3-Körper-Problem-Simulator

chaotische Gravitation, Divergenz von Zwillingsläufen und numerische Stabilität

Rechenbeispiel — 3-Körper-Problem-Simulator

Kinetische Energie	1.2129
Potenzielle Energie	−2.4996
Gesamtenergie	−1.2867
Größe	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

warum sieht es bei jedem Neuladen gleich aus? 🖖

Das Dreikörperproblem ist chaotisch, aber nicht zufällig. Chaos bedeutet, dass winzige Unterschiede in den Anfangsbedingungen exponentiell anwachsen — aber ein Neuladen der Seite ändert nichts: gleiche Startpositionen, gleiche Geschwindigkeiten, gleiches dt, gleicher Algorithmus, jedes Mal dasselbe Ergebnis. Deterministisches Chaos und reproduzierbare Berechnung sind zwei verschiedene Dinge. Um das Chaos wirklich zu sehen: Setze die Störung auf 0,000001 und beobachte die gestrichelte Zwillingsbahn. Beide Bahnen starten 10⁻⁶ voneinander entfernt und laufen schließlich in völlig unterschiedliche Pfade auseinander. Diese exponentielle Trennung ist das Chaos – der Lyapunov-Exponent bei der Arbeit. Das Divergenzdiagramm unter den Umlaufbahnen zeigt log₁₀ dieser Trennung über die Zeit; eine gerade ansteigende Linie bedeutet exponentielles Wachstum.

warum drei die schwierige Zahl ist 🖖

Zwei Körper, die sich anziehen, zeichnen einfache, endlos wiederkehrende Ellipsen — diesen Fall löste Newton mit Papier und Bleistift. Kommt ein dritter Körper hinzu, verschwindet die saubere Formel: Es gibt keine allgemeine Gleichung dafür, wo alle landen. Der einzige Weg ist, die Simulation Schritt für Schritt um ein winziges dt voranzutreiben, genau wie dieses Werkzeug es tut. Klicke die Figur-8-Voreinstellung an, um eine der seltenen Ausnahmen zu sehen — drei gleiche Massen, die einander ewig auf einer einzigen Schleifenbahn jagen.

die Lösung, die existiert, aber nutzlos ist 🖖

Oft heißt es, das Dreikörperproblem sei 'unlösbar', doch 1912 bewies Karl Sundman eine konvergente Potenzreihe in t^1/3, die die Positionen der Körper für alle Zeiten liefert (außer bei Dreifachkollisions-Startwerten). Der Haken: Sie konvergiert so langsam, dass astronomische Genauigkeit in der Größenordnung von 10^8000000 Gliedern erfordern würde — aussichtslos für jeden Computer. Eine formale Lösung existiert also; die Simulation schrittweise voranzutreiben, wie hier, ist schlicht der einzig brauchbare Weg.

Aufgabe vollständig gelöst

Energie der Figur-8-Choreografie für 3 gleiche Massen aus den Anfangsbedingungen 7 Schritte
Die Figur-8-Choreografie führt 3 gleiche Massen um eine einzige geschlossene Kurve. Berechnen Sie ihre Energie bei t = 0 allein aus den Anfangsbedingungen. Dies ist die Voreinstellung Figur-8-Orbit: G = 1, m₁ = m₂ = m₃ = 1, Softening ε = 0. Positionen r₁ = (−0,97000436, 0,24308753), r₂ = −r₁, r₃ = (0, 0); Geschwindigkeiten v₁ = v₂ = (0,466203685, 0,43236573), und der Gesamtimpuls beträgt 0.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Diese langen Dezimalzahlen wirken willkürlich. Quadriert man sie und addiert sie, zeigt sich, dass dem nicht so ist: Die Körper 1 und 2 befinden sich jeweils genau 1 Einheit vom Ursprung entfernt, wo sich Körper 3 befindet.
  
  $∣ r_{1} ∣ = 0.9700043 6^{2} + 0.2430875 3^{2} = 0.940908 + 0.059092 = 1.0000$
2. Körper 2 ist die Punktspiegelung von Körper 1 am Ursprung; in diesem Augenblick liegen daher alle 3 Körper auf einer einzigen Geraden mit Körper 3 in deren Mittelpunkt. Jeder Abstand folgt daraus ohne eine zweite Quadratwurzel.
  
  $r_{2} = - r_{1} ⟹ r_{13} = r_{23} = 1.0000, r_{12} = 2.0000$
3. Das Newtonsche Gravitationsgesetz benötigt nun nichts als diese Abstände. Körper 3 ist jeweils 1 Einheit von den beiden anderen entfernt, während die Körper 1 und 2 doppelt so weit voneinander entfernt sind, sodass die Anziehungskraft zwischen ihnen um den Faktor 4 schwächer ist.
  
  $F_{ij} = \frac{G m _{i} m _{j}}{r _{ij}^{2}} ⟹ F_{12} = \frac{1}{2 ^{2}} = 0.2500, F_{13} = F_{23} = 1.0000$
4. Nutzen wir die Kollinearität aus. Körper 3 wird gleich stark in entgegengesetzte Richtungen gezogen, sodass seine Gesamtkraft exakt verschwindet. Die Körper 1 und 2 werden von beiden Partnern in dieselbe Richtung gezogen, da Körper 3 zwischen ihnen liegt; somit addieren sich ihre 2 Kräfte als einfache Zahlen, ohne dass Komponenten zerlegt werden müssen.
  
  $∣ F_{3} ∣ = 1.0000 - 1.0000 = 0.0000, ∣ F_{1} ∣ = 1.0000 + 0.2500 = 1.2500$
5. Ein Gesamtimpuls von null und die identische Bewegung der Körper 1 und 2 legen die Geschwindigkeit von Körper 3 auf −2v₁ fest. Das macht seine kinetische Energie 4-mal so groß wie die ihre, und die Summe über alle 3 reduziert sich auf einen einzigen Term.
  
  $\sum m_{i} v_{i} = 0, v_{1} = v_{2} ⟹ v_{3} = - 2 v_{1}, K E = \frac{1}{2} (1 + 1 + 4) v_{1}^{2} = 3 v_{1}^{2}$
6. Das Quadrieren der 2 Komponenten von v₁ und das Verdreifachen ist bereits die gesamte Berechnung der kinetischen Energie für 3 Körper.
  
  $v_{1}^{2} = 0.46620368 5^{2} + 0.4323657 3^{2} = 0.404286 ⟹ K E = 1.2129$
7. Auch die potenzielle Energie benötigt keine Vektoren — nur die Kehrwerte der 3 Abstände, und mit ε = 0 sind diese Kehrwerte exakt.
  
  $P E = - G (\frac{m _{1} m _{2}}{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{1} + \frac{m _{2} m _{3}}{1}) = - 2.5000$
Antwort

E = −1,2871, und jede Zeile der Tabelle des Bedienfelds bei t = 0 — Abstände, Paar-Kräfte, Gesamtkräfte, beide Energien und die Gesamtenergie — ergab sich aus diesen 4 Dezimalzahlen und dem Verschwinden des Gesamtimpulses. Beobachten Sie, was mit den einzelnen Teilen geschieht: Bis t = 25,0 ist die kinetische Energie auf 1,305 angestiegen und die potenzielle auf −2,592 gefallen, während sich die Gesamtenergie nicht verändert hat. Das Vorzeichen ist es, das eine Konsequenz in sich trägt. Ein gebundenes Trio kann immer noch ein Mitglied verlieren, aber nicht umsonst: Wenn 1 Körper ohne Überschuss davondriftet, muss das zurückbleibende Paar die gesamten −1,2871 tragen, und 2 Einheitsmassen mit dieser Energie haben eine große Halbachse von 1/(2 × 1,2871) = 0,3885 — weniger als 1/5 der 2,0000, die sie jetzt trennen. Ejektion und Verhärtung sind dasselbe Ereignis, und die Energiebilanz ist der Grund dafür.

$E = 1.2129 - 2.5000 = - 1.2871 ⟹ a_{m a x} = \frac{G m ^{2}}{2∣ E ∣} = \frac{1}{2 ( 1.2871 )} = 0.3885$

Quellen (1)

Sundman's convergent series in t^(1/3): K. F. Sundman, "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36, 105–179, 1913.

YouTube (1)

StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.