Aufgabe vollständig gelöst
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Lineare Stabilität der Dreieckspunkte L4 und L5 5 Schritte
Die Erde hat eine Masse von 5,972 × 10²⁴ kg und der Mond 7,346 × 10²² kg. Das Routh-Kriterium entscheidet, ob die Dreieckspunkte L4 und L5 eines Zweikörpersystems linear stabil sind, und verlangt genau eine Zahl für das Paar. Berechnen Sie diese für das Erde-Mond-System und bestimmen Sie anschließend das Massenverhältnis, bei dem das Kriterium nicht mehr gilt.
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Die beiden Massen gehen nur über den Anteil an der Gesamtmasse ein, den der kleinere Körper trägt. Gemessen an planetaren Maßstäben ist der Mond ein schwerer Sekundärkörper — über 1 % des Paares —, sodass dies kein Fall ist, in dem μ als vernachlässigbar behandelt werden kann.
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Linearisiert man die Bewegungsgleichungen im rotierenden Bezugssystem um L4, so erfüllen die vier Eigenwerte λ eine Gleichung vierten Grades ohne ungerade Potenzen. Das ist eine getarnte quadratische Gleichung: Setzt man s = λ², sind nur zwei statt vier Wurzeln zu betrachten.
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λ = ±√s, sodass ein negatives s ein rein imaginäres Paar ergibt und eλt weder anwächst noch abklingt. Lesen Sie ab, was die Koeffizienten bereits garantieren: Die Wurzeln summieren sich zu −1 und ihr Produkt ist positiv; falls sie also reell sind, sind beide ohne weiteren Aufwand negativ. Nur die Quadratwurzel kann das zunichtemachen.
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Das gesamte Kriterium besteht also aus einer einzigen Ungleichung — 27μ(1−μ) muss unter 1 bleiben. Beim Erde-Mond-Paar liegt dieser Wert bei 0,3241, was 32 % des Grenzwerts entspricht.
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Unter der Quadratwurzel verbleibt die Diskriminante 0,6759, und diese ist positiv: Die beiden Wurzeln für s erweisen sich als reell und liegen bei −0,0889 und −0,9111. Beide sind negativ, wie von den Koeffizienten versprochen.
Antwort
μ = 0,01215, 27μ(1−μ) = 0,3241, D = 0,6759. Die entscheidende Frage ist, wo diese 32 % enden. Setzt man 27μ(1−μ) = 1, erhält man eine quadratische Gleichung für μ: 27μ² − 27μ + 1 = 0, deren relevante Nullstelle (27 − √621)/54 = 0,03852 ist. Als Massenverhältnis ausgedrückt muss der Hauptkörper den Sekundärkörper um 24,96 zu 1 überwiegen. Die Erde überwiegt den Mond um 81,30 zu 1, sodass der Mond 3,26-mal schwerer sein könnte, bevor das Kriterium versagt — der Spielraum ist groß, aber es ist ein Spielraum und keine Ungleichung, die für jedes Paar gilt. Pluto und Charon sind das Paar, das dieses Kriterium bricht: 8,2 zu 1 ergibt μ = 0,1085, 27μ(1−μ) = 2,612 und eine Diskriminante von −1,612. Eine negative Diskriminante macht beide Wurzeln für s komplex, und unter den vier Quadratwurzeln eines komplex konjugierten Paares gibt es immer eine mit einem positiven Realteil.
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Quellen (3)
- The Routh criterion and the two libration frequencies at L4/L5: C. D. Murray and S. F. Dermott, Solar System Dynamics, §3.9. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-57597-3.
- The restricted three-body problem in full, including why L4/L5 are potential maxima: V. Szebehely, Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Academic Press, 1967.
- The low-energy transfer network named in the third block: W. S. Koon, M. W. Lo, J. E. Marsden and S. D. Ross, "Heteroclinic connections between periodic orbits and resonance transitions in celestial mechanics." Chaos 10(2), 427–469, 2000.