Gravitationslinse

Eine massereiche Linse lenkt das Licht einer Hintergrundquelle ab. Passe Masse, Entfernungen und Quellenversatz an, um Einstein-Ringe und Bogenpaare zu erkunden.

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Gravitationslinsen wiegen, was nie leuchtet 🖖

Der Einsteinradius θ_E, den dieses Werkzeug berechnet, hängt von der Masse der Linse und den drei Entfernungen ab – von sonst nichts. Die Leuchtkraft geht nicht in die Rechnung ein. Damit gehört der Gravitationslinseneffekt zu den seltenen Verfahren, die Masse bestimmen können, ohne dass sie Strahlung aussenden muss. Das ist entscheidend, denn der größte Teil tut es nicht: Nach der Planck-Auswertung von 2018 entfallen etwa 26,1 % der Energiedichte auf kalte Dunkle Materie und 4,9 % auf gewöhnliche Materie. Das Verhältnis beträgt mehr als fünf zu eins. Bestimmst du die Masse einer Vordergrundgalaxie anhand ihres Sternenlichts, entgeht dir der größte Teil. Misst du stattdessen, wie stark sie das Licht eines dahinterliegenden Quasars ablenkt, erfasst du die gesamte Masse entlang der Sichtlinie, ob leuchtend oder nicht. Der erste vollständige Einsteinring wurde nicht im sichtbaren Licht aufgelöst, sondern im Infraroten: B1938+666, aufgenommen mit Hubbles NICMOS-Kamera und 1998 von King und seinem Team beschrieben.

Eine Galaxie als Lupe 🖖

Jede Masseansammlung krümmt den Raum um sich herum, und vorbeilaufendes Licht folgt dieser Krümmung — eine Vordergrundgalaxie lenkt so das Licht eines weiter entfernten Objekts dahinter ab. Statt eines Bildes sieht man zwei, einen Bogen oder einen vollständigen Ring, und jedes davon wird aufgehellt. Je schwerer die Linse und je genauer die Ausrichtung, desto größer der Einstein-Radius θ_E, den dieses Werkzeug berechnet. Astronomen nutzen dies als kostenloses Zoomobjektiv, um zu lichtschwache Galaxien zu untersuchen.

Eine Linse, die auf eine Linie fokussiert, nicht auf einen Punkt 🖖

Eine Gravitationslinse ist ein erstaunlich schlechtes optisches Instrument. Eine sammelnde Glaslinse lenkt Strahlen umso stärker ab, je weiter sie von der Mitte entfernt sind, und bündelt paralleles Licht in einem einzigen Brennpunkt; die Gravitation macht das Gegenteil — die Ablenkung α = 4GM/(c²b) wächst, je näher das Licht an der Masse vorbeizieht. Parallele Strahlen treffen sich daher nie in einem Punkt, sondern häufen sich entlang einer bis ins Unendliche reichenden Linie. Genau dieser 'Fehler' lässt gelinste Quellen zu Ringen und Bögen verschmieren statt zu sauberen Punkten.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Linse mit 10¹² Sonnenmassen auf halbem Weg zu einer 1000 Mpc entfernten Quelle 6 Schritte
Eine Linse mit 10¹² Sonnenmassen auf halber Strecke zu einer 1000 Mpc entfernten Quelle. Bestimmen Sie den Einstein-Radius und danach, was den Gravitationslinseneffekt den Aufwand wert macht.
1. Eine einzige Formel, und die Geometrie liegt vollständig in der Entfernungskombination. Beachten Sie, dass es nicht auf die Entfernung zur Linse oder zur Quelle ankommt, sondern auf das Verhältnis D_LS/(D_LD_S) — eine Linse auf halber Strecke ist weit mehr wert als eine direkt vor der Quelle.
  
  $θ_{E} = \frac{4 GM}{c ^{2}} \cdot \frac{D _{L S}}{D _{L} D _{S}} M = 1 0^{12} M_{⊙}, D_{L} = 500, D_{S} = 1000, D_{L S} = 500 Mpc$
2. Betrachten wir zuerst den Massenfaktor. 10¹² Sonnenmassen entsprechen einer Galaxie, und 4GM/c² ist eine Länge von etwa sechs Billiarden Metern — was enorm klingt und etwa ein halbes Lichtjahr ist.
  
  $\frac{4 GM}{c ^{2}} = \frac{4 ( 6.674 \times 1 0 ^{- 11} ) ( 1.989 \times 1 0 ^{42} )}{8.988 \times 1 0 ^{16}} = 5.908 \times 1 0^{15} m$
3. Der Entfernungsfaktor ist eine reziproke Länge, und mit diesen drei Entfernungen reduziert er sich auf genau eins durch 1000 Mpc.
  
  $\frac{D _{L S}}{D _{L} D _{S}} = \frac{500}{500 \times 1000 Mpc} = \frac{1}{1000 Mpc} = 3.241 \times 1 0^{- 26} m^{- 1}$
4. Multiplizieren, die Quadratwurzel ziehen und umrechnen. Ein Radiant entspricht 206.265 Bogensekunden, was dieselbe Konstante ist, die das Parsec definiert.
  
  $θ_{E}^{2} = 1.915 \times 1 0^{- 10} ⟹ θ_{E} = 1.384 \times 1 0^{- 5} rad \times 206265 = 2.85 4^{''}$
5. Die Multiplikation des Winkels mit der Linsenentfernung ergibt den physikalischen Radius des Rings an der Linse — den Bereich der Galaxie, dessen Masse die Ablenkung bewirkt.
  
  $R_{E} = θ_{E} D_{L} = 1.384 \times 1 0^{- 5} \times 500 Mpc = 6.92 kpc$
6. Lösen Sie dieselbe Gleichung schließlich umgekehrt auf.
  
  $M = \frac{c ^{2}}{4 G} θ_{E}^{2} \frac{D _{L} D _{S}}{D _{L S}}$
Antwort

2,854 Bogensekunden, und der eigentliche Gewinn liegt in der letzten Zeile: Man kann sie umkehren. Nach M umgestellt verwandelt dieselbe Gleichung einen gemessenen Winkel und zwei Entfernungen in eine Masse — und sie fragt nie danach, woraus die Masse besteht. Es muss kein Licht von ihr ausgehen, keine Umlaufbahn zeitlich bestimmt werden, keine Annahme über Temperatur oder Ionisation geht ein. Deshalb ist der Linseneffekt das Instrument der Wahl zum Wiegen von Objekten, die nicht leuchten: Massenkarten von Galaxienhaufen und die Messungen, die dunkle Materie zu einer Größe statt zu einem Adjektiv machten. Die Abbildung zeigt die andere Hälfte der Antwort. Zwei Strahlen gehen von der Quelle aus, verlaufen auf gegenüberliegenden Seiten der Linse und kommen gemeinsam an; dreht man das gesamte Diagramm um die gestrichelte Achse, wird aus dem Bildpaar ein Ring.

$θ_{E} = 2.85 4^{''}, R_{E} = 6.92 kpc$

Quellen (4)

The dark-matter and baryon fractions quoted in the first block: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.
The first complete Einstein ring — imaged in the infrared, not in visible light: L. J. King, N. J. Jackson, R. D. Blandford et al., "A complete infrared Einstein ring in the gravitational lens system B1938+666." Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 295, L41–L44, 1998.
Strong lensing as a mass measurement, reviewed: T. Treu, "Strong Lensing by Galaxies." Annual Review of Astronomy and Astrophysics 48, 87–125, 2010.
The deflection α = 4GM/(c²b) and the Einstein radius: P. Schneider, J. Ehlers and E. E. Falco, Gravitational Lenses, ch. 2 and 8. Springer, 1992. ISBN 978-3-540-66506-9.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-01

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Beispielaufgaben

Einstein-Ring - Eine Galaxie mit 10¹² Sonnenmassen in 500 Mpc Entfernung bildet eine Quelle bei 1000 Mpc als Gravitationslinse ab. Es ergibt sich θE = 2,854 Bogensekunden. Steht die Quelle genau dahinter, schließen sich die beiden Bilder zu einem vollständigen Ring.
Bogenpaar - Linse und Entfernungen entsprechen dem Beispiel „Einsteinring“, doch die Quelle ist um 0,8 Bogensekunden gegen die Achse versetzt. θE bleibt mit 2,854 unverändert. Der Ring zerfällt in Bilder bei +3,28 und -2,48; die Vergrößerung sinkt von unbegrenzt auf 3,67.
Haufenlinse - Die hundertfache Masse ergibt den zehnfachen Einsteinradius, denn θE wächst mit der Quadratwurzel aus M: 29,87 Bogensekunden. Die Quelle liegt bei einem Hundertstel dieses Werts und wird nahezu hundertfach vergrößert.
Mikrolinsen-Effekt - Eine Sonnenmasse in 8 kpc Entfernung ergibt θE = 0,71 Millibogensekunden, viertausendmal weniger als beim Galaxienring. Das lässt sich nicht räumlich auflösen. Deshalb zeigt sich Mikrolinseneffekt als Aufhellung und nicht als zwei getrennte Bilder.