Roche-Grenze-Rechner

Vergleiche das flüssige und das starre Roche-Grenze-Modell anhand von Primärradius und Dichtekontrast.

Rechenbeispiel — Roche-Grenze-Rechner

Dichteverhältnis η	1.182
Roche-Grenzabstand	1.837×10⁴km
Höhe über der Oberfläche	1.20×10⁴km
Flüssig-Grenze (km)	1.837×10⁴km
Starr-Grenze (km)	9.485×10³km

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Saturn hat eine geringere Dichte als seine eigenen Ringe 🖖

Saturn hat eine geringere Dichte als das Eis in seinen eigenen Ringen: 0,687 gegenüber 1,0. Das kehrt die übliche Vorstellung von der Roche-Grenze um. Der Lehrbuchkoeffizient 2,44 wird mit der Kubikwurzel aus dem Dichteverhältnis multipliziert. Hier beträgt dieser Faktor 0,88 und liegt nicht über 1. Dadurch rückt die Grenze nach innen, auf 2,15 Saturnradien oder etwa 125.000 km. Saturns dichte Hauptringe liegen innerhalb dieses Bereichs. Dort kann sich Materie überhaupt nicht zu einem Mond zusammenlagern: Die Gezeitenkräfte machen die Arbeit der Gravitation schneller zunichte, als diese sie verrichten kann. Der Koeffizient selbst hängt von der Beschaffenheit des Körpers ab: 2,44 ohne innere Festigkeit, 1,26, wenn die Materialfestigkeit die Eigengravitation unterstützt.

Was die Roche-Grenze wirklich misst 🖖

Stell dir einen Mond vor, den allein seine eigene Gravitation zusammenhält. Je näher er einem Planeten kommt, desto stärker zieht dieser an der zugewandten Seite als an der abgewandten. Dieser Unterschied dehnt den Mond. Überschreitet er die Roche-Grenze, überwiegt die Dehnung und zerreißt ihn. Die Masse des Mondes kürzt sich vollständig aus der Gleichung heraus. Nur die beiden Dichten und der Radius des Planeten bestimmen den Abstand. Ein dichterer Mond kann deshalb näher am Planeten kreisen als ein lockerer.

Mars bildet langsam seine eigenen Ringe 🖖

Phobos, der größere Marsmond, umkreist den Planeten unterhalb der synchronen Distanz, sodass die Gezeitenreibung ihn um etwa 2 Meter pro Jahrhundert nach innen spiralen lässt. In rund 30-50 Millionen Jahren wird er die Roche-Grenze des Mars überschreiten und zerbrechen, wahrscheinlich zu einem zeitweiligen Ring um den Planeten verteilt. Die seltsamen parallelen Furchen auf Phobos könnten bereits Spannungsrisse durch die Gezeitendehnung sein — ein Mond, der lange vor dem endgültigen Zerfall erste Risse zeigt.

Aufgabe vollständig gelöst

Flüssigkeitsgrenze, bevor Gezeiten einen Mond zerreißen 5 Schritte
Wie nahe kann ein Mond der Erde kommen, bevor die Gezeitenkräfte ihn auseinanderreißen? Bestimmen Sie die Grenze für flüssige Körper und erklären Sie anschließend, warum der Wert für einen starren Körper nur halb so groß ist.
1. Es besteht ein Wettstreit zwischen der eigenen Gravitation des Mondes, die ihn zusammenhält, und dem Unterschied in der Anziehungskraft der Erde über seinen Durchmesser. Beide skalieren so mit der Größe des Mondes, dass sich der Mondradius kürzt — weshalb die Grenze von den Dichten abhängt und nicht davon, wie groß der Mond ist.
  
  $d_{fluid} = 2.44 R (\frac{ρ _{M}}{ρ _{m}})^{1/3}$
2. Es geht also nur das Dichteverhältnis ein, und zwar als Kubikwurzel, was den Wert stark dämpft. Die Erde ist 1,65-mal so dicht wie der Mond; die Kubikwurzel daraus beträgt 1,182.
  
  $(\frac{5.51}{3.34})^{1/3} = (1.6497)^{1/3} = 1.182$
3. Multipliziert man dies mit dem Radius des Zentralkörpers und der Konstanten für einen flüssigen Körper, erhält man ein Ergebnis von 18 368 km vom Erdmittelpunkt.
  
  $d = 2.44 \times 6371 \times 1.182 = 1.837 \times 1 0^{4} km$
4. Zieht man den Erdradius ab, ergibt sich eine Höhe von etwa 12 000 km, was dem Wert im Bedienfeld entspricht.
  
  $d - R = 18368 - 6371 = 1.20 \times 1 0^{4} km altitude$
5. Die Konstante für starre Körper beträgt 1,26 gegenüber 2,44 für flüssige Körper, weil ein fester Körper der Verformung widersteht, bis er bricht, während sich ein flüssiger Körper zuerst verformt; dadurch wird er gedehnt, was den Gezeitenunterschied über seinen Durchmesser vergrößert — eine Selbstverstärkung, die es beim starren Körper nicht gibt.
  
  $\frac{2.44}{1.26} = 1.94, \frac{384 400}{18 368} = 20.9 (the Moon)$
Antwort

Das Tool gibt ein Dichteverhältnis von 1,182, eine Roche-Grenze von 1,837 × 10⁴ km für einen flüssigen Körper und von 9,485 × 10³ km für einen starren Körper aus. Zwischen den beiden Ergebnissen für dieselbe Frage liegt damit der Faktor 1,94. Der Mond ist 384.400 km entfernt, also etwa 21-mal so weit wie die Roche-Grenze für einen flüssigen Körper, und somit nicht gefährdet. Bei den Saturnringen liegt der Fall anders: Sie befinden sich innerhalb der Roche-Grenze des Saturn. Das erklärt nach gängiger Auffassung, warum sie Ringe bilden und keinen Mond. Klick auf die Voreinstellung für Saturn. Für einen Körper aus Eis zeigt das Tool eine Roche-Grenze von 1,254 × 10⁵ km an; der Außenrand des A-Rings liegt bei 136.800 km. Die hellen Ringe befinden sich größtenteils, aber nicht vollständig, innerhalb dieser Grenze.

$d \propto R (\frac{ρ _{M}}{ρ _{m}})^{1/3}; rigid = 9485 km, fluid = 18368 km$

Quellen (1)

Insight block 3 — the grooves on Phobos read as tidal stress fractures: T. A. Hurford et al., "Tidal disruption of Phobos as the cause of surface fractures." Journal of Geophysical Research: Planets 121(6), 1054–1065, 2016.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-13

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Erde-Mond-Dichten - Die Roche-Grenze für einen flüssigen Körper liegt 1,837 × 10⁴ km vom Erdmittelpunkt entfernt, also etwa 12.000 km über der Oberfläche. Der Mond kreist in 384.400 km Entfernung, einundzwanzigmal so weit draußen.
Saturn + Eiskörper - Bei Saturn mit 0,687 und Eis mit 1,0 liegt der Dichtefaktor unter 1. Die Grenze rückt daher auf 1,254 × 10⁵ km nach innen: auf 2,15 Saturnradien statt der 2,44 aus dem Lehrbuch.
Jupiter + Gesteinsmond - Die Roche-Grenze für einen starren Gesteinskörper liegt bei Jupiter in 6,710 × 10⁴ km Entfernung und damit im Inneren des Planeten. Ein fester Gesteinskörper könnte also beliebig dicht über seiner Oberfläche kreisen. Der Komet Shoemaker-Levy 9 zerbrach 1992 trotzdem: Ein Trümmerhaufen besitzt keine innere Festigkeit, und die Roche-Grenze für einen flüssigen Körper liegt bei 1,299 × 10⁵ km.
Extremfall Weißer Zwerg - Ist der Zentralkörper eine Million Mal dichter als Wasser, liegt die Roche-Grenze bei 1,203 × 10⁶ km, also beim 138-Fachen des Radius des Weißen Zwergs.