Body-Mass-Index (BMI) Rechner

BMI = Masse / Größe² – sieh dir die Formel mit deinen eigenen Werten an, dazu eine altersabhängige Körperfettschätzung und den gesunden Gewichtsbereich für deine Größe.

Startwerte — Body-Mass-Index (BMI) Rechner

Größe (cm)	175
Gewicht (kg)	70
Alter (Jahre)	30
Geschlecht	Männlich
Athletischer Körperbau	Nein

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die Grenzen einer einzelnen Zahl 🖖

Der BMI wurde in den 1830er-Jahren von Adolphe Quetelet als Statistik auf Bevölkerungsebene entwickelt, nicht als Diagnosewerkzeug für Einzelpersonen. Er kann Muskeln nicht von Fett unterscheiden, sodass ein Bodybuilder und eine inaktive Person gleicher Größe und gleichen Gewichts denselben BMI haben können, obwohl ihre Körperzusammensetzung sehr unterschiedlich ist. Die hier verwendete Deurenberg-Formel gleicht das durch Alters- und Geschlechtsterme aus – der Körperfettanteil steigt mit dem Alter, auch wenn der BMI konstant bleibt, und Männer haben bei gleichem BMI mehr fettfreie Masse als Frauen. Dennoch kann keine Formel, die nur auf Größe, Gewicht, Alter und Geschlecht basiert, eine direkte Messung wie DEXA-Scan, Hautfaltenmessung oder bioelektrische Impedanzanalyse für die wahre Körperzusammensetzung einer Person ersetzen.

Gewicht im Verhältnis zur Körpergröße 🖖

Der BMI beantwortet eine einfache Frage: Passt dein Gewicht zu deiner Größe? Er teilt die Masse in Kilogramm durch das Quadrat der Körpergröße in Metern, sodass sich sehr unterschiedlich große Menschen auf einer Skala vergleichen lassen. Der praktische Nutzen: Zu jeder Größe gehört ein eigenes gesundes Gewichtsfenster — dieses Tool berechnet deines in Kilogramm, den Bereich, in dem der BMI zwischen 18.5 und 25 bleibt.

Warum die Formel quadriert und nicht kubiert 🖖

Das Gewicht folgt dem Volumen, und das Volumen wächst mit der dritten Potenz der Länge — reine Geometrie verlangt also eine Division durch die Körpergröße hoch drei, den Ponderal-Index, den dieses Tool ebenfalls anzeigt. Quetelet behielt das Quadrat bei, weil echte Körper nicht wie vergrößerte Statuen skalieren: Größere Menschen sind relativ schlanker, also passt das Quadrat der Größe besser zu ganzen Bevölkerungen. Deshalb überschätzt der BMI große Menschen leicht und unterschätzt kleine — und Kinderärzte greifen bei Säuglingen zum Ponderal-Index.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Körper von 175 cm und 70 kg, der seine Größe ohne Formänderung ändert 5 Schritte
Finden Sie heraus, wie sich der BMI auf einen Körper auswirkt, der seine Größe ändert, ohne seine Form zu verändern. Dies ist der Referenz-Erwachsene: 175 cm und 70 kg.
1. Beginnen wir mit dem Index gemäß seiner Definition. Der Zähler ist eine Masse und der Nenner eine Fläche; der BMI ist also kein Verhältnis gleichartiger Größen — und genau um dieses Missverhältnis geht es im Rest der Aufgabe.
  
  $BMI = \frac{m}{h ^{2}} = \frac{70}{1.7 5 ^{2}} = \frac{70}{3.0625} = 22.857 kg/ m^{2}$
2. Vergrößern wir nun den gesamten Körper: Multiplizieren Sie jede Länge mit s und halten Sie die Dichte konstant. Die Masse folgt dem Volumen und nimmt um s³ zu, während der Nenner nur um s² zunimmt; somit übersteht eine Potenz von s die Division.
  
  $h \to s h, m \to s^{3} m ⟹ BMI \to \frac{s ^{3} m}{( s h ) ^{2}} = s \cdot BMI$
3. Ein Index, der die Skalierung übersteht, muss zum Exponenten der Masse passen, und genau das leistet das Kubieren der Körpergröße. Der Ponderal-Index ist dann für jedes Mitglied der Familie identisch — nicht näherungsweise, sondern exakt.
  
  $PI = \frac{m}{h ^{3}} = \frac{70}{5.359375} = 13.061 kg/ m^{3}, PI \to \frac{s ^{3} m}{( s h ) ^{3}} = PI$
4. Schreibt man den BMI als Ponderal-Index mal Körpergröße, wird die Größenabhängigkeit explizit, sodass bei jeder Größe keine Masse neu berechnet werden muss. Viereinhalb BMI-Einheiten trennen die 155 cm und die 190 cm große Version desselben Körpers — ohne ein einziges Gramm zusätzliches Fett irgendwo darin.
  
  $BMI (h) = PI \cdot h : h = 1.55 \Rightarrow 20.24, h = 1.75 \Rightarrow 22.857, h = 1.90 \Rightarrow 24.82$
5. Die Kategoriengrenzen sind feste Zahlen, während der Index dies nicht ist; die Schwellenwert-Größen ergeben sich daher durch eine einzige Division.
  
  $PI \cdot h = 25 \Rightarrow h = \frac{25}{13.061} = 1.914 m; PI \cdot h = 18.5 \Rightarrow h = 1.416 m$
Antwort

Das Werkzeug gibt BMI = 22,857 und einen Ponderal-Index von 13,061 aus, und die zweite Zahl bleibt für die 155 cm und 190 cm großen Versionen desselben Körpers unverändert. Die Schwellenwert-Größen sind der entscheidende Punkt: Diese exakte Statur wird bei 191,4 cm als übergewichtig und bei 141,6 cm als untergewichtig eingestuft. Kaum ein Erwachsener ist 142 cm groß, sodass bei reiner geometrischer Skalierung die Verzerrung nur in eine Richtung verläuft — sie kann eine Person in eine höhere Kategorie verschieben, aber niemals in eine niedrigere. Der tatsächliche Effekt ist kleiner als 4,6 Einheiten, da Erwachsene keine skalierten Kopien voneinander sind: Größere Erwachsene sind tatsächlich relativ schlanker, und wenn die Masse einer Population exakt wie h² skalieren würde, wäre der BMI unabhängig von der Körpergröße und das Quadrat wäre Geometrie statt einer Anpassung. Es ist eine Anpassung, und das ist die vollständige Antwort darauf, warum der Exponent 2 und nicht 3 beträgt — zusammen mit dem Grund, warum ein auf eine Population abgestimmter Exponent Individuen an ihren Rändern fehleinschätzt.

$m \propto h^{3} \Rightarrow BMI \propto h^{1}; m \propto h^{2} \Rightarrow BMI \propto h^{0}$

Quellen (2)

The body-fat equation this tool actually evaluates: P. Deurenberg, J. A. Weststrate and J. C. Seidell, "Body mass index as a measure of body fatness: age- and sex-specific prediction formulas." British Journal of Nutrition 65(2), 105–114, 1991.
Insight block 3 — why the denominator is height squared and not cubed: A. Keys, F. Fidanza, M. J. Karvonen, N. Kimura and H. L. Taylor, "Indices of relative weight and obesity." Journal of Chronic Diseases 25(6–7), 329–343, 1972 — the study that compared the candidate indices against measured body fat, and coined the name "body mass index".

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Referenz-Erwachsener - Referenz-Erwachsener: Der BMI liegt bei etwa 22.9 und damit im normalen gesunden Bereich.
Athletischer Körperbau - Athletischer Körperbau: Der BMI liegt im Übergewichtsbereich, die Körperzusammensetzung wird jedoch separat geschätzt und angepasst.
Älterer Erwachsener - Beispiel für einen älteren Erwachsenen: Die BMI-Formel bleibt unverändert, während der Altersterm die geschätzte Körperfettmenge erhöht.
Hoher BMI - Beispiel für einen hohen BMI: Die Berechnung zeigt sowohl die BMI-Kategorie als auch die einzelnen eingesetzten Formelschritte.