Wien-Gesetz Peak-Wellenlängen-Tool

Gib eine Temperatur in Kelvin ein, um die Wellenlänge der maximalen Emission über das Wiensche Verschiebungsgesetz zu bestimmen.

Rechenbeispiel — Wien-Gesetz Peak-Wellenlängen-Tool

Peak-Wellenlänge (Nanometer)	502.039 nm
Frequenz am Peak	5.971 × 10¹⁴ Hz
Photonenenergie am Peak	2.47 eV
Nächster Referenzwert	Die Sonne
Die Sonne	5772 K, 0 K away
Eingegebene Schwarzkörpertemperatur	5772 K

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Konstante verbirgt eine unaufschreibbare Zahl 🖖

λ_max = b/T sieht aus, als bräuchte es eine gemessene Konstante, doch b wird nicht gemessen – es wird hergeleitet und enthält eine transzendente Wurzel. Das Maximieren der Planck-Kurve führt auf x = 5(1 − e^−x), deren von null verschiedene Lösung x = 4,965114232… lautet, eine Zahl ohne geschlossene Form. Dann ist b = hc/(x·k_B), und das ergibt 2,897772 × 10⁻³ m·K – genau den Wert, den dieses Werkzeug verwendet. Die sperrige 2,8978 ist also kein Zufall der Einheiten: Sie ist das Plancksche Wirkungsquantum mal Lichtgeschwindigkeit, geteilt durch die Boltzmann-Konstante und durch eine Wurzel, die niemand exakt hinschreiben kann.

Warum die Farbe eines Sterns seine Hitze verrät 🖖

Dieses Werkzeug verwandelt den alltäglichen Zusammenhang von Farbe und Temperatur in eine Zahl. Die Alltagslogik steht dabei auf dem Kopf: Am Wasserhahn steht Rot für heiß und Blau für kalt – bei glühenden Körpern ist es umgekehrt. Ein kühler Körper glüht mattrot; erhitzt man ihn, wandert das Maximum über Orange und Gelb bis zu Blauweiß. Deshalb ist der rote Stern Betelgeuse (~3500 K) weit kühler als das blauweiße Rigel (~12000 K).

Das Maximum hängt von der Darstellung ab 🖖

Das Wiensche Gesetz hat eine versteckte Falle: Die Wellenlänge, bei der ein Schwarzkörper sein Maximum hat, und die Frequenz seines Maximums beschreiben nicht dasselbe Photon. Das Sonnenspektrum hat sein Maximum in der Wellenlänge nahe 500 nm (grün), sein Frequenzspektrum aber bei etwa 880 nm (infrarot). Der Grund: Der Wechsel von Wellenlänge zu Frequenz staucht die Achse ungleichmäßig. Die von diesem Werkzeug angegebene „Spitzenfrequenz“ ν = c/λ_max ist also nicht das echte Maximum der Frequenzkurve.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Farbe, bei der die Sonne ihr Maximum erreicht, und warum ein Treibhaus funktioniert 5 Schritte
Finde die Farbe, bei der die Sonne ihr Maximum hat, und nutze dann dasselbe einzeilige Gesetz, um zu erklären, warum ein Treibhaus funktioniert — und warum Nachtsichtkameras warme Körper überhaupt sehen. Sonne: T = 5772 K.
1. Alles mit einer Temperatur strahlt, und die Wellenlänge, bei der es am stärksten strahlt, ist umgekehrt proportional zur Temperatur. Heißer bedeutet blauer — das ist der gesamte Inhalt des Wienschen Gesetzes, und die Konstante ist durch die Natur vorgegeben.
  
  $λ_{m a x} = \frac{b}{T}, b = 2.898 \times 1 0^{- 3} m K$
2. Setze die effektive Temperatur der Sonne ein. Der Rechner oben gibt diesen Wert aus. Er liegt im grünen Bereich, nahe der Mitte des sichtbaren Spektrums und fast genau dort, wo das menschliche Auge am empfindlichsten ist.
  
  $λ_{m a x} = \frac{2.898 \times 1 0 ^{- 3}}{5772} = 5.020 \times 1 0^{- 7} m = 502.039 nm$
3. Die Frequenz folgt unmittelbar aus der Wellenbeziehung, und das Werkzeug gibt auch diese aus.
  
  $f = \frac{c}{λ _{m a x}} = \frac{2.998 \times 1 0 ^{8}}{5.020 \times 1 0 ^{- 7}} = 5.971 \times 1 0^{14} Hz$
4. Wende nun dasselbe Gesetz auf etwas an, das kein Stern ist: die Erdoberfläche bei 288 K.
  
  $T = 288 K : λ_{m a x} = \frac{2.898 \times 1 0 ^{- 3}}{288} = 1.006 \times 1 0^{- 5} m = 10.06 μ m$
5. Vergleiche die beiden Maxima. Dasselbe Gesetz, dieselbe Konstante, Temperaturen, die sich um den Faktor 20 unterscheiden — also unterscheiden sich die Wellenlängen um den Faktor 20 in der entgegengesetzten Richtung.
  
  $\frac{λ _{Earth}}{λ _{Sun}} = \frac{10.06 μ m}{0.502 μ m} = 20$
Antwort

502 nm, im Grünen. Die Erde hat ihr Maximum bei 10.06 μm, tief im Infrarot, und dieser Faktor zwanzig ist der gesamte Treibhauseffekt-Mechanismus: Glas und CO₂ sind bei einem halben Mikrometer transparent und bei zehn undurchsichtig, sodass Sonnenlicht ungehindert eintrifft und die wieder abgestrahlte Wärme den gleichen Weg nicht zurücknehmen kann. Das ist auch der Grund, warum Wärmebildkameras im Dunkeln funktionieren — ein Körper von 310 K hat sein Maximum nahe 9.4 μm und leuchtet ständig bei einer Wellenlänge, die dein Auge nicht sehen kann. Eine umgekehrte Proportionalität, drei unterschiedlich aussehende Phänomene.

$λ_{m a x} T = b 502 nm (Sun) v s 10.06 μ m (Earth)$

Quellen (2)

The distribution whose maximum gives the displacement law: M. Planck, "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum." Annalen der Physik 309(3), 553–563, 1901.
The value of the displacement constant b, and of h, c and k_B behind it: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-03

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Beispielaufgaben

Raumtemperatur - Objekte bei Raumtemperatur haben ihr Strahlungsmaximum tief im Infraroten, nicht im sichtbaren Licht.
Sonnenähnlich - Die Sonne hat ihr Maximum nahe den sichtbaren Wellenlängen, etwa im Grün-Gelb-Bereich.
Heißer blauer Stern - Heiße Sterne haben ihr Maximum im UV-Bereich, weshalb sie im sichtbaren Licht blau-weiß erscheinen.
Röntgenplasma - Extrem heiße Plasmen können ihr Maximum im Röntgenbereich haben.