Rechner für planetare Dichte

ρ = 3M / 4πR³ — die mittlere Dichte ist die eine Zahl, die verrät, woraus ein Planet besteht, ohne dass je eine Sonde landen musste.

Startwerte — Rechner für planetare Dichte

Masse (M)	5.972 × 10²⁴
Radius (R)	6.371 × 10⁶

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Lektion

Die Theorie — Rechner für planetare Dichte

Die mittlere Dichte ist die Gesamtmasse eines Planeten geteilt durch sein Gesamtvolumen — eine einzige Zahl für den gesamten Körper. Sie ist nicht die Dichte eines Gegenstands, den du aufheben könntest: Sie ist der Mittelwert über Kruste, Mantel und Kern zusammen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

ρ: die mittlere Dichte, hier in Gramm pro Kubikzentimeter angegeben, damit die Zahlen mit bekannten Materialien vergleichbar sind — Wasser liegt bei 1, Eisen bei etwa 7,9.
R: der Radius des Planeten, bei der Erde 6.371 × 10⁶ m. Er geht in der dritten Potenz ein, sodass ein Fehler von 10% beim Radius die Dichte um etwa 30% verändert.
3/4π: die geometrische Konstante, die auftritt, sobald du eine Kugel annimmst — nichts Physikalisches, nur die Form.

Woher die Formel kommt

Dichte ist Masse durch Volumen: ρ = M / V. Noch geht es nicht um Planeten.
Angenommen, der Körper ist eine Kugel mit dem Volumen V = (4/3)πR³.
Setze ein und vereinfache: ρ = M / ((4/3)πR³) = 3M / (4πR³). Das ist der Ausdruck auf der Seite, und mit Masse und Radius der Erde ergibt das 5.513 g/cm³.

Setzt voraus: Eine Kugel sowie die Voraussetzung, dass Masse und Radius bekannt sind. Bei einem fernen Planeten wird keines von beidem direkt gemessen: Die Masse ergibt sich aus seiner Anziehungskraft auf einen anderen Körper, der Radius aus der Menge an Sternenlicht, die er verdeckt — eine mittlere Dichte erbt somit die Messunsicherheiten beider Werte.
Versagt, wenn: Ein Mittelwert verbirgt die innere Struktur vollständig, und die Erde ist dafür das deutlichste Beispiel: Ihre mittlere Dichte beträgt 5.513 g/cm³, doch ihr Kern weist etwa den doppelten und ihre Kruste etwa den halben Wert auf. Zwei völlig unterschiedlich aufgebaute Planeten können exakt dieselbe mittlere Dichte haben; die Zahl schränkt also ein, woraus eine Welt besteht, ohne es jemals eindeutig zu bestimmen.

Dichte als planetares Röntgenbild 🖖

Wir haben nie mehr als 12 km tief in die Erde gebohrt, und dennoch wissen wir, dass ihr Kern aus Eisen besteht. Der Trick ist die mittlere Dichte: ρ = 3M/(4πR³). Die Masse ergibt sich aus der zeitlichen Vermessung von Mond- oder Sondenbahnen, der Radius aus Bedeckungen oder Radar-Altimetrie. Die resultierende Dichte wird mit Zustandsgleichungen für Gestein, Eis und Eisen bei hohem Druck abgeglichen und grenzt so ein, welche Materialmischung im Inneren stecken muss. Eine Dichte unter ~2 g/cm³ schließt einen nennenswerten Gesteinsanteil aus. Über ~5 g/cm³ ist ein großer Eisenkern kaum zu vermeiden. Seismologie und Trägheitsmomentmessungen verfeinern das Bild — doch die Dichte allein leistet den Großteil der Arbeit, bevor überhaupt eine Sonde losgeschickt wird.

Was die Packung über eine Welt verrät 🖖

Dichte misst schlicht, wie viel Material in einen gegebenen Raum gepresst ist, in Gramm pro Kubikzentimeter. Vergleichst du diese eine Zahl zwischen den Welten, lässt sich erraten, woraus ein Planet besteht, ganz ohne Landung. Ein verblüffender Fall: Saturns mittlere Dichte beträgt nur etwa 0,69 g/cm³, weniger als Wasser, sodass er in einem genügend großen Ozean schwimmen würde, während die felsige Erde mit 5,51 g/cm³ der dichteste Planet des Sonnensystems ist.

Schwerkraft fälscht die Dichte eines Planeten 🖖

Große Planeten pressen sich selbst zusammen: Ihre eigene Schwerkraft komprimiert das Innere, sodass die gemessene mittlere Dichte höher ausfällt als der natürliche Materialwert. Astronomen rechnen dies heraus, um die unkomprimierte Dichte zu erhalten. Tust du das, ist Merkur, nicht die Erde, am dichtesten, mit etwa 5,3 g/cm³ gegenüber ~4,4 der Erde, was einen überdimensionierten Eisenkern verrät, der rund 83% seines Radius einnimmt.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Der Radius geht in der dritten Potenz ein, ein kleiner Fehler dort ist also ein großer Fehler in der Dichte. Die 6.371 × 10⁶ m der Erde ergeben 5.513 g/cm³. Erhöhe den Radius um 10% auf 7.008 × 10⁶, dann senke ihn um 10% auf 5.734 × 10⁶. Sind beide Fehler gleich groß?

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Nein, und der Unterschied ist es wert, vor jeder Fehlerangabe bekannt zu sein. Zehn Prozent zu groß ergibt 4.142 g/cm³, ein Rückgang um 25%. Zehn Prozent zu klein ergibt 7.563 g/cm³, ein Anstieg um 37%. Eine dritte Potenz ist um 1 nicht symmetrisch: 1.1³ = 1.331, aber 0.9³ = 0.729. Derselbe Ausrutscher im Radius kostet in der einen Richtung also die Hälfte mehr, und einer Dichte aus einem zu klein gemessenen Radius ist am wenigsten zu trauen.
Drücke Mercury, dann Earth. Die beiden Mittelwerte kommen als 5.427 und 5.513 g/cm³ heraus, weniger als 2% auseinander. Sind das damit ähnliche Welten?

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Nein — und die Massenfelder zeigen den Haken schon vor jeder Korrektur: 5.972 × 10²⁴ kg der Erde gegen 3.301 × 10²³ von Merkur ist ein Faktor achtzehn. Ein großer Planet presst sich selbst zusammen, das Mittel der Erde überschätzt also, was ihr Material in Ruhe wäre, während der weit leichtere Merkur kaum komprimiert wird. Rechnest du das heraus, tauschen beide die Plätze: Merkur bei etwa 5.3 gegen die 4.4 der Erde. Eine mittlere Dichte ist eine starke Einschränkung und ein schwacher Schluss: Sie schließt aus, woraus eine Welt nicht bestehen kann, lange bevor sie sagt, woraus sie besteht.

Aufgabe vollständig gelöst

Oberflächengravitation aus der mittleren Dichte der Erde von 5,513 g/cm³ und Oberflächengestein 6 Schritte
Aus Masse und Radius der Erde ergibt sich eine mittlere Dichte von 5,513 g/cm³. Gestein an der Oberfläche liegt bei etwa 2,9. Leiten Sie ab, zu welchem Schluss das zwingt, und ermitteln Sie dann aus denselben beiden Zahlen die Schwerebeschleunigung an der Oberfläche.
1. Die mittlere Dichte ist Masse durch Volumen, und beim Kugelvolumen geht der Radius kubisch ein — ein Fehler von 1% in R führt daher zu einem Fehler von 3% in ρ.
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{1.0832 \times 1 0 ^{21}} = 5513 kg/ m^{3}$
2. Rechnen Sie in die von Geologen verwendete Einheit um und vergleichen Sie den Wert mit Gestein. Basalt liegt bei 2,9, Granit bei 2,7, und der Durchschnittswert der Erde ist fast doppelt so hoch wie beide.
  
  $ρ = 5.513 g/c m^{3} against surface basalt at 2.9 g/c m^{3}$
3. Die Schwerebeschleunigung an der Oberfläche aus denselben Eingabewerten. Die 9,82 liegt leicht über dem Standardwert von 9,80665, weil der Standardwert die Rotation und die Äquatorausbuchtung berücksichtigt, während diese Kugel beides nicht aufweist.
  
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{6.674 \times 1 0 ^{- 11} \times 5.972 \times 1 0 ^{24}}{( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} = 9.82 m/ s^{2}$
4. Setzt man die Dichte wieder in die Schwereformel ein, fällt die Masse heraus. Die Schwere an der Oberfläche einer homogenen Kugel ist proportional zu ρR und zu sonst nichts.
  
  $g = \frac{G \cdot \frac{4}{3} π R ^{3} ρ}{R ^{2}} = \frac{4}{3} π GρR ⟹ g \propto ρR$
5. Prüfen Sie das an einem Himmelskörper mit einer völlig anderen Masse. Der Mond besitzt 1,2% der Erdmasse, aber 27% ihres Radius und 61% ihrer Dichte, und die Formel liefert seine Schwerebeschleunigung korrekt.
  
  $Moon : ρ = 3340, R = 1.737 \times 1 0^{6} ⟹ g = \frac{4}{3} π G (3340) (1.737 \times 1 0^{6}) = 1.62 m/ s^{2}$
6. Eine weitere Zeile liefert die Fluchtgeschwindigkeit — dieselbe Energieaussage, formuliert für ein sich entfernendes statt für ein ruhendes Objekt.
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = 2 g R = 11186 m/s$
Antwort

Das zwingt zu dem Schluss, dass das Erdinnere etwa doppelt so dicht ist wie alles, was man in die Hand nehmen kann. Die mittlere Dichte ist ein volumengewichteter Mittelwert, und die Kruste macht in diesem Volumen kaum mehr als einen Rundungsfehler aus — wenn der äußere Teil also bei 2,9 liegt, muss der innere Teil weit über 5,5 liegen, um den Mittelwert dorthin zu ziehen, und das einzige kosmisch häufige Material dieser Dichte ist Eisen. Dieser eine Rechenschritt, der jedem offenstand, der über Cavendishs G und einen mittleren Radius verfügte, ist der Grund, warum man schon lange vor den ersten seismologischen Nachweisen wusste, dass die Erde einen Eisenkern besitzt. Dieselben beiden Zahlen liefern die Schwerebeschleunigung an der Oberfläche, und die elegante Formel g = (4/3)πGρR zeigt, dass die Schwere nur von Dichte und Radius abhängt, nicht von der Masse — setzt man die 3340 kg/m³ und 1738 km des Mondes ein, ergibt sich 1,62 m/s², genau der Wert, unter dem die Apollo-Astronauten gingen.

$ρ = 5.513 g/c m^{3} ≫ 2.9 ⟹ something much denser is underneath$

Quellen (1)

Earth's mass and radius, as the nominal values adopted by the IAU: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Merkur - Merkur — 5,43 g/cm³, ungewöhnlich eisenreicher Kern (83% des Radius)
Venus - Venus — 5,24 g/cm³, der Erde in Größe, Masse und Dichte fast gleich
Erde - Erde — 5,51 g/cm³, der dichteste Planet des Sonnensystems
Mars - Mars — 3,92 g/cm³, gesteinsartig, aber mit anteilig kleinerem Kern als die Erde
Jupiter - Jupiter — 1,33 g/cm³, nach Neptun der dichteste der vier Riesen
Saturn - Saturn — 0,69 g/cm³, leichter als Wasser; er würde schwimmen
Uranus - Uranus — 1,27 g/cm³, nach Saturn der am wenigsten dichte Riese
Neptun - Neptun — 1,64 g/cm³, dichter als Uranus trotz fast gleicher Größe
Mond - Der Mond — 3,34 g/cm³, gesteinsartig mit nur sehr kleinem Kern
Pluto - Pluto — 1,85 g/cm³, etwa zwei Drittel Gestein zu einem Drittel Eis