Gravitationswellen-Rechner

Gib die beiden Massen, die Entfernung und die Startfrequenz ein, um Chirp-Masse, Verschmelzungszeitpunkt und Signalstärke zu sehen.

Startwerte — Gravitationswellen-Rechner

Primärmasse m₁ (M☉)	36
Sekundärmasse m₂ (M☉)	29
Leuchtkraftentfernung (Mpc)	440
Startfrequenz f₀ (Hz)	20

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

Interaktive Simulation wird geladen...

Ein vier Kilometer langer Arm bewegt sich weniger als ein Proton 🖖

LIGO weist eine Gravitationswelle nach, indem es beobachtet, wie zwei 4 Kilometer lange Laserarme sich um etwa ein Teil in 10²¹ dehnen und stauchen - eine Verzerrung, die einige hundert Mal kleiner ist als die Breite eines Protons. Dieses Signal wird erst glaubwürdig, weil dieselbe Wellenform in Detektoren auftauchen muss, die Tausende Kilometer voneinander entfernt sind, sodass sich ein echter Chirp von lokalem Rauschen wie vorbeifahrenden Lastwagen oder fernen Erdbeben unterscheiden lässt. Auch die Frequenz bleibt nicht konstant: Während die beiden Objekte spiralförmig aufeinander zulaufen, wird Bahnenergie als Gravitationsstrahlung abgestrahlt, sodass die Welle bis zur Verschmelzung immer höher schwingt - der Chirp, nach dem die Kurve dieses Tools benannt ist.

Was die Chirp-Masse verrät 🖖

Wenn zwei kompakte Objekte aufeinander zuspiralen, senden sie nicht ihre beiden Massen getrennt aus. Die Wellenform wird fast vollständig von einer einzigen Kombination bestimmt, der Chirp-Masse M_c = (m₁m₂)^3/5/(m₁+m₂)^1/5. Diese eine Zahl steuert, wie schnell die Frequenz nach oben wandert — misst man das Tempo des Chirps, erhält man die Chirp-Masse direkt. Deshalb stellt dieses Werkzeug sie in den Mittelpunkt.

Verschmelzungen als Standardsirenen 🖖

Die Amplitude einer Gravitationswelle hängt so von der wahren Leuchtkraftentfernung der Quelle ab, dass Physiker sie aus ersten Prinzipien berechnen können — ohne Kalibrierung an Cepheiden oder Supernovae. Damit wird jede Verschmelzung zu einer Standardsirene: der Chirp liefert die Massen, die Amplitude die Entfernung. Kombiniert mit einer Rotverschiebung ergibt das eine unabhängige Messung der Hubble-Konstante — genau so trug die Neutronenstern-Verschmelzung GW170817 von 2017 zur Frage bei, wie schnell sich das Universum ausdehnt.

Aufgaben vollständig gelöst

36 und 29 Sonnenmassen bei 440 Mpc 6 Schritte
36 und 29 Sonnenmassen bei 440 Mpc. Bestimmen Sie die Chirp-Masse, die Dauer des Signals und wie weit sich die Spiegel von LIGO tatsächlich bewegen — finden Sie dann die eine Zahl auf dem Bedienfeld, die von keiner der Eingaben abhängt.
1. Zwei Massen gehen in nur einer einzigen Kombination in die Wellenform ein, und genau das ist sie. Die Chirp-Masse ist das, was ein Detektor direkt misst — die Einzelmassen müssen erst später herausgearbeitet werden, aus jenem Teil des Signals, den diese Formel nicht sieht.
  
  $M = \frac{( m _{1} m _{2} ) ^{3/5}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{1/5}} = \frac{( 36 \times 29 ) ^{3/5}}{6 5 ^{1/5}} = \frac{104 4 ^{0.6}}{6 5 ^{0.2}} = \frac{64.77}{2.305} = 28.1 M_{⊙}$
2. Die Zeit bis zur Verschmelzung skaliert mit der Chirp-Masse hoch −5/3 und der Einstiegsfrequenz hoch −8/3. Beide Exponenten sind groß, sodass beide Eingabewerte weitaus wichtiger sind, als es den Anschein hat.
  
  $τ \approx 2.18 (\frac{1.21}{M})^{5/3} (\frac{100}{f _{0}})^{8/3} = 2.18 (0.04306)^{5/3} (5)^{8/3} = 0.843 s$
3. Die innerste stabile Kreisbahn ist dort, wo das Einspiralen enden muss, und ihre Frequenz verhält sich umgekehrt proportional zur Gesamtmasse: Ein schwereres Binärsystem verschmilzt bei einer tieferen Frequenz. Bei 65 Sonnenmassen sind das 68 Hz — nahe der Untergrenze von LIGOs Frequenzband, weshalb dieses Ereignis eher als ein Dumpfen statt als ein Chirp wahrgenommen wurde.
  
  $f_{ISCO} = \frac{c ^{3}}{6 6 π G M _{tot}} = \frac{2.694 \times 1 0 ^{25}}{14.70 \times 2.711 \times 1 0 ^{22}} = 67.6 Hz$
4. Der Strain ist dimensionslos: Er beschreibt die relative Dehnung des Raumes. Multiplizieren Sie mit der Armlänge, um eine Distanz zu erhalten.
  
  $h_{peak} \approx 1.16 \times 1 0^{- 21} ⟹ Δ L = 4000 \times 1.16 \times 1 0^{- 21} = 4.6 \times 1 0^{- 18} m$
5. Setzen Sie diese Distanz in einen Vergleich. Ein Proton misst 8,4 × 10⁻¹⁶ m im Ladungsradius, und die Spiegel haben sich um weniger als ein Hundertstel davon bewegt.
  
  $\frac{4.6 \times 1 0 ^{- 18}}{8.41 \times 1 0 ^{- 16}} = \frac{1}{181} of a proton’s radius$
6. Nun zur Zeile, die sich nie ändert. Nichts vom Doppelsternsystem geht darin ein — dies ist eine Obergrenze, keine Messung.
  
  $L_{GW} \sim \frac{c ^{5}}{5 G} = \frac{2.42 \times 1 0 ^{42}}{3.34 \times 1 0 ^{- 10}} = 7.26 \times 1 0^{51} W = 1.90 \times 1 0^{25} L_{⊙}$
Antwort

Die Leuchtkraft, und sie beträgt c⁵/5G. Jede andere Zeile verändert sich beim Bewegen eines Schiebereglers; jene bleibt bei 1,90 × 10²⁵ L☉, ungeachtet der Massen, der Entfernung oder der Anfangsfrequenz, da sie ausschließlich aus der Lichtgeschwindigkeit und der Gravitationskonstanten gebildet wird. Es ist die größte Leistung, die ein Prozess in der Allgemeinen Relativitätstheorie abstrahlen kann, und für einige Millisekunden gab diese Verschmelzung mehr davon ab als alle Sterne im beobachtbaren Universum an Licht aussenden. Das andere Ende der Skala befindet sich auf demselben Bedienfeld: 1,16 × 10⁻²¹ an Strain über die 4 km langen Arme von LIGO entspricht einer Längenänderung von 4,6 × 10⁻¹⁸ m, was ein 181stel des Protonenradius ist. Beide Zahlen beschreiben dasselbe Ereignis.

$M = 28.1 M_{⊙}, τ = 843 ms, f_{ISCO} = 67.6 Hz, L_{GW} = \frac{c ^{5}}{5 G}$
Zwei Neutronensterne mit je 1,4 Sonnenmassen bei 100 Mpc 5 Schritte
Zwei Neutronensterne mit jeweils 1,4 Sonnenmassen bei 100 Mpc. Sagen Sie jede Zeile anhand der obigen Antwort für Schwarze Löcher voraus, ohne irgendetwas neu zu berechnen, nur unter Verwendung der Exponenten.
1. Berechnen Sie nur die Chirp-Masse neu. Für gleiche Massen vereinfacht sie sich auf das 2^−1/5-Fache der gemeinsamen Masse, was bei einem Paar von 1,4ern 1,22 ergibt.
  
  $M = \frac{( 1.4 \times 1.4 ) ^{3/5}}{2. 8 ^{1/5}} = \frac{1.9 6 ^{0.6}}{2. 8 ^{0.2}} = \frac{1.4869}{1.2200} = 1.22 M_{⊙}$
2. Alles andere ist ein Verhältnis. Der Exponent für die Dauer beträgt −5/3; bilden Sie also zuerst das Massenverhältnis und potenzieren Sie es einmal.
  
  $\frac{τ _{NS}}{τ _{BH}} = (\frac{M _{BH}}{M _{NS}})^{5/3} = (\frac{28.10}{1.219})^{5/3} = 23.0 5^{5/3} = 187$
3. Wenden Sie dies auf die 0,843 s aus der vorherigen Aufgabe an. Kein Integral, keine Konstanten, keine Formel über den Exponenten hinaus.
  
  $τ = 0.843 \times 187 = 157 s = 2.6 min$
4. Die ISCO-Frequenz ist umgekehrt proportional zur Gesamtmasse; derselbe Trick mit einem viel kleineren Exponenten liefert also die Frequenz am Ende.
  
  $f_{ISCO} \propto \frac{1}{M _{tot}} : 67.6 \times \frac{65}{2.8} = 1570 Hz$
5. Der Strain weist zwei Abhängigkeiten gleichzeitig auf — steigend mit der Chirp-Masse hoch 5/3, fallend mit der Entfernung — und dieses Paar ist sowohl leichter als auch näher, sodass sich die Effekte teilweise aufheben.
  
  $h \propto \frac{M ^{5/3}}{d _{L}} : 1.16 \times 1 0^{- 21} \times (\frac{1.219}{28.10})^{5/3} \times \frac{440}{100} = 2.2 \times 1 0^{- 22}$
Antwort

Der gesamte Unterschied liegt in einem einzigen Potenzgesetz: 187. Die Chirp-Masse fällt von 28,10 auf 1,22, und da die Einspiraldauer mit ℳ^−5/3 skaliert, vervielfacht das Teilen der Masse durch 23 die Zeit um 23^5/3 = 187. Das macht aus 0,84 Sekunden 157, weshalb die Verschmelzung von Neutronensternen jene ist, die LIGO noch während ihres Ablaufs ankündigen kann — 2,6 Minuten reichen aus, um Teleskope auszurichten, und GW170817 ist der Grund, warum überhaupt jemand die Kilonova beobachten konnte. Derselbe Hebel wirkt am anderen Ende gegen einen: f_ISCO verhält sich wie 1/M, sodass die Verschmelzung bei 1570 Hz endet, weit oberhalb des Bereichs, in dem die Detektoren am empfindlichsten sind. Leichte Binärsysteme sind beim Herannahen leicht zu hören, beim Eintreffen dagegen schwer.

$M = 1.22 M_{⊙} ⟹ τ \times 187, f_{ISCO} \times 23, h \div 5$

Quellen (3)

The detection the first block describes, and its measured strain: B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger." Physical Review Letters 116(6), 061102, 2016.
The neutron-star merger behind the gw170817 preset: B. P. Abbott et al., "GW170817: Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral." Physical Review Letters 119(16), 161101, 2017.
The chirp-mass and peak-strain expressions the tool evaluates: M. Maggiore, Gravitational Waves, Volume 1: Theory and Experiments, §4.1. Oxford University Press, 2008. ISBN 978-0-19-857074-5.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-05

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Astronomie & Weltraum →

Beispielaufgaben

GW150914 - GW150914: erste Detektion, Chirp-Masse ~28.1 Msun
GW170817 - Neutronensterne von 1,17 und 1,36 Sonnenmassen ergeben eine Chirp-Masse von 1,10, die unter beiden Einzelwerten liegt. Genau diese eine Zahl ist in der Wellenform kodiert und verschafft dir ab 20 Hz ganze 3,1 Minuten im Frequenzband. Erhöhe die Startfrequenz um zehn Hertz und die Dauer schrumpft auf 1,1 Minuten. Zwei Drittel des Signals stecken im untersten Abschnitt des Bandes – ausgerechnet dort, wo es am schwierigsten ist, einen Detektor zu bauen.
NS-NS-Verschmelzung - Zwei lehrbuchmäßige Neutronensterne von jeweils 1,4 Sonnenmassen: Chirp-Masse 1,22 und 2,6 Minuten von 20 Hz bis zur Verschmelzung. Das ist kürzer als der Durchlauf von GW170817, und GW170817 ist das leichtere Paar. Die Masse treibt den Inspiral an, daher bleibt dir beim schwereren System weniger Zeit zum Zuhören. Die 1570,1 Hz unten sind die ISCO-Frequenz. Ab hier gibt es keine stabile Kreisbahn mehr und die beiden Sterne stürzen ineinander.
SL-SL-Verschmelzung - Ein Schwarzes Loch von 160 Sonnenmassen lässt die ISCO-Frequenz auf 27,5 Hz abfallen – kaum über den 20 Hz, bei denen das Diagramm beginnt. Innerhalb des Bandes dauert das ganze Ereignis 185,7 ms: kein ansteigendes Zwitschern, das du mitsummen könntest, nur ein einziger dumpfer Schlag. Dennoch ist es mit 1,28 × 10⁻²¹ die lauteste der vier Voreinstellungen, aus 1.000 Mpc und damit aus mehr als der zwanzigfachen Entfernung von GW170817.