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Hill-Sphäre-Rechner

Berechne den Hill-Radius aus Bahngröße, Massen und Exzentrizität und schätze konservative Bänder stabiler Umlaufbahnen ab.

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warum heiße Jupiter keine Monde haben — und wo das JWST wohnt 🖖

Ein heißer Jupiter bei 0,04 AE hat eine Hill-Sphäre von nur ~450.000 km. Die stabile prograde Zone endet bei ~225.000 km — kleiner als die Mondbahn um die Erde mit 384.400 km. Jeder existierende Mond wurde während der Einwärtswanderung des Planeten weggefegt, und kein neuer könnte dort überleben. Deshalb wurde noch nie ein bestätigter Exomond um einen heißen Jupiter gefunden. Dieselbe Geometrie erklärt, wo Weltraumteleskope parken: Die Lagrange-Punkte L1 und L2 liegen fast genau einen Hill-Radius von der Erde entfernt (~1,5 Millionen km). Das JWST umkreist L2 und liegt damit gerade noch innerhalb der Gravitationsgrenze der Erde — weit genug entfernt, um atmosphärische und thermische Störungen zu vermeiden, nah genug, dass die Erdanziehung es gegen solare Störungen gebunden hält. Die Hill-Sphäre ist nicht nur eine theoretische Grenze; sie ist die Adresse unseres leistungsfähigsten Observatoriums.

Wo die Anziehung eines Planeten die der Sonne schlägt 🖖

Ein Mond steckt in einem Tauziehen: Sein Planet zieht ihn heran, während die weit massereichere Sonne ihn loszureißen versucht. Die Hill-Sphäre markiert, wo der Planet gewinnt — innerhalb können Umlaufbahnen stabil sein, außerhalb driftet ein Satellit auf seine eigene Bahn um die Sonne ab. Der Radius wächst nur mit der Kubikwurzel des Massenverhältnisses und ändert sich daher langsam. Als Faustregel bleibt ein Mond auf einer normalen prograden Bahn nur bis etwa zum halben Hill-Radius sicher — deshalb drängen sich echte Monde weit innerhalb der Grenze.

Rückläufige Monde überleben weiter außen 🖖

Erstaunlicherweise bleibt ein Mond, der seinen Planeten „falsch herum“ umkreist — retrograd, entgegen der Bewegung des Planeten —, bis etwa 0.7 des Hill-Radius stabil, während ein prograder Mond schon jenseits von rund 0.5 entkommt. Die umgekehrte Bewegung schwächt den wiederkehrenden Zug der Sonne pro Umlauf. Das ist keine Kuriosität: Fast alle weit entfernten äußeren Monde von Jupiter und Saturn laufen retrograd — genau weil nur solche weiten Bahnen dauerhaft bestehen.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Grenze, an der etwas noch die Erde umkreisen kann anstatt der Sonne 5 Schritte

    Wie weit von der Erde entfernt kann etwas noch die Erde umkreisen, anstatt von der Sonne eingefangen zu werden — und liegt der Mond sicher innerhalb dieser Grenze? Erde: m = 5.972 × 10²⁴ kg, a = 1 AU, e = 0.0167. Sonne: M = 1.989 × 10³⁰ kg.

    1. Der Hill-Radius ist dort, wo die Anziehungskraft eines Planeten auf einen kleinen Körper der Gezeitenkraft der Sonne in dieser Entfernung entspricht. Die Kubikwurzel ist das Kennzeichen dieses Gleichgewichts: Es ist das Verhältnis einer Masse zu einer Masse hoch ein Drittel, weil die Gravitation mit dem umgekehrten Quadrat abfällt, der Gezeitenterm dagegen nicht.

    2. Berechne zuerst das Massenverhältnis — dies ist die Größe, die der Rechner oben als „Massenverhältnis“ anzeigt, und beachte, dass es m/3M ist, nicht m/M.

    3. Ziehe die Kubikwurzel. Beachte, wie stark die Kubikwurzel komprimiert: Ein Millionstel wird zu einem Hundertstel, sodass die Einflusssphäre der Erde etwa 1% ihrer Entfernung zur Sonne beträgt, obwohl die Erde nur ein Millionstel der Sonnenmasse besitzt.

    4. Multipliziere mit der Perihel-Entfernung — dem engsten Punkt der Umlaufbahn, weil die Sonne dort am stärksten konkurriert und die Grenze daher dort am kleinsten ist.

    5. Teste nun den Mond daran. Rechtläufige Umlaufbahnen sind nur bis etwa zum halben Hill-Radius stabil, das ist also die Grenze, die der Mond einhalten muss.

    Antwort

    1.472 × 10⁶ km, und der Mond liegt bei 3.84 × 10⁵ km bei 0.26 davon — sicher innerhalb selbst der strengeren halben Hill-Grenze für rechtläufige Umlaufbahnen. Die Kubikwurzel ist der Grund, warum dies überhaupt funktioniert: Sie ist eine so stark komprimierende Funktion, dass ein Planet mit einem Millionstel der Masse seines Sterns noch immer eine Region beherrscht, die 1% so breit ist wie seine Umlaufbahn. Das ist auch der Grund, warum Einfänge selten sind und warum ferne unregelmäßige Monde alle rückläufig sind — rückläufige Umlaufbahnen bleiben bis etwa 0.7 rH stabil, weiter als rechtläufige.

Quellen (2)

· Aktualisiert

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Beispielaufgaben

  • Erde um Sonne - Die Erde um die Sonne ergibt einen Hill-Radius von etwa 0.01 AU, was eine grobe Grenze für stabile Satelliten setzt.
  • Jupiter um Sonne - Jupiter besitzt eine sehr große Hill-Sphäre, die viele weit entfernte Monde ermöglicht.
  • Mond um Erde - Der Mond um die Erde hat eine viel kleinere Hill-Sphäre, was die langfristige Stabilität von Submonden einschränkt.
  • Heißer Jupiter, enge Bahn - Nahe Hot Jupiters besitzen kompakte Hill-Sphären, wodurch weite Mondumlaufbahnen kaum stabil bleiben.