Tisserand-Parameter-Rechner

Nutze Bahnelemente, um den Tisserand-Parameter (meist bezogen auf Jupiter) für die dynamische Klassifikation abzuschätzen.

Rechenbeispiel — Tisserand-Parameter-Rechner

Erster Term	1.5770
Bahnfaktor	0.6896
Zweiter Term	1.3491
Tisserand T	2.9261

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Warum 3 eine Wand ist und keine Konvention 🖖

Die vier Eingaben hier – a, e, i und a_P des Planeten – laufen in einer Zahl zusammen, die eine verkappte Geschwindigkeit ist. Für einen Planeten auf einer Kreisbahn erfüllt die Begegnungsgeschwindigkeit U des kleinen Körpers, gemessen in Einheiten der Bahngeschwindigkeit des Planeten, die Beziehung U² = 3 − T_P. Damit ist die bekannte Trennlinie physikalisch und nicht bloß bürokratisch: Treibe die Anzeige über 3, und U² wird negativ – eine Begegnung mit diesem Planeten ist dann geometrisch überhaupt nicht möglich. Ein Körper mit T_P > 3 erreicht die Planetenbahn nicht und kann von ihr auch nicht abgelenkt werden. Genau deshalb trennt die Grenze kometenartige von asteroidenartigen Bahnen so scharf.

Ein Fingerabdruck, der den Swing-by übersteht 🖖

Fliegt ein Komet an Jupiter vorbei, kann die Schwerkraft des Planeten seine gesamte Bahn auf einmal umformen — Größe, Streckung und Neigung. Doch eine bestimmte Kombination dieser Elemente, der Tisserand-Parameter, ändert sich kaum. So erkennen Astronomen einen Kometen auch dann wieder, wenn seine Bahn durcheinandergewirbelt wurde. Bezogen auf Jupiter sortiert er zudem kleine Körper: Werte um 2–3 deuten auf kometenartige Bahnen hin, über 3 auf asteroidenartige.

Wie Raumsonden große Touren planen 🖖

Missionsplaner nutzen dieselbe Invariante für Swing-by-Touren. Ein Vorbeiflug formt die Sonnenbahn einer Sonde um, lässt ihren Tisserand-Parameter bezüglich dieses Planeten aber nahezu unverändert — ein „Tisserand-Graph" zeigt daher, welche künftigen Vorbeiflüge erreichbar sind. Die Flugbahnen von Galileo, Cassini sowie die Mondtouren von JUICE und Europa Clipper wurden so entworfen: eine Formel zum Sortieren von Kometen als interplanetare Straßenkarte.

Aufgabe vollständig gelöst

Tisserand-Parameter für ein Objekt in Bezug auf Jupiter 5 Schritte
Ein Objekt mit a = 3,3 AU, e = 0,5, i = 12° hat bezüglich Jupiter einen Tisserand-Parameter von 2,926. Berechnen Sie dies und finden Sie anschließend heraus, warum der Wert 3 die entscheidende Zahl ist.
1. Der Parameter kombiniert drei Bahnelemente zu einer einzigen Größe, die bei einer Begegnung mit Jupiter nahezu unverändert bleibt — was sie so nützlich macht, da eine Begegnung a, e und i jeweils stark verändert.
  
  $T_{p} = \frac{a _{p}}{a} + 2 cos i \frac{a}{a _{p}} (1 - e^{2})$
2. Der erste Term ist das Verhältnis der großen Halbachse Jupiters zu der des Objekts und liefert hier den größeren Beitrag.
  
  $\frac{a _{p}}{a} = \frac{5.204}{3.3} = 1.5770$
3. Der zweite benötigt den Bahnfaktor, der die Exzentrizität über eine Quadratwurzel und anschließend die Inklination über einen Kosinus einbezieht.
  
  $2 cos 1 2^{\circ} \times 0.6896 = 1.9563 \times 0.6896 = 1.3491$
4. Zusammen ergeben sie 2,926.
  
  $T_{p} = 1.5770 + 1.3491 = 2.9261 < 3$
5. Der Schwellenwert ergibt sich, wenn man Jupiters eigene Bahn in die Formel einsetzt: a = a_p, e = 0, i = 0 ergibt exakt 1 + 2 = 3. Die 3 ist also keine Konvention, sondern das, was der Ausdruck für ein Objekt auf Jupiters Bahn liefert.
Antwort

Das Werkzeug gibt 1,5770, 0,6896, 1,3491 und einen Tisserand-Parameter von 2,9261 aus. Ein Wert unter 3 bedeutet, dass die Bahn die Jupiterbahn kreuzen und durch ihn gestreut werden kann, was die übliche Trennlinie zwischen Kometen der Jupiter-Familie und Asteroiden darstellt — und diese ist besser als Zusammensetzung oder Erscheinungsbild, weil sie Begegnungen übersteht, die alles andere verändern. Das ist der eigentliche Grund für die Existenz dieser Größe: Sie bleibt nahezu erhalten und kennzeichnet somit die dynamische Familie eines Objekts anstelle seiner aktuellen Bahn. Selbst ein erloschener Komet, der seinen Schweif verloren hat, verrät sich hier.

$a = a_{p}, e = 0, i = 0 \Rightarrow T_{p} = 3 exactly; T_{p} < 3 is comet-like$

Quellen (3)

The Öpik relation U² = 3 − T that makes 3 a physical boundary: G. B. Valsecchi, A. Milani, G. F. Gronchi and S. R. Chesley, "Resonant returns to close approaches: Analytical theory." Astronomy & Astrophysics 408(3), 1179–1196, 2003.
The parameter used to sort short-period comet orbits: H. F. Levison and M. J. Duncan, "The Long-Term Dynamical Behavior of Short-Period Comets." Icarus 108(1), 18–36, 1994.
The original close-encounter treatment: E. J. Öpik, Interplanetary Encounters: Close-Range Gravitational Interactions. Elsevier, 1976.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

JFC-artig - Eine typische Bahn eines Jupiter-Familien-Kometen ergibt oft Tⱼ zwischen 2 und 3.
Hilda-artig - Hilda-ähnliche Asteroidenbahnen liegen im Tisserand-Raum meist oberhalb der kometaren Schwelle.
NEO-artig - Erdnahe Asteroiden ergeben in der Regel größere Tⱼ-Werte als Jupiter-Familien-Kometen.
Retrograder Komet - Retrograde Kometen mit hoher Inklination können Tⱼ deutlich unter den klassischen Bereich der Jupiter-Familie drücken.