Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Hardy-Weinberg-Gleichgewicht

Drei Ansichten: Beobachte, wie sich Allelhäufigkeiten unter Genotyp-Fitness entwickeln, führe einen χ²-Test an beobachteten Genotyp-Zählungen durch und leite aus der Krankheitshäufigkeit die Trägerhäufigkeit ab.

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Eine echte Population könnte diese Linie nicht halten 🖖

Dieses Werkzeug würfelt nie. Sein Preset ohne Selektion hält p = 0,500 über alle fünfzig Generationen exakt, und ein zweiter Durchlauf zeichnet dieselbe Kurve, denn im Modell steckt nirgends Zufall. Keine echte Population kann sich so verhalten. In einer Population endlicher Größe entscheidet allein der Zufall, welche Individuen sich tatsächlich fortpflanzen, und dieser Stichprobenfehler — die genetische Drift — verschiebt p in jeder Generation, bis irgendwann ein Allel verloren geht, ganz ohne Selektion. Die Drift wirkt umso stärker, je kleiner die Population ist. Deshalb kümmern sich Artenschutzprogramme um die Kopfzahl, selbst wenn nichts gegen die Tiere selektiert. Von den Annahmen, über die Lernende hinweglesen, leistet die unendliche Populationsgröße hier die meiste Arbeit.

Genotypen sind nur zwei Zufallsziehungen 🖖

Im Kern ist Hardy-Weinberg reine Wahrscheinlichkeit. Paaren sich Allele zufällig, beträgt die Chance auf ein AA-Kind einfach p × p = p² — genau wie die Chance, zweimal Kopf zu werfen. Damit lässt sich rückwärts rechnen: Aus dem Anteil der von einer rezessiven Erkrankung Betroffenen (q²) erhält man, wie häufig die unsichtbaren Träger sind. Ist 1 von 10,000 betroffen, dann ist q = 0.01 und die Träger (2pq) machen etwa 1 von 50 aus — 200-mal häufiger als die Krankheit selbst.

Der Nebengedanke eines reinen Mathematikers 🖖

Dieser Grundpfeiler der Genetik stammt von jemandem, der wenig davon hielt. 1908 konnte der Genetiker Reginald Punnett — ein Cricket-Freund von G. H. Hardy in Cambridge — nicht erklären, warum sich ein dominantes Merkmal nicht allmählich in einer Population durchsetzt. Hardy notierte die Antwort und veröffentlichte sie fast entschuldigend, als reiner Mathematiker, der angewandte Mathematik verachtete. Der Arzt Wilhelm Weinberg leitete dasselbe Gesetz im selben Jahr auf Deutsch her; es wurde 35 Jahre lang ignoriert, bis Curt Stern 1943 beiden Männern gleiche Anerkennung zollte.

HARDY-WEINBERG — WELCHE KRAFT WIRKT AUF DEINE POPULATION?

In welchem Hardy-Weinberg-Fall bist du?

Hardy-Weinberg ist ein Nullmodell: Es beschreibt, was eine Population tut, wenn nichts auf sie einwirkt. Die nützliche Frage ist deshalb nie, ob die Gleichung stimmt, sondern welche ihrer Annahmen deine Population verletzt — denn das entscheidet, welche der drei Ansichten du brauchst. Diese sechs Fälle umfassen den Ausgangszustand, den Test, der eine Abweichung davon aufspürt, die drei Selektionsregime, die das Werkzeug simulieren kann, und die eine Rechnung, die die Gleichung umkehrt: von einer Krankheitshäufigkeit zum Allel, das sich dahinter verbirgt.

Keine Selektion — der Ausgangszustand w = 1 ⇒ p² + 2pq + q² = 1
Beobachtete Anzahlen — die Passung prüfen χ² = 36.0 > 3.841, df = 1
Selektion gegen das Rezessive — langsam am Ende w(aa) = 0.8 ⇒ q → 0
Heterozygotenvorteil — ein stabiler Polymorphismus w(Aa) > w(AA), w(aa) ⇒ p → 0.667
Heterozygotennachteil — ein instabiler Kipppunkt w(Aa) < w(AA), w(aa) ⇒ p → 0 / 1
Rückwärts von der Häufigkeit — Träger zählen q = √(q²) ⇒ 2pq = 0.039

01

Keine Selektion — der Ausgangszustand

Was du weißt: Eine Allelfrequenz p und kein Fitnessunterschied zwischen den drei Genotypen.

Ergebnis: w = 1 ⇒ p² + 2pq + q² = 1

Rechenbeispiel: p = 0,500 bei allen drei Fitnesswerten gleich 1. Die Genotypen liegen bei AA = 0,250, Aa = 0,500, aa = 0,250, und nach 50 Generationen meldet das Werkzeug noch immer p = 0,500. Nichts hat sich bewegt.

Diesen Fall öffnen: Gleich (p=0.5)
Keine Selektion — der Ausgangszustand. Alle drei Fitnesswerte sind 1, deshalb verlaufen alle fünf Linien waagerecht. p und q bewegen sich nie, und die Genotypfrequenzen bleiben bei p², 2pq und q². Eine Allelfrequenz p und kein Fitnessunterschied zwischen den drei Genotypen.
Alle drei Fitnesswerte sind 1, deshalb verlaufen alle fünf Linien waagerecht. p und q bewegen sich nie, und die Genotypfrequenzen bleiben bei p², 2pq und q².

02

Beobachtete Anzahlen — die Passung prüfen

Was du weißt: Genotypanzahlen aus einer echten Stichprobe, und sonst nichts.

Ergebnis: χ² = 36.0 > 3.841, df = 1

Rechenbeispiel: AA = 40, Aa = 20, aa = 40 in einer Stichprobe von N = 100. Das Werkzeug schätzt p̂ = 0,500, erwartet damit 25,00 / 50,00 / 25,00 und meldet χ² = 36,000 gegen einen kritischen Wert von 3,841 — p < 0,0001, das Gleichgewicht wird also verworfen.

Diesen Fall öffnen: χ²-Test
Beobachtete Anzahlen — die Passung prüfen. Beobachtete Anzahlen gegen die Hardy-Weinberg-Erwartung. Beide Homozygoten sind im Überschuss, während die Heterozygoten nur 40 % der Erwartung erreichen — ein Defizit im Wert von χ² = 36,0 bei einem Freiheitsgrad. Genotypanzahlen aus einer echten Stichprobe, und sonst nichts.
Beobachtete Anzahlen gegen die Hardy-Weinberg-Erwartung. Beide Homozygoten sind im Überschuss, während die Heterozygoten nur 40 % der Erwartung erreichen — ein Defizit im Wert von χ² = 36,0 bei einem Freiheitsgrad.

03

Selektion gegen das Rezessive — langsam am Ende

Was du weißt: Die Fitness von aa liegt unter 1, während AA und Aa gleich fit sind.

Ergebnis: w(aa) = 0.8 ⇒ q → 0

Rechenbeispiel: p = 0,300 mit w(aa) = 0,80. Über 100 Generationen bringt das Werkzeug p auf 0,946, q fällt also von 0,700 auf 0,054 — aber nicht gleichmäßig. q ist bereits in Generation 7 unter 0,500, erreicht 0,050 in Generation 109 und braucht bis Generation 516 für 0,010.

Diesen Fall öffnen: Selektion
Selektion gegen das Rezessive — langsam am Ende. p steigt steil und bleibt dann stecken. Die gestrichelte aa-Linie — der einzige Genotyp, an dem die Selektion ansetzt — bricht gegen null ein, während die Aa-Linie das Allel im Umlauf hält. Die Fitness von aa liegt unter 1, während AA und Aa gleich fit sind.
p steigt steil und bleibt dann stecken. Die gestrichelte aa-Linie — der einzige Genotyp, an dem die Selektion ansetzt — bricht gegen null ein, während die Aa-Linie das Allel im Umlauf hält.

04

Heterozygotenvorteil — ein stabiler Polymorphismus

Was du weißt: Aa ist fitter als beide Homozygoten.

Ergebnis: w(Aa) > w(AA), w(aa) ⇒ p → 0.667

Rechenbeispiel: p = 0,200 mit w(AA) = 0,90, w(Aa) = 1,00, w(aa) = 0,80. Das Werkzeug meldet ein inneres Gleichgewicht bei p* = 0,667, und p steigt von unten dorthin — 0,657 in Generation 50, 0,666 in Generation 100.

Diesen Fall öffnen: Überdominanz
Heterozygotenvorteil — ein stabiler Polymorphismus. p steigt von 0,200 und legt sich flach auf die gestrichelte Linie bei p* = 0,667. Beide Allele bleiben dauerhaft erhalten, keines geht verloren. Aa ist fitter als beide Homozygoten.
p steigt von 0,200 und legt sich flach auf die gestrichelte Linie bei p* = 0,667. Beide Allele bleiben dauerhaft erhalten, keines geht verloren.

05

Heterozygotennachteil — ein instabiler Kipppunkt

Was du weißt: Aa ist weniger fit als beide Homozygoten.

Ergebnis: w(Aa) < w(AA), w(aa) ⇒ p → 0 / 1

Rechenbeispiel: p = 0,350 mit w(AA) = 1,00, w(Aa) = 0,80, w(aa) = 0,90. Dieselbe p*-Formel ergibt 0,333, und das Werkzeug treibt p bis Generation 80 auf 1,000. Setze p nun auf 0,300 — knapp unter p* — und dieselben drei Fitnesswerte bringen p stattdessen auf 0,000.

Diesen Fall öffnen: Unterdominanz
Heterozygotennachteil — ein instabiler Kipppunkt. Zwei Läufe mit identischen Fitnesswerten. Ein Start knapp über p* = 0,333 fixiert A, ein Start knapp darunter verliert es. Die gestrichelte Linie ist eine Wasserscheide, kein Ziel. Aa ist weniger fit als beide Homozygoten.
Zwei Läufe mit identischen Fitnesswerten. Ein Start knapp über p* = 0,333 fixiert A, ein Start knapp darunter verliert es. Die gestrichelte Linie ist eine Wasserscheide, kein Ziel.

06

Rückwärts von der Häufigkeit — Träger zählen

Was du weißt: Wie häufig die rezessive Erkrankung ist. Nichts über Allelfrequenzen.

Ergebnis: q = √(q²) ⇒ 2pq = 0.039

Rechenbeispiel: Eine Häufigkeit von etwa 1 zu 2500 Geburten, also q² = 0,0004. Das Werkzeug zieht die Wurzel und erhält q = 0,020, dann p = 0,980, und meldet Träger bei 2pq = 0,039 — etwa 1 von 26 Menschen.

Diesen Fall öffnen: Mukoviszidose
Rückwärts von der Häufigkeit — Träger zählen. Der Populationsbalken bei q = 0,020. Der aa-Abschnitt macht 0,04 % aus — zu schmal für eine Beschriftung — während der Aa-Abschnitt mit 3,92 % achtundneunzigmal breiter ist. Wie häufig die rezessive Erkrankung ist. Nichts über Allelfrequenzen.
Der Populationsbalken bei q = 0,020. Der aa-Abschnitt macht 0,04 % aus — zu schmal für eine Beschriftung — während der Aa-Abschnitt mit 3,92 % achtundneunzigmal breiter ist.
Quellen (5)

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Genotyp-Proportionen für ein Gen mit zwei Allelen bei gleicher Häufigkeit 5 Schritte

    Bestimme für ein Gen mit zwei Allelen gleicher Frequenz die Genotypanteile — und erkläre dann anhand derselben Identität, warum eine seltene rezessive Krankheit nicht weggezüchtet werden kann.

    1. Bei zufälliger Paarung ist ein Individuum das Ergebnis zweier unabhängiger Ziehungen aus dem Allelpool. Die Genotypfrequenzen sind daher die Terme eines quadrierten Binoms, und ihre Summe muss eins ergeben.

    2. Bei p = q = 0.5 liegt die Aufteilung bei ein Viertel, ein Halb, ein Viertel. Der Rechner oben gibt genau diese Werte aus, und das entscheidende Merkmal ist, dass sie stabil sind — die nächste Generation liefert dieselben Werte, ohne dass eine Kraft erforderlich ist, um sie aufrechtzuerhalten.

    3. Mache das rezessive Allel nun selten, so wie ein Krankheitsallel. Die Häufigkeit der Betroffenen beträgt q², was quadratisch abfällt, aber die Trägerhäufigkeit 2pq fällt nur linear ab.

    4. Bildet man das Verhältnis: Fast jede Kopie eines seltenen Allels sitzt in einem gesunden Träger, unsichtbar für die Selektion.

    5. Die Selektion gegen Betroffene entfernt daher in jeder Generation nur einen verschwindend geringen Anteil der Allele, und der Rückgang folgt einer langsamen Reziproken statt einer Exponentialfunktion.

    Antwort

    0.250 : 0.500 : 0.250. Die Konsequenz ist der überraschende Teil: Bei q = 0.01 ist eine von 10 000 Personen betroffen, während eine von 50 ein Träger ist — 198 Träger für jeden Betroffenen. Selbst wenn man jede betroffene Person von der Fortpflanzung ausschließt, verschiebt sich q über zehn Generationen, ungefähr 250 Jahre, nur von 0.0100 auf 0.0091. Das ist das populationsgenetische Argument gegen eugenische Programme, und es beruht auf Arithmetik statt auf Ethik: Das Allel versteckt sich in Heterozygoten, wo die Selektion es nicht sehen kann.

· Aktualisiert

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Beispielaufgaben

  • Gleich (p=0.5) - Keine Fitnessunterschiede (alle w = 1) bei p = 0.5. Allel- und Genotyphäufigkeiten bleiben Generation für Generation gleich — die Hardy-Weinberg-Ausgangslage.
  • Selektion - Der rezessive Homozygote aa ist weniger fit (w = 0.8). Das rezessive Allel nimmt langsam ab, und die Veränderung verlangsamt sich, da verbleibende Kopien sich in Aa-Heterozygoten verbergen.
  • Überdominanz - Heterozygotenvorteil — Aa ist der fitteste Genotyp, daher bleiben beide Allele erhalten und p pendelt sich auf ein stabiles Gleichgewicht (~0.67) ein, statt dass ein Allel verloren geht.
  • Unterdominanz - Heterozygotennachteil — Aa ist der am wenigsten fitte Genotyp, daher wird p = 0,35 vom instabilen Punkt p* = 1/3 weggetrieben, bis A fixiert ist. Senke p auf 0,30, und dieselben drei Fitnesswerte lassen stattdessen A verschwinden.
  • χ²-Test - Beobachtete Zählungen (AA=40, Aa=20, aa=40), die nicht zu den Hardy-Weinberg-Anteilen passen; der χ²-Test zeigt eine signifikante Abweichung vom Gleichgewicht an.
  • Mukoviszidose - Häufigkeit wie bei Mukoviszidose (~1 von 2500 Betroffenen). Ermittle aus q² die Häufigkeit des rezessiven Allels und die Trägerhäufigkeit.