 78,128 → 93,754 und die Populationswahrheit 156,256 → 187,508, denn Multiplikation kümmert sich nicht um die Reihenfolge: 20% Verbesserung sind 20% wert, egal wo du sie anbringst. p_detect zu erhöhen liefert dieselben 93,754 Detektionen, lässt die Wahrheit aber bei 156,256 — die Nachweiseffizienz ist eine Tatsache über dein Teleskop, nicht über die Galaxis. Genau dafür sind die beiden Zeilen da: vier Faktoren sagen, wie viele Planeten es gibt, und der fünfte sagt, wie viele du sehen würdest. Deshalb drehen sich Argumente dieser Art auch immer um den *unsichersten* Faktor und nicht um den kleinsten. Die Hebelwirkung ist identisch, unterscheiden tun sie sich nur in den Fehlerbalken.
Das Band zeigt 155,481 – 157,031 um einen Mittelwert von 156,256 — also plus/minus 775. Woher kommt die 775, und was lässt sie weg?

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√156,256 = 395.3, und 1.96 × 395.3 = 775: ein 95%-Intervall für Poisson-Zählrauschen. Es ist die Streuung, die du sähest, wenn die fünf Anteile exakt bekannt wären und allein der Zufall entschiede, wie viele Planeten in deine Stichprobe fallen. Es lässt jede Unsicherheit in den Anteilen selbst weg — und die dominiert vollständig. Über f_HZ und f_Earth wird in der Literatur um Faktoren von zwei gestritten, nicht um ein halbes Prozent. Verschiebe f_HZ von 0.5 auf 0.6, und die Schätzung springt um 31,252, etwa das Vierzigfache der Bandbreite, die das Werkzeug gerade gedruckt hat. Das Band ist ehrlich über das eine, was es misst, und maßlos optimistisch über die Zahl als Ganzes.

Aufgabe vollständig gelöst

Zu entdeckende erdähnliche Planeten bei einer Durchmusterung von 150.000 Sternen 6 Schritte
Durchmustern Sie 150.000 Sterne. Berechnen Sie anhand der Ausgangsanteile dieses Werkzeugs, wie viele erdähnliche Planeten dort draußen existieren und wie viele Sie tatsächlich entdecken würden — und ermitteln Sie dann, wie viel von dem gedruckten Unsicherheitsband Sie glauben sollten.
1. Das Modell ist ein einziges Produkt: Man beginnt mit der Sternenzahl und multipliziert nacheinander mit jedem Anteil. Nichts darin ist von etwas anderem abhängig, was selbst eine Annahme darstellt.
  
  $E = N_{*} f_{p} f_{H Z} f_{\oplus} f_{rocky} = 150000 \times 0.85 \times 0.18 \times 0.22 \times 0.6$
2. Gehen Sie es von links nach rechts durch. Jeder Faktor reduziert die verbleibenden Kandidaten, und die letzten drei verwerfen zusammen 96 % der Sterne, die überhaupt Planeten besaßen.
  
  $127500 \times 0.18 = 22950; \times 0.22 = 5049; \times 0.6 = 3029$
3. Die Entdeckung ist ein sechster Faktor, der auf die Population angewendet wird und nicht auf die Sterne. Ungefähr einer von zwölf erdähnlichen Planeten wird gefunden.
  
  $E_{det} = E p_{det} = 3029 \times 0.08 = 242$
4. Nun zum Unsicherheitsband. Wenn man die Anzahl als Poisson-verteilt auffasst, entspricht ihre Standardabweichung der Quadratwurzel aus dem Mittelwert — und zwei dieser Standardabweichungen zu beiden Seiten bilden das Intervall, das das Werkzeug ausgibt.
  
  $σ = E = 3029 = 55.0, E \pm 1.96 σ = 3029 \pm 108 = [2922, 3137]$
5. Vergleichen Sie diese Nachweiseffizienz allein mit der Geometrie. Ein Transit erfordert, dass die Umlaufbahn bis auf R☉/1 au in Kantenstellung liegt, was einer Chance von 1 zu 215 entspricht — somit ist 0,08 keine geometrische Wahrscheinlichkeit, sondern eine komplette Durchmusterungsstrategie in einer einzigen Ziffer, und das reine Transit-Ergebnis läge bei 14 Planeten statt bei 242.
  
  $p_{geom} = \frac{R _{⊙}}{1 au} = \frac{6.96 \times 1 0 ^{8}}{1.496 \times 1 0 ^{11}} = 0.00465 ⟹ 3029 \times 0.00465 = 14$
6. Variieren Sie schließlich einen einzigen Anteil in einem Rahmen, den kein Astronom für unvernünftig halten würde, und beobachten Sie, wie sich das Ergebnis um den Faktor vier verschiebt.
  
  $f_{H Z} \in [0.09, 0.36] \Rightarrow E \in [1515, 6059]$
Antwort

3.029 vorhanden, 242 nachgewiesen, und das Intervall von ± 108 ist nahezu wertlos. Dieses Intervall bildet das Poisson-Rauschen beim Zählen ab: die Streuung, die entstünde, wenn die fünf Anteilswerte exakt stimmten und nur der Zufall schwankte. Doch so genau sind sie nicht bekannt. Nimm nur für einen davon, den Anteil in der habitablen Zone, eine Unsicherheit um den Faktor zwei nach oben wie nach unten an. Schon reicht die Schätzung von 1.515 bis 6.059 und damit über eine zwanzigmal größere Spanne als auf der Seite angegeben. Hier zeigt sich das typische Versagen jedes Modells, das mehrere Anteile miteinander multipliziert, auch der Drake-Gleichung: Die Rechnung liefert vierstellige Genauigkeit aus Eingangsgrößen, die nur auf eine Stelle bekannt sind. Diese scheinbare Präzision ist nichts als ein Artefakt der Multiplikation.

$E = 3029, E_{det} = 242, E \pm 1.96 E = [2922, 3137]$

Quellen (1)

The measured occurrence rate of rocky habitable-zone planets, the one factor here that is not a guess: S. Bryson, M. Kunimoto, R. K. Kopparapu, J. L. Coughlin, W. J. Borucki & D. Koch, "The Occurrence of Rocky Habitable-zone Planets around Solar-like Stars from Kepler Data." The Astronomical Journal 161(1), 36, 2020.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-14

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Beispielaufgaben

Kepler-artig - Aus 150.000 Sternen ergeben sich etwa 3.029 erdähnliche Welten. Bei einer Effizienz von 8 % entdeckt die Durchmusterung davon 242; die übrigen 2.787 sind vorhanden, bleiben aber unsichtbar.
TESS-artig - TESS beobachtet mit 200.000 Sternen mehr als Kepler, entdeckt jedoch nur 63 statt 242. Seine Effizienz beträgt nämlich 3 % statt 8 %, sodass die größere Durchmusterung weniger Funde liefert.
Zukünftiger Survey - Eine Million Sterne bei 25 % Effizienz ergeben 9.702 Entdeckungen. Das ist das Vierzigfache der Kepler-Zahl. Die Spanne für 95 % ist nur vier Prozent breit statt fünfundzwanzig, weil die Streuung mit der Quadratwurzel wächst.