Rechner für kosmologische Rotverschiebung

Dehne ein Photon über das expandierende Universum. Setze z, wähle eine emittierte Wellenlänge und beobachte, wie sich das Spektrum verschiebt.

Rechenbeispiel — Rechner für kosmologische Rotverschiebung

Definition der Rotverschiebung	0.1000
Beobachtete Wellenlänge	721.6 nm
Fluchtgeschwindigkeit	28487 km/s (9.50% of c)
Skalenfaktor a	0.9091

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Drei verschiedene Horizonte — und nur bei einem gilt v = c 🖖

Die kosmologische Rotverschiebung wird oft als Doppler-Effekt beschrieben, doch sie ist subtiler. Eine Galaxie bewegt sich nicht durch den Raum — der Raum zwischen ihr und uns dehnt sich, und die Wellenlänge des Photons wächst proportional zum Skalenfaktor a(t). Bei kleinem z ist die Unterscheidung akademisch, denn beide Bilder liefern v ≈ H₀d. Jenseits von z ≈ 1,5 übersteigt die Fluchtgeschwindigkeit c, was für Bewegung durch den Raum unmöglich und für den Raum selbst unauffällig ist: Das Tempolimit der Relativität regelt Bewegung durch die Raumzeit, nicht deren Ausdehnung. Drei verschiedene Entfernungen werden hier verwechselt. Die Fluchtgeschwindigkeit erreicht c am Hubble-Radius, c/H₀ ≈ 14,5 Milliarden Lichtjahre — und wir beobachten routinemäßig Galaxien weit dahinter, der schlichteste Beweis, dass überlichtschnelle Flucht nichts verbirgt. Was wir nicht überblicken können, ist der Teilchenhorizont bei etwa 46 Milliarden Lichtjahren, die Strecke, für die das Licht Zeit hatte. Und was endgültig unerreichbar ist, legt eine dritte Fläche fest, der Ereignishorizont bei knapp 16 Milliarden Lichtjahren: Licht, das heute eine Galaxie jenseits davon verlässt, kommt niemals an.

Was die Rotverschiebung wirklich misst 🖖

Das Licht einer fernen Galaxie erreicht uns mit ins Rote gedehnten Wellenlängen. Teilst du die beobachtete Wellenlänge durch die ausgesandte und ziehst 1 ab, erhältst du z. Je größer z, desto länger war das Licht unterwegs — z ist also Uhr und Maßstab des Kosmos in einem. Bei z = 1 verließ das Licht seine Galaxie vor etwa 8 Milliarden Jahren, als das Universum halb so groß war wie heute (Skalenfaktor a = 1/(1+z) = 0.5).

Rotverschiebung dehnt auch die Zeit 🖖

Die Expansion dehnt jede Wellenlänge um den Faktor (1+z) — doch sie dehnt die Dauer von Ereignissen um denselben Faktor. Eine Supernova vom Typ Ia bei z = 1 siehst du über doppelt so viele Tage aufleuchten und verblassen wie eine identische in der Nähe. Genau diese Dehnung wurde gemessen und widerlegte die alte Idee vom 'müden Licht': Nur echte Expansion verlangsamt die Uhr und rötet zugleich das Licht.

Aufgabe vollständig gelöst

Fluchtgeschwindigkeit, wenn die Hα-Linie von Wasserstoff bei 721,6 nm eintrifft 5 Schritte
Die Hα-Linie des Wasserstoffs verlässt eine Galaxie bei 656 nm und kommt bei 721,6 nm an. Bestimmen Sie die Fluchtgeschwindigkeit. Die naheliegende Formel weicht hier um etwa 1500 km/s ab, und bei höherer Rotverschiebung versagt sie völlig.
1. Die Rotverschiebung ist als die relative Dehnung der Wellenlänge definiert, lässt sich also direkt aus den beiden Zahlen ablesen. z = 0,1: Das Licht kam 10% röter an, als es ausgetreten ist.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{721.6 - 656}{656} = 0.1000$
2. Die Formel, nach der fast jeder greift, lautet v = cz, übernommen vom Doppler-Effekt bei niedrigen Geschwindigkeiten. Sie liefert 29 979 km/s, ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit.
  
  $v_{naive} = cz = 0.1 \times 299792 = 29979 km/s$
3. Aber ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit ist keine niedrige Geschwindigkeit. Die relativistische Doppler-Beziehung verknüpft 1 + z mit der Quadratwurzel aus (1 + β)/(1 − β); das Auflösen nach β erfordert eine Zeile Algebra und ergibt 0,09502 statt 0,1.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} = \frac{0.21}{2.21} = 0.09502$
4. Das sind 28 487 km/s. Der naive Wert übertreibt um 5,2% — etwa 1500 km/s, was größer ist als die Geschwindigkeitsunterschiede, über die Astronomen gewohnheitsmäßig diskutieren.
  
  $v = 0.09502 c = 28487 km/s (\frac{29 979}{28 487} = 1.052)$
5. Erhöht man z auf 1, wird die Diskrepanz mehr als bloß eine Korrektur. v = cz liefert exakt c; die relativistische Formel liefert drei Fünftel davon.
  
  $a = \frac{1}{1 + z} = 0.9091; z = 1 : v_{naive} = c, β = \frac{3}{5} = 0.600$
Antwort

Das Werkzeug gibt 721,6 nm, 28 487 km/s und 9,50% von c aus, mit einem Skalenfaktor von 0,9091 — das Universum hatte 91% seiner heutigen Größe, als dieses Licht ausgesandt wurde. Die Kernaussage aus Schritt 5 lautet: Bei z = 1 liefert die Abkürzung exakt Lichtgeschwindigkeit, während das Ergebnis 0,600c beträgt. Klicken Sie auf die Deep-Field-Voreinstellung und überprüfen Sie es. Galaxien sind bei z = 7 und darüber hinaus katalogisiert, wo cz Ihnen die siebenfache Lichtgeschwindigkeit liefern würde — was kein Paradoxon der Relativitätstheorie ist, sondern eine Formel, die weit außerhalb des Bereichs angewendet wird, für den sie abgeleitet wurde.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} : z = 0.1 \Rightarrow 0.0950 c, z = 1 \Rightarrow 0.600 c (not c)$

Quellen (2)

The distinction between the three horizons the first block separates: T. M. Davis and C. H. Lineweaver, "Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe." Publications of the Astronomical Society of Australia 21(1), 97–109, 2004.
The H₀ value the Hubble radius is computed from: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-06

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Beispielaufgaben

Lokale Galaxie (z=0,01) - Hα startet bei 656 nm und kommt bei 662,6 an. Diese wenigen Nanometer sind die gesamte Messung. Aus ihnen liest die Anzeige 2.983 km/s ab, eine mitbewegte Entfernung von 42,7 Mpc und Licht, das vor 0,139 Gyr aufbrach, als das Universum 0,9901 seiner heutigen Größe besaß. Eine Dehnung um ein Prozent bedeutet bereits hundertvierzig Millionen Jahre Reisezeit.
Hubble-Tieffeld (z=1) - z = 1 ist der Idealfall. Die Linie bei 656 nm kommt exakt verdoppelt bei 1312,0 an, und der Skalenfaktor beträgt 0,5000. Das Universum war damals halb so groß wie heute. Das Licht war 7,655 Gyr lang unterwegs, also länger als das halbe Alter des Universums. Die Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich zu 60,00 % von c, wo ein striktes v = cz einen Wert von 100 % geliefert hätte.
Quasar (z=3) - z=2.5: entfernter Quasar, Rückblickzeit ~11 Gyr
Hintergrundstrahlung (z=1089) - z=1089: kosmische Hintergrundstrahlung, damals T~3000 K