Michaelis-Menten-Theorie

Modelliere die Enzymkinetik mit der Michaelis-Menten-Gleichung und vergleiche unterschiedliche Hemmeffekte.

Rechenbeispiel — Michaelis-Menten-Theorie

Vmax (scheinbar)	100.00
Km (scheinbar)	5.00
Diagrammtyp V vs [S] Lineweaver-Burk	5.0[S]V

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Die Sättigung ist asymptotisch – und quälend langsam 🖖

Die Kurve nähert sich V_max, erreicht es aber nie, und wie langsam das geschieht, sollte man vor Augen haben. Da v/V_max = [S]/(K_m + [S]) gilt, kostet halbe Geschwindigkeit genau ein K_m an Substrat. 90 % kosten neun. 99 % kosten neunundneunzig. Setze [S] im Werkzeug auf K_m und lies 0,5·V_max ab; verhundertfache [S], und die Decke ist immer noch nicht berührt. Deshalb lässt sich V_max nie direkt messen – es wird aus einem Fit abgelesen, nie von einer Anzeige, und genau darum wurde der Kehrwert-Plot im nächsten Block überhaupt erfunden.

Die Kurve zum Ablesen begradigen 🖖

Das Lineweaver-Burk-Diagramm des Tools formt die Gleichung um zu 1/v = (K_m/V_max)(1/[S]) + 1/V_max und macht aus der gekrümmten Sättigungskurve eine Gerade. Bevor es Software zur Kurvenanpassung gab, konnte man die Linie mit dem Lineal verlängern und die Konstanten direkt ablesen: Der y-Achsenabschnitt liefert 1/V_max, der x-Achsenabschnitt -1/K_m. Der Haken: Punkte bei kleinem [S] dominieren wegen ihrer großen Kehrwerte die Anpassung und überzeichnen Messfehler.

Dieselbe Kurve steckt überall 🖖

Diese gleichseitige Hyperbel ist nicht auf Enzyme beschränkt. Dieselbe Form erscheint als Langmuir-Adsorptionsisotherme für Gasmoleküle, die an einer Oberfläche haften, als Monod-Gleichung für mikrobielles Wachstum in Abhängigkeit vom Nährstoffangebot und als Hill-Gleichung für die Sauerstoffbindung an Hämoglobin. Jedes System mit einer festen Zahl allmählich sättigender Bindungsstellen erzeugt diese Form – V_max und K_m anzupassen heißt also, eine Maximalkapazität und einen Halbsättigungspunkt zu bestimmen.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein Enzym mit V max = 100 und K m = 5 5 Schritte
Ein Enzym mit V_max = 100 und K_m = 5. Zeigen Sie, was K_m tatsächlich misst, und berechnen Sie dann, wie viel Substrat benötigt wird, um von 10 % der Maximalgeschwindigkeit auf 90 % zu kommen.
1. Das Geschwindigkeitsgesetz beschreibt eine Sättigungskurve: proportional zum Substrat bei geringer Konzentration, flach bei hohem Überschuss. K_m ist die einzige Größe, die bestimmt, wo der Übergang stattfindet.
  
  $v = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{m} + [ S ]}$
2. Setzt man [S] gleich K_m, vereinfacht sich der Ausdruck. K_m ist die Halbsättigungskonzentration — keine Geschwindigkeit, keine Bindungsenergie und keine Eigenschaft, die man am flachen Teil der Kurve ablesen kann.
  
  $[S] = K_{m} ⟹ v = \frac{V _{m a x} K _{m}}{2 K _{m}} = \frac{V _{m a x}}{2} = 50$
3. Invertieren Sie das Geschwindigkeitsgesetz für die umgekehrte Frage: Welche Konzentration ergibt einen bestimmten Anteil von V_max?
  
  $v = f V_{m a x} ⟺ [S] = K_{m} \frac{f}{1 - f}$
4. Zehn Prozent benötigen ein Neuntel von K_m; neunzig Prozent das Neunfache davon.
  
  $f = 0.1 : [S] = \frac{K _{m}}{9} = 0.556; f = 0.9 : [S] = 9 K_{m} = 45$
5. Die mittleren 80 % der Kurve erstrecken sich also über einen einundachtzigfachen Substratbereich.
  
  $\frac{9 K _{m}}{K _{m} /9} = 81 ⟹ an 81-fold range for the middle 80%$
Antwort

Das Werkzeug gibt V_max = 100,00 und K_m = 5,00 aus. Die 81 ist die Zahl, auf die es im Labor ankommt. Die Sättigung wird so langsam erreicht, dass man V_max nicht durch Zugabe von mehr Substrat messen kann — um 99 % zu erreichen, wären 99 K_m erforderlich, und um sie exakt zu erreichen, unendlich viel —, weshalb V_max immer durch Kurvenanpassung bestimmt wird und nie durch direkte Beobachtung. Das ist auch der Grund, warum das Lineweaver–Burk-Diagramm erfunden wurde und warum heute davon abgeraten wird: Die Bildung von Kehrwerten führt dazu, dass die dicht beieinander liegenden, verrauschten Messpunkte bei niedriger Konzentration die Anpassung dominieren. Wechseln Sie den Diagrammtyp und beobachten Sie, welche Punkte sich verteilen.

$K_{m} is the half-saturation concentration; 10% \to 90% costs 81 \times [S]$
Ein kompetitiver Inhibitor und das Substrat, das ihn verdrängt 7 Schritte
Dasselbe Enzym trifft auf einen kompetitiven Inhibitor mit 5 Einheiten bei Kᵢ = 3. Finde heraus, was sich verändert und was nicht, und ermittle dann, wie viel zusätzliches Substrat nötig ist, um die ursprüngliche Geschwindigkeit wieder zu erreichen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Ein kompetitiver Inhibitor bindet an das freie aktive Zentrum, sodass das Enzym nun zwei Dinge tun kann, anstatt zu arbeiten. Seine Dissoziationskonstante gibt an, wie fest: Ein kleines Kᵢ bedeutet eine Bindung, die sich nur schwer lösen lässt.
  
  $E + I ⇌ E I, K_{i} = \frac{[ E ] [ I ]}{[ E I ]} = 3$
2. Verfolge dies durch die Herleitung des Fließgleichgewichts, und nur eine Sache ändert sich: Das freie Enzym ist aufgeteilt in arbeitend und blockiert, und diese Aufteilung entspricht einer einzigen Zahl, die bei jeder Substratkonzentration gleich ist.
  
  $α = 1 + \frac{[ I ]}{K _{i}} = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} = 2.667$
3. Dieser Faktor landet bei Kₘ und nirgendwo sonst. Das Tool meldet ein scheinbares Kₘ von 13,33 gegenüber den 5,00 zuvor und ein scheinbares Vₘₐₓ, das unverändert bei 100,00 liegt.
  
  $v = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{m} + [ S ]} ⟹ K_{m}^{app} = α K_{m} = 2.667 \times 5 = 13.33, V_{m a x}^{app} = 100.00$
4. Vₘₐₓ bleibt erhalten, weil Substrat und Inhibitor um dieselbe Bindungsstelle konkurrieren und das Substrat durch schiere Überzahl immer gewinnen kann. Ist genug davon vorhanden, kommt der Inhibitor nie zuerst zum Zug.
5. Bei einer festen Substratkonzentration ist der Verlust jedoch real. Wo das Enzym zuvor mit halber Geschwindigkeit lief, läuft es nun bei 27,27; der Inhibitor hat also fast die Hälfte der Ausbeute genommen, ohne die Obergrenze des Enzyms anzutasten.
  
  $[S] = 5 : v = \frac{100 \times 5}{13.33 + 5} = 27.27 against \frac{100 \times 5}{5 + 5} = 50.00$
6. Wie viel mehr Substrat stellt also die Geschwindigkeit wieder her? Setze die gehemmte Geschwindigkeit mit der alten gleich und löse auf. Die erforderliche Substratmenge steigt um genau denselben Faktor wie das scheinbare Kₘ, was die nützlichste Zeile der gesamten Rechnung ist: Miss, wie weit du das Substrat anheben musst, und du hast den Inhibitor gemessen.
  
  $\frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{m} + [ S ]} = \frac{V _{m a x}}{2} ⟹ [S] = α K_{m} = 13.33 = α \times 5$
7. Und so unterscheidest du die beiden Hemmungsarten anhand eines Diagramms und nicht durch bloße Behauptung. Schalte das Tool auf die nicht-kompetitive Voreinstellung bei denselben 5 Einheiten und demselben Kᵢ = 3 um, und die Zahlen tauschen die Plätze: Vₘₐₓ fällt auf 37,50 und Kₘ bleibt bei 5,00. Dieser Inhibitor bindet an einer anderen Stelle als dem aktiven Zentrum, sodass mehr Substrat dagegen nichts ausrichten kann.
  
  $non-competitive: V_{m a x}^{app} = \frac{V _{m a x}}{α} = \frac{100}{2.667} = 37.50, K_{m}^{app} = 5.00$
Antwort

Kₘ steigt von 5,00 auf 13,33, Vₘₐₓ bleibt konstant, und 2,667× so viel Substrat stellt die ursprüngliche Geschwindigkeit wieder her. Ein einziger Faktor, α = 1 + [I]/Kᵢ, erfüllt beide Aufgaben. Er multipliziert den scheinbaren Kₘ-Wert. Außerdem gibt er das Verhältnis vor, um das das Substrat steigen muss, um die Reaktionsgeschwindigkeit zurückzugewinnen. Das gilt ausgehend von jeder beliebigen Startkonzentration, nicht nur von dieser. Der Inhibitor kostet dich lediglich Substrat, tastet die Obergrenze aber niemals an.

$K_{m}^{app} = α K_{m} = 13.33, V_{m a x} unmoved; [S] \to α [S] restores the rate$

Quellen (2)

The 1913 paper, in translation, with the original constant: K. A. Johnson and R. S. Goody, "The Original Michaelis Constant: Translation of the 1913 Michaelis–Menten Paper." Biochemistry 50(39), 8264–8269, 2011.
Steady-state kinetics, and why V_max is fitted rather than measured: A. Cornish-Bowden, Fundamentals of Enzyme Kinetics, 4th ed., ch. 2–3. Wiley-Blackwell, 2012. ISBN 978-3-527-33074-4.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.