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Synodenperioden-Rechner

Gib zwei Umlaufperioden ein, um das Schwebungsintervall für wiederkehrende Winkelkonstellationen zu berechnen.

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Eine synodische Periode kann länger sein als beide Umläufe 🖖

Beim ersten Mal fühlt es sich falsch an: zwei Körper, die jeder eine Runde in weniger als zwei Jahren schaffen, können länger brauchen, um sich wieder aufzureihen. Die Erde braucht 1 Jahr, der Mars 1,881, und 1/S = |1/1 − 1/1,881| ergibt S = 2,135 Jahre — etwa 25,6 Monate, länger als jeder der beiden Umläufe. Je näher die beiden Perioden beieinanderliegen, desto schlimmer wird es, denn der schnellere Körper holt auf den langsameren nur sehr langsam auf; nähern sich die Perioden einander an, läuft S gegen unendlich. Das ist keine Kuriosität. Genau diese 25,6 Monate sind der Grund, weshalb Marsmissionen in gebündelten Fenstern im Abstand von etwa zwei Jahren starten und nicht, wann eine Rakete fertig ist — und weshalb ein verpasstes Fenster zwei Jahre Verzögerung bedeutet.

Zwei Läufer auf einer Bahn 🖖

Stell dir zwei Läufer vor, die eine Bahn mit unterschiedlicher Geschwindigkeit umrunden. Der schnellere zieht ständig davon, und die synodische Periode ist einfach die Zeit, bis er den langsameren überrundet und beide wieder auf einer Linie stehen. Deshalb erreichen Erde (365 Tage) und Mars (687 Tage) nur etwa alle 780 Tage eine Opposition — und deshalb können bemannte Marsmissionen nur rund alle 26 Monate starten.

Das Pentagramm der Venus 🖖

Erde und Venus liegen nahe an einem 8:13-Bahnrhythmus: acht Erdjahre entsprechen fast genau dreizehn Venusjahren, was zugleich fünf synodischen Perioden von Erde und Venus gleicht (5 × 584 ≈ 2920 Tage ≈ 8 Jahre). Wegen dieser Beinahe-Resonanz kehrt Venus bei jeder unteren Konjunktion fast an dieselbe Stelle zurück, und trägt man diese Treffpunkte über acht Jahre auf, entsteht eine erstaunlich regelmäßige fünfblättrige Rosette — das berühmte „Pentagramm der Venus“.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Zyklus, in dem Jupiter und Saturn in einer Linie stehen 5 Schritte

    Das Jupiterjahr beträgt 4332,59 Tage und das Saturnjahr 10759,22 Tage. Bestimmen Sie, wie oft die beiden in einer Linie stehen, wo am Himmel jedes Zusammentreffen stattfindet, und finden Sie dann einen weit langsameren Zyklus, der sich in denselben zwei Zahlen verbirgt. Dies ist der Zustand Jupiter-Saturn, wobei das Ausrichtungsziel auf dieselbe relative Länge eingestellt ist.

    1. Umlaufzeiten subtrahieren sich nicht; Raten tun es. Die Umrechnung jeder Umlaufdauer in Umdrehungen pro Tag macht den Rest zu einer arithmetischen statt einer geometrischen Aufgabe.

    2. Zwei Läufer auf einer Kreisbahn treffen sich wieder, wenn der schnellere genau eine ganze Runde herausgeholt hat, sodass die Begegnungsrate die Differenz der Rundenraten ist. Das Subtrahieren zweier kleiner Zahlen ergibt eine noch kleinere, weshalb ein 12-Jahre-Planet und ein 29-Jahre-Planet auf einer 20-Jahre-Uhr landen — langsamer als jeder von beiden.

    3. Ein Jupiterjahr schließt das Unterfangen nicht ab, und der Fehlbetrag ist groß. In 4332,59 Tagen legt der Saturn 40 % seiner eigenen Umlaufbahn zurück, sodass sich die Ausrichtung um mehr als eine halbe Umdrehung verschoben hat und der Jupiter ihr noch zwei Drittel einer Runde nachjagen muss.

    4. Fragen Sie nun, wo das Zusammentreffen stattfindet, nicht nur wann. Der Jupiter vollendet pro Zyklus 1,674 eigener Umläufe, und es ist der Nachkommateil, der die Konjunktion über den Himmel wandern lässt — jede einzelne findet 117,3° hinter der vorherigen statt. Drei davon schließen beinahe ein Dreieck.

    5. Das Verhältnis der Umlaufzeiten ist der Schlüssel zum zweiten Zyklus. Ein Verhältnis nahe einem einfachen Bruch bedeutet, dass eine ganzzahlige Kombination der beiden Raten nahezu Null ist, und 5/2 ist der Bruch, dem dieses Paar am nächsten kommt. Zwei Umdrehungen des Jupiters gegenüber fünf des Saturns lassen etwa ein Tausendstel Grad pro Tag übrig.

    Antwort

    Das Werkzeug gibt eine synodische Periode von 7253,4577 Tagen, 19,8589 Jahren, eine Verschiebung von 215,0329° pro Jupiterumlauf und ein Verhältnis der Umlaufzeiten von 2,4833 aus. Was folgt, stammt von Kepler: Aufeinanderfolgende große Konjunktionen wandern um 117,3° durch den Tierkreis, drei von ihnen kehren nach 59,6 Jahren bis auf 8,1° zum Ausgangspunkt zurück, und dieses sich langsam drehende Dreieck benötigt 221 Jahre, um ein einziges Sternzeichen zu durchqueren. Die 2,4833 verbirgt mehr als die 20-Jahre-Schwebung. Da sie 0,7 % von 5/2 entfernt liegt, kriecht die Kombination 2λJ − 5λS mit 0,0011160° pro Tag, ein Zyklus von 883 Jahren — die Große Ungleichheit, die den Jupiter im Laufe der aufgezeichneten Beobachtungen schneller und den Saturn langsamer erscheinen ließ, bis Laplace 1785 zeigte, dass sich beide wieder umkehren würden. Ein Rechner, der immer nur |n1 − n2| bildet, findet den 20-Jahre-Zyklus und ist blind für den 883-Jahre-Zyklus: Eine Nahe-Resonanz erzeugt bei jeder klein-ganzzahligen Kombination der beiden Raten eine Schwebung, nicht nur bei deren Differenz.

Quellen (1)
  • The commensurability behind insight block 3: J. Kepler, Harmonices Mundi, Book V. Linz, 1619 — the ratios between planetary periods, including the Venus–Earth near-commensurability the pentagram comes from.

· Aktualisiert

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Beispielaufgaben

  • Erde-Mars - Erde-Mars-Oppositionen wiederholen sich etwa alle 780 Tage, passend zum klassischen synodischen Zyklus.
  • Erde-Venus - Der synodische Zyklus Erde-Venus beträgt etwa 584 Tage und bestimmt die wiederkehrende Morgenstern/Abendstern-Geometrie.
  • Jupiter-Saturn - Der große Konjunktionszyklus von Jupiter und Saturn beträgt rund 19.9 Jahre.
  • LEO-GTO-Phasing - Auch Umlaufzeiten künstlicher Bahnen erzeugen Schwebungszyklen, die für Revisit- und Phasing-Analysen nützlich sind.