Die Parkzählung

Stelle ein, wie viele Tiere wirklich dort draußen sind, wie viele der Park ausgesetzt zu haben glaubt und ob die Suche stoppt, sobald sie diese Zahl erreicht. Betrachte dann, was die Größen der gefundenen Tiere dir verraten.

Rechenbeispiel — Die Parkzählung

Die Suche meldet	12
Was die Größen aussagen	-2,6 Fortpflanzung

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Eine Zählung, die bei der erwarteten Anzahl endet, kann nie einen Überschuss melden 🖖

Klick auf Verdeckter Überschuss. 40 Tiere sind da draußen. Der Park glaubt, 12 ausgesetzt zu haben. Die Suche erhält den Befehl, beim erwarteten Zielwert anzuhalten, und meldet 12 von 12. Laut Bildschirm liegt der Park exakt richtig. 28 Tiere bleiben völlig unbemerkt. Heb nun die Begrenzung auf: Gleicher Park, gleiche Suchläufe, und die Zählung ergibt 37. Die beruhigende Zahl stammte von der Anweisung, nicht von den Tieren. Das ist kein reiner Romantrick. Jede Buchprüfung, die endet, sobald die Bilanz stimmt, jede Testreihe, die bei den erwarteten Fehlern stoppt, und jede Suche, die nach dem erhofften Fund abgebrochen wird, teilt genau dieses Muster.

Die Verteilung verrät es, aber ein flüchtiger Blick nicht 🖖

Malcolm liest die Fortpflanzung aus einem Diagramm der Körpergrößen der Tiere ab: Eine kontrollierte Aussetzung erfolgt schubweise, also häufen sich die Größen; freie Fortpflanzung verteilt das Alter kontinuierlich. Er hat recht. Doch die naive Version seines Arguments greift nicht. Als wir dieses Werkzeug bauten, lieferte das Zählen der Gipfel im Histogramm bei realistischen Stichprobengrößen das gegenteilige Ergebnis. Das Rauschen in einer kontinuierlichen Stichprobe von 48 wirkte zerklüfteter als drei echte Kohorten. Was tatsächlich funktioniert, ist der direkte Vergleich beider Modelle, wobei das Kohortenmodell für seine zusätzlichen Parameter bestraft wird. Wechsle zwischen Schubweise ausgesetzt und Fortpflanzung und achte auf den Evidenzwert: +68,3 in die eine Richtung, −18,4 in die andere, bei denselben 46 Tieren. Das Diagramm überzeugt dich. Der penalisierte Likelihood-Quotient liefert die Gewissheit.

Eine Obergrenze verzählt sich nicht nur, sie entzieht der Evidenz die Grundlage 🖖

Die Tiere, die du misst, sind die Tiere, die du gefangen hast, daher verstärken sich die beiden Fehler. Im gedeckelten Durchlauf stehen 12 Größen zur Verfügung, und die Evidenz für Fortpflanzung liegt bei −2,6. Das weist in die richtige Richtung, ist aber viel zu schwach, um darauf zu reagieren. Hebt man die Obergrenze auf, liefert derselbe Park 37 Tiere und −18,5, was ausschlaggebend ist. Das Erkennen von Kohorten bleibt bei jeder Stichprobengröße einfach, weil Cluster laut sind. Das Fehlen von Kohorten zu beweisen, ist die schwierige Richtung und erfordert Zahlen. Die Anweisung, das Zählen zu beenden, entfernte also die Evidenz zur Populationsgröße und zur Fortpflanzung in einem einzigen Schritt. Übrig blieb ein Bildschirm, der Normalität suggerierte.

Aufgaben vollständig gelöst

Vierzig Tiere da draußen in einem Park, der 12 erwartet 7 Schritte
Ein Park erwartet 12 Tiere. Vierzig sind draußen. Jeder Durchgang entdeckt ein beliebiges Tier mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,28, und die Suche läuft über 8 Durchgänge. Was besagt die Zählung, mit und ohne Obergrenze?
1. Zunächst zur Abdeckung. Ein Tier wird bei einem Durchgang mit der Wahrscheinlichkeit 0,72 übersehen. Bei allen acht Durchläufen wird es also mit der Wahrscheinlichkeit von 0,72 hoch acht übersehen.
  
  $(1 - 0.28)^{8} = 0.7 2^{8} = 0.0722$
2. Die Suche erfasst also etwa 93 % von dem, was vorhanden ist. Bei 40 vorhandenen Tieren sind das 37.
  
  $1 - 0.0722 = 0.928 \Rightarrow 40 \times 0.928 = 37$
3. Mit Obergrenze stoppt die Suche bei 12. Sie erreicht nie 37 und meldet exakt die erwartete Zahl.
  
  $min (37, 12) = 12$
4. Die Lücke ist das eigentliche Resultat. 28 Tiere sind dort draußen und unberücksichtigt, und der Bericht zeigt eine perfekte Übereinstimmung. Die Obergrenze hat die Zahl nicht nur gedeckelt, sie hat das einzige Signal dafür entfernt, dass etwas nicht stimmte.
  
  $40 - 12 = 28$
5. Nun zum zweiten Instrument. Die Größen werden an den gefundenen Tieren gemessen, also bestimmt die Obergrenze auch den Stichprobenumfang: 12 Tiere mit Obergrenze, 37 ohne.
  
  $n_{capped} = 12 n_{free} = 37$
6. Der Vergleich eines Drei-Kohorten-Modells mit einer kontinuierlichen Altersverteilung liefert einen Log-Likelihood-Quotienten von −2,6 für die zwölf und −18,5 für die siebenunddreißig. Unterhalb eines absoluten Wertes von etwa 5 rät ein Likelihood-Quotient nicht zum Handeln.
  
  $lo g \frac{L _{cohorts}}{L _{continuous}} = - 2.6 vs - 18.5$
7. Hier stößt das Tool an seine Grenzen, und hier hat der Roman stillschweigend recht mit einer realen Tatsache. Beide Zahlen deuten auf Fortpflanzung hin. Nur eine davon ist stark genug, um dies auszusagen. Der Unterschied zwischen ihnen wurde weder durch die Tiere noch durch die Biologie verursacht. Er entstand durch eine Anweisung, wann die Suche zu beenden sei.
  
  $∣Λ∣ < 5 \Rightarrow \emptyset$
Antwort

12 mit Obergrenze, 37 ohne, bei einer Population von 40. Die gedeckelte Zählung meldet eine perfekte Übereinstimmung, während sie 28 Tiere verbirgt. Die zwölf zurückgegebenen Tiere setzen die Evidenz für Fortpflanzung auf −2,6 statt −18,5. Eine Anweisung, zwei geblendete Instrumente.
Sechsundvierzig gezählte Tiere, und die Zahl, die der Park eigentlich braucht 6 Schritte
Klick auf Niemand vermehrt sich. Fünfzig Tiere sind draußen, die Suche läuft über acht Durchgänge und kommt mit 46 zurück. Lass das Werkzeug rückwärts laufen: hol die Population aus der Zählung zurück. Entscheide dann, ob der Park häufiger suchen oder seine Suche besser vermessen sollte.
1. Zuerst die Abdeckung, denn daran hängt hier alles. Ein Durchgang entdeckt ein bestimmtes Tier mit der Wahrscheinlichkeit 0,28 und übersieht es mit 0,72; acht unabhängige Durchgänge übersehen es mit 0,72 hoch acht. Was auch immer da draußen ist, die Suche findet 92,78 % davon.
  
  $c = 1 - (1 - p)^{k} = 1 - 0.7 2^{8} = 1 - 0.0722 = 0.9278$
2. Daher stammt die 46 auf der Karte. Es lohnt sich, das Werkzeug einmal in jener Richtung arbeiten zu sehen, für die niemand jemals die Daten hat: Es bekam die Wahrheit und wurde nach der Zählung gefragt.
  
  $⌊ 50 \times 0.9278 ⌋ = 46$
3. Eine echte Erhebung steht auf der anderen Seite dieser Gleichung. Im Notizbuch stehen 46, gesucht ist die Zahl im Park, also wird dividiert statt multipliziert. Auf ganze Tiere gerundet: 50.
  
  $\hat{N} = \frac{n}{c} = \frac{46}{0.9278} = 49.58 \Rightarrow 50$
4. Diese Antwort stützt sich auf eine Entdeckungsrate, die der Park geschätzt hat, und die Frage ist, wie schwer sie darauf lastet. Leite den Logarithmus ab: Der relative Fehler der Schätzung ist dieses Vielfache des relativen Fehlers von p.
  
  $\frac{d ln N ^}{d ln p} = \frac{k p ( 1 - p ) ^{k - 1}}{1 - ( 1 - p ) ^{k}}$
5. Bei einem Durchgang ergibt sich exakt 1. Jedes Prozent, um das du dich bei p irrst, ist ein Prozent Irrtum bei der Population, nicht mehr und nicht weniger. Bei acht Durchgängen sind es 0,242, und dieselbe Fehleinschätzung kostet nur noch ein Viertel.
  
  $k = 1 : \frac{p}{p} = 1; k = 2 : 0.837; k = 8 : \frac{8 \times 0.28 \times 0.7 2 ^{7}}{0.9278} = 0.242$
6. Prüf das am Modul, statt der Ableitung zu vertrauen. Lass die wahre Entdeckungsrate irgendwo zwischen 0,20 und 0,40 liegen, während der Park weiter mit 0,28 rechnet: Nach acht Durchgängen wandert die Schätzung zwischen 55 und 47, und eine Suche über zwei Durchgänge, die 24 Tiere findet und nicht 46, wandert zwischen 67 und 38.
  
  $p = 0.20 \to 0.40 : \hat{N}_{k = 8} = 55.3 \to 46.8, \hat{N}_{k = 2} = 66.7 \to 37.5$
Antwort

Fünfzig Tiere, aus 46 gefundenen und sonst nichts, und erst das Design mit acht Durchgängen macht diese Zahl zitierfähig. Wiederholtes Suchen erledigt zwei Aufgaben auf einmal: Es treibt die Abdeckung gegen 1, und es treibt den Hebel der Entdeckungsrate gegen 0. Ein einzelner Durchgang reicht jeden Fehler in p unverändert durch; acht Durchgänge schlucken drei Viertel davon.

Die Antwort auf die Frage des Parks lautet also: noch einmal suchen, nicht kalibrieren. Eine Entdeckungswahrscheinlichkeit sauber zu messen ist teure Feldarbeit, denn dafür braucht man Tiere, von denen man schon weiß, und der Ertrag steht oben. Je mehr Durchgänge gelaufen sind, desto weniger ist die Messung wert. Damit ist auch gesagt, wofür der Regler Suchdurchgänge wirklich da ist. Er sieht aus wie ein Knopf, mit dem man mehr Tiere findet, und ab etwa zehn Durchgängen tut er das nicht mehr, weil die Abdeckung schon bei 96 % liegt. Was er weiterhin tut: Er macht die Antwort robust gegen die eine Zahl, die niemand im Park überprüfen kann.

$k \to \infty lim \frac{k p ( 1 - p ) ^{k - 1}}{1 - ( 1 - p ) ^{k}} = 0, k = 1 \Rightarrow 1$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-25

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Beispielaufgaben

Niemand vermehrt sich - Fünfzig Tiere, in drei Chargen ausgesetzt, keine Fortpflanzung. Die Suche findet 46 und die Größen bilden drei enge Cluster. Die Evidenz für eine kontrollierte Aussetzung liegt bei +68,3, was ein eindeutiges Ergebnis ist.
Verdeckter Überschuss - Vierzig Tiere sind draußen, und der Park erwartet 12. Die Suche stoppt bei 12, meldet eine perfekte Übereinstimmung, und 28 Tiere bleiben unentdeckt. Schlimmer noch: Mit nur diesen 12 zu messenden Tieren liegt die Evidenz für Fortpflanzung bei −2,6, was für Schlussfolgerungen nicht ausreicht.
Selber Park, ohne Limit - Der gleiche Park mit aufgehobener Obergrenze. Nun tauchen 37 Tiere auf, 25 mehr als erwartet, und diese 37 setzen die Evidenz für Fortpflanzung auf −18,5. Nichts am Park hat sich geändert. Lediglich die Anweisung, das Zählen zu beenden.