Radialgeschwindigkeits-Halbamplitude

Nutze die RV-Halbamplituden-Beziehung, um die Nachweisbarkeit abzuschätzen oder m sin(i) aus der beobachteten Doppler-Wacklung zu bestimmen.

Rechenbeispiel — Radialgeschwindigkeits-Halbamplitude

RV-Halbamplitude K	0.2968 m/s
Mindestmasse m sin(i)	1 Erdmassen (0.00315 Jupitermassen)
RV-Schwankung Spitze-Spitze	0.5936 m/s
sin(i)	1
Bahnradius des Sterns	40.814 km

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Radialgeschwindigkeit liefert immer nur eine Mindestmasse 🖖

Das Wackeln verrät die Bewegung des Sterns entlang unserer Sichtlinie und nichts über seine Bewegung quer dazu. Aus der Messung fällt daher nicht die Planetenmasse heraus, sondern m sin i, wobei i eine Bahnneigung ist, die niemand aus denselben Daten ablesen kann. Von der Kante gesehen, bei i = 90°, ist der Wert die wahre Masse. Bei 30° ist der echte Planet doppelt so schwer wie angegeben, bei 10° 5,8-mal, bei 5° 11,5-mal. Ein als neptungroß gemeldetes Signal kann also ein fast von vorn gesehener Brauner Zwerg sein, und die Radialgeschwindigkeit allein kann das nie ausschließen. Genau deshalb macht ein Transit — der nur auftritt, wenn die Bahn nahezu von der Kante zu sehen ist, und damit i festlegt — aus einer Mindestmasse eine echte.

Wie das Taumeln eines Sterns einen verborgenen Planeten verrät 🖖

Ein Planet umkreist nicht einfach seinen Stern — beide Körper kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, sodass auch der Stern eine kleine Schleife beschreibt. Bewegt er sich auf uns zu, ist sein Licht blauverschoben; entfernt er sich, rotverschoben. K ist die höchste Geschwindigkeit dieses Taumelns entlang der Sichtlinie. Jupiter zieht die Sonne mit etwa 12.5 m/s, dem Tempo eines schnellen Radfahrers, die Erde nur mit 0.09 m/s.

Das Taumeln schwächt sich mit der Entfernung nicht ab 🖖

Fast jedes astronomische Signal wird mit der Entfernung schwächer — die Helligkeit nimmt mit dem Quadrat ab. Die RV-Halbamplitude K nicht: Sie steckt in der Bahn selbst, sodass ein Stern in 10 oder 1000 Parsec Entfernung mit exakt derselben Geschwindigkeit taumelt. Die Entfernung begrenzt nur, wie viele Photonen man für das Spektrum sammeln kann. Instrumente wie ESPRESSO erreichen heute etwa 10 cm/s — sie spüren einen Stern, der über Billionen Kilometer langsamer als ein schlendernder Mensch driftet.

Aufgabe vollständig gelöst

Taumeln eines Sterns mit 0,2968 m/s durch einen Planeten von Erdmasse auf einer 10-Tage-Umlaufbahn 5 Schritte
Ein Planet mit der Masse der Erde auf einer 10-tägigen Umlaufbahn lässt seinen Stern mit 0,2968 m/s schwanken. Das entspricht Schrittgeschwindigkeit. Ermitteln Sie, wie weit sich der Stern tatsächlich bewegt — und warum heiße Jupiter zuerst entdeckt wurden.
1. Beide Körper umkreisen ihren gemeinsamen Schwerpunkt, sodass der Stern eine eigene kleine Ellipse beschreibt. Die Halbamplitude K ist die Geschwindigkeit dieser Bewegung, projiziert auf unsere Sichtlinie — mehr kann ein Spektrograf nicht messen.
  
  $K = (\frac{2 π G}{P})^{1/3} \frac{m _{p} sin i}{( M _{⋆} + m _{p} ) ^{2/3}} \cdot \frac{1}{1 - e ^{2}}$
2. In der Formel ist hier alles bekannt außer dem Planeten: ein Stern mit Sonnenmasse, eine kreisförmige Umlaufbahn in Kantenstellung und eine Erdmasse bei zehn Tagen.
  
  $P = 10 d, m_{p} = 1 M_{\oplus}, M_{⋆} = 1 M_{⊙}, i = 9 0^{\circ}, e = 0$
3. Das Ergebnis beträgt 0,2968 m/s. Ein Spektrograf muss daher eine Doppler-Verschiebung von einem Milliardstel auflösen — weshalb das Fachgebiet eher auf die Stabilität der Instrumente als auf die Größe der Teleskope wartete.
  
  $K = 0.2968 m/s ⟹ peak-to-peak = 0.5936 m/s$
4. Die Umlaufbahn des Sterns ist noch kleiner. Aus ihr lässt sich dieselbe Geschwindigkeit auf einem zweiten Weg bestimmen. Nach dem dritten Keplerschen Gesetz ergibt sich für zehn Tage und eine Sonnenmasse eine Planetenbahn mit einem Radius von 1,359 × 10¹⁰ m. Der Bahnradius des Sterns ist um das Massenverhältnis kleiner, also auf einen Teil von 333.000: 40,8 km. Diese Kreisbahn könntest du mit dem Auto durchqueren, obwohl das Objekt, das sie beschreibt, 1,4 Millionen Kilometer breit ist. Ein Umlauf in zehn Tagen entspricht 0,2968 m/s. So erhältst du die Halbamplitude ohne die zusammengesetzte Formel.
  
  $a_{⋆} = a \frac{m _{p}}{M _{⋆} + m _{p}} = 40.814 km$
5. Die Skalierungen erklären die Reihenfolge der Entdeckungen. K fällt nur mit der Kubikwurzel der Umlaufdauer, sodass derselbe Planet bei einem Jahr immer noch 0,0895 m/s liefert — aber K steigt direkt proportional zur Masse, sodass ein Jupiter bei drei Tagen 141 m/s liefert.
  
  $K \propto P^{- 1/3} : P = 365 d \Rightarrow 0.0895 m/s; 318 M_{\oplus} at 3 d \Rightarrow 141 m/s$
Antwort

Das Werkzeug gibt K = 0,2968 m/s, eine Schwankung von Spitze zu Spitze von 0,5936 und einen Radius der Sternbahn von 40,814 km aus. Dieses Verhältnis ist die gesamte Geschichte des Fachgebiets: Ein heißer Jupiter erzeugt etwa 475-mal das Signal dieser Erde und ungefähr das 1600-Fache einer Erde bei einem Jahr. Deshalb waren die ersten entdeckten Exoplaneten massereiche Planeten auf kurzen Umlaufbahnen — nicht weil sie häufig sind, sondern weil sie die einzigen waren, die die Instrumente von 1995 sehen konnten. Stellen Sie die Umlaufdauer auf 365 Tage ein und beobachten Sie, wie K auf die 0,0895 m/s abfällt, die eine echte Erde erzeugt.

$K \propto \frac{m _{p}}{M _{⋆}^{2/3}} P^{- 1/3} : Earth moves the Sun 0.3 m/s$

Quellen (1)

The measurement this tool models, and the m·sin i limit it carries: M. Mayor and D. Queloz, "A Jupiter-mass companion to a solar-type star." Nature 378, 355–359, 1995 — 51 Pegasi b, found by exactly this wobble.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-05

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Beispielaufgaben

Erde-Sonne-Analogon - Ein Erde-Sonne-Analogon erzeugt ein stellares Wackeln von unter 0.1 m/s, nahe an den Grenzen extremer Messgenauigkeit.
Heißer Jupiter - Ein Hot Jupiter auf kurzperiodischer Umlaufbahn erzeugt eine große RV-Halbamplitude und ist leicht nachweisbar.
Mini-Neptun - Ein Mini-Neptun um einen leichteren Stern liefert ein moderates, für Durchmusterungen realistisches Signal.
Aus gemessenem K ableiten - Der inverse Modus schätzt die Mindestmasse m sin(i) aus dem gemessenen K und Annahmen zur Umlaufbahn.