Stefan-Boltzmann-Sonnenleistungsrechner

Gib Sternradius und Temperatur ein, um die abgestrahlte Leistung mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz zu berechnen.

Rechenbeispiel — Stefan-Boltzmann-Sonnenleistungsrechner

Oberfläche (4πR²)	4πR²≈6.082×10¹⁸ m²
Relatives Radiusquadrat	(1)²≈1
Emissivität	1

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Beteigeuze ist kühler als die Sonne und 79.000-mal heller 🖖

Pro Quadratmeter dominiert die Temperatur – T⁴ gegen R² –, und doch gewinnt bei diesen Voreinstellungen der Radius, weil echte Sterne die beiden Größen nicht gleich stark variieren. Vergleiche die beiden Faktorzeilen des Werkzeugs: Über diese vier Voreinstellungen spannt der Radius 3820-fach (0,2 bis 764 R☉), die Temperatur nur 3,1-fach (3200 bis 9940 K). Beteigeuze ist kühler als die Sonne, seine Zeile (T/T☉)⁴ nennt daher 0,135 – ein klarer Malus – und der Stern landet dennoch bei 78.914 L☉, weil seine Zeile (R/R☉)² 5,84 × 10⁵ nennt. Sirius, fast doppelt so heiß wie die Sonne, bringt es nur auf 25,7. Ein steilerer Exponent verliert, wenn die andere Größe vier Zehnerpotenzen Spielraum hat.

Pro Quadratmeter ist die Temperatur der stärkere Hebel 🖖

Dieses Werkzeug hat nur zwei Eingabegrößen: den Radius eines Sterns und die Temperatur seiner Oberfläche. Ihr Einfluss ist jedoch sehr unterschiedlich. Der Radius geht als R² ein, die Temperatur dagegen als T⁴. Für die Leistung pro Quadratmeter gibt daher die Temperatur den Ausschlag. Verdopple die Temperatur eines Sterns bei unveränderter Größe, und jeder Quadratmeter strahlt 2⁴ = 16-mal so viel Leistung ab. Für den Strahlungsfluss ist diese vierte Potenz entscheidend. Ob sie auch die Gesamtleistung des Sterns bestimmt, hängt davon ab, wie groß dessen Radius ist.

Stefan maß 1879 die Sonnenhitze 🖖

Josef Stefan stellte nicht nur fest, dass der Fluss mit T⁴ wächst — 1879 kehrte er das Gesetz um. Indem er gemessenes Sonnenlicht durch σT⁴ zurückrechnete, schätzte er die Sonnenoberfläche auf etwa 5430 °C (rund 5700 K) — die erste glaubwürdige Zahl, als konkurrierende Schätzungen von 1500° bis zu Millionen Grad reichten. Dieser Rechner führt dieselbe Umkehrung aus: Der berechnete Fluss ist genau die Größe, die Stefan maß, um die Sonnentemperatur zu bestimmen.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Gesamtleistung der Sonne aus ihrer Größe und Oberflächentemperatur 5 Schritte
Bestimmen Sie die Gesamtleistung der Sonne allein aus ihrer Größe und ihrer Oberflächentemperatur, und nutzen Sie diese eine Zahl anschließend, um vorherzusagen, wie kalt die Erde sein müsste. Dies ist der Zustand Sonne des Werkzeugs: R = 1 R_☉ = 6,957 × 10⁸ m, T = 5772 K, ε = 1.
1. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz liefert die Leistung pro Quadratmeter, daher muss die Anzahl der Quadratmeter an erster Stelle stehen. Ein Stern strahlt von seiner Photosphäre ab, und für die Fläche einer Kugel wird nur der Radius benötigt.
  
  $A = 4 π R^{2} = 4 π (6.957 \times 1 0^{8})^{2} = 6.082 \times 1 0^{18} m^{2}$
2. Nun der Fluss von einem Quadratmeter. Die vierte Potenz macht dieses Gesetz so unerbittlich: Ein Stern, der nur 20 % heißer ist als die Sonne, strahlt von jedem Fleck seiner Oberfläche 1,20⁴ = 2,07-mal so stark.
  
  $F = ε σ T^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (5772)^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (1.110 \times 1 0^{15}) = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
3. Leuchtkraft ist Fluss mal Fläche und nichts anderes, da jedes Photon, das den Stern verlässt, diese Oberfläche genau einmal durchquert. Das Ergebnis ist die Definition einer Sonnenleuchtkraft, weshalb in der Vergleichszeile des Werkzeugs 1 steht.
  
  $L = A F = (6.082 \times 1 0^{18}) (6.294 \times 1 0^{7}) = 3.828 \times 1 0^{26} W$
4. Verlassen wir den Stern. Dieselbe Leistung verteilt sich nun über eine Kugel, deren Radius dem Abstand der Erde entspricht, sodass sich nur die Fläche im Nenner ändert. Satelliten oberhalb der Atmosphäre messen 1361 W/m², und diese Übereinstimmung ist die Überprüfung aller drei obigen Schritte.
  
  $S = \frac{L}{4 π d ^{2}} = \frac{3.828 \times 1 0 ^{26}}{4 π ( 1.496 \times 1 0 ^{11} ) ^{2}} = 1361 W/ m^{2}$
5. Die Erde fängt Sonnenlicht über eine Scheibe der Fläche πR_⊕² ab, strahlt aber von ihrer gesamten Kugelfläche 4πR_⊕² ab. Der Radius des Planeten kürzt sich heraus, der Faktor 4 nicht, und Wolken und Eis reflektieren etwa 30 % direkt wieder hinaus, bevor irgendetwas davon absorbiert wird.
  
  $π R_{\oplus}^{2} (1 - a) S = 4 π R_{\oplus}^{2} σ T_{eq}^{4} ⟹ T_{eq} = 4 \frac{( 1 - 0.30 ) ( 1361 )}{4 σ} = 254.6 K$
Antwort

Das Werkzeug gibt 6,082 × 10¹⁸ m², 6,294 × 10⁷ W/m² und 3,828 × 10²⁶ W aus. Alles danach ist dasselbe Gesetz, zweimal mehr angewendet, und es endet bei 254,6 K. Die tatsächliche mittlere Oberflächentemperatur der Erde beträgt 288 K, sodass die Vorhersage um 33 K falsch liegt, und zwar in einer bestimmten Richtung: immer zu kalt. Diese Differenz ist der Treibhauseffekt, und er ist die eine Größe in der Kette, die σT⁴ nicht liefern kann, weil das Gesetz beschreibt, was eine Oberfläche abstrahlt, und nichts darüber aussagt, was die Luft darüber auf dem Weg nach draußen mit der Strahlung macht. Dass eine so grobe Berechnung innerhalb von 12 % eines Planeten liegt, ist der Grund, warum sie das Erste ist, was man für einen Exoplaneten berechnet.

$T_{eq} = 4 \frac{( 1 - a ) S}{4 σ} = 254.6 K, T_{\oplus} = 288 K, Δ T = 33 K$

Quellen (3)

Betelgeuse’s radius and temperature, the preset behind the first block: M. Joyce et al., "Standing on the Shoulders of Giants: New Mass and Distance Estimates for Betelgeuse through Combined Evolutionary, Asteroseismic, and Hydrodynamic Simulations with MESA." The Astrophysical Journal 902(1), 63, 2020.
The solar radius, luminosity and temperature the tool normalises to: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The value of σ: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Astronomie & Weltraum →

Beispielaufgaben

Sonne - R = 1 R☉ und T = 5772 K. Damit steht in beiden Faktorzeilen genau 1, und die Leuchtkraft beträgt 1 L☉. Alle anderen Werte werden hieran gemessen.
Sirius A - Bei 9940 K ist seine Temperatur fast doppelt so hoch wie die der Sonne; allein das ergibt den Faktor 8,80. Zusammen mit dem quadrierten Radius von 1,711 R☉ erreicht er 25,7 L☉.
Beteigeuze - 764 R☉ bei 3500 K: Der Temperaturfaktor wirkt mit 0,135 dämpfend, während der Radiusfaktor 5,84 × 10⁵ beträgt. So kommt der Stern dennoch auf 78.914 L☉.
Roter Zwerg - 0,2 R☉ bei 3200 K: Beide Faktorzeilen liegen unter 1 und ergeben miteinander multipliziert 0,004 L☉. Die einzige Voreinstellung, bei der keiner der beiden Hebel hilft.