Wiederkehrperiode & Lebensdauer-Risiko

Erfahre, wie sich jährliche Wahrscheinlichkeiten über Jahrzehnte aufsummieren und wie Bauvorschriften Wiederkehrperioden rückwärts berechnen.

Rechenbeispiel — Wiederkehrperiode & Lebensdauer-Risiko

Erwartete Anzahl n/T	0,30
Erforderliche Wiederkehrperiode	285

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Ein 100-jährliches Hochwasser ist ein 26%-Risiko über eine 30-jährige Hypothek 🖖

Ein '100-jährliches Hochwasser' bedeutet nicht, dass ein Ereignis alle 100 Jahre nach einem festen Zeitplan eintritt. Es beschreibt eine jährliche Überschreitungswahrscheinlichkeit von 1/100 oder 1% in einem beliebigen Jahr. Über eine 30-jährige Hypothek beträgt die kumulative Wahrscheinlichkeit, mindestens ein solches Hochwasser zu erleben, 1 − (1 − 0,01)³⁰ = 26,03% — also mehr als 1 zu 4. Über volle 100 Jahre liegt das Risiko bei 63,40%, während die Chance, dass es nie eintritt, 36,60% beträgt. Die Wiederkehrperiode ist lediglich der Kehrwert der jährlichen Wahrscheinlichkeit.

Die 63%-Konstante: Das Warten einer vollen Wiederkehrperiode bringt nie Gewissheit 🖖

Wenn du den Expositionszeitraum n gleich der Wiederkehrperiode T setzt, konvergiert das kumulative Risiko 1 − (1 − 1/T)ᵀ schnell gegen 1 − 1/e ≈ 63,21%. Für T = 10 liegt das Risiko bei 65,13%; für T = 50 bei 63,58%; für T = 100 bei 63,40%; und für T = 500 bei 63,25%. Das Warten einer vollen Wiederkehrperiode bietet nur eine Chance von etwa 63%, das Ereignis zu erleben, niemals 100%. Die Annahme der mathematischen Unabhängigkeit — dass jedes Jahr eine unabhängige Ziehung aus einer unveränderten Verteilung ist — ist hier grundlegend. In der Realität können Klimatrends und Flussgebietsveränderungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Laufe der Zeit verschieben.

Bauvorschriften sind diese Gleichung rückwärts gelöst 🖖

Stellt man die Beziehung nach T um, erhält man T = 1 / (1 − (1 − R)^(1/n)); dabei bezeichnet R das akzeptierte Risiko und n die Bemessungslebensdauer. Bau- und Erdbebennormen beruhen seit Langem auf dieser Umformung. Bei einem akzeptierten Risiko von 10% über eine Bemessungslebensdauer von 50 Jahren muss für ein Ereignis mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren ausgelegt werden, das sogenannte Bemessungserdbeben. Sinkt das akzeptierte Risiko über 50 Jahre auf 2%, steigt die erforderliche Wiederkehrperiode auf 2.475 Jahre; dies entspricht dem maximal berücksichtigten Erdbeben. Diese bekannten Wiederkehrperioden sind keine geologischen Zyklen. Sie ergeben sich, wenn man die menschliche Risikotoleranz in eine algebraische Beziehung einsetzt.

Aufgaben vollständig gelöst

Zwei 100-jährige Hochwasser, die dieselbe Stadt während einer 30-jährigen Hypothek treffen 6 Schritte
Zwei „100-jährige Hochwasser“ treffen dieselbe Stadt während der Laufzeit einer 30-jährigen Hypothek. Wie unwahrscheinlich ist das, und wie viele Städte braucht es, bis das für irgendjemanden eher passiert als ausbleibt?
1. Eine Wiederkehrzeit von T = 100 Jahren entspricht einer jährlichen Überschreitungswahrscheinlichkeit von p = 1/T = 0,01. Die Karte zur jährlichen Wahrscheinlichkeit zeigt 1,00 %.
  
  $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$
2. Betrachte die 30 Jahre als 30 unabhängige Ziehungen. Die Wahrscheinlichkeit für einen komplett schadensfreien Verlauf ist 0,99³⁰ = 0,7397. Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Hochwasser 26,03 %. Beide Zahlen stehen hier auf der Seite in den Karten „Wahrscheinlichkeit für keines“ und „Lebenszeitrisiko“.
  
  $P (0) = (1 - p)^{30} = 0.9 9^{30} = 0.7397 ⟹ P (\geq 1) = 0.2603$
3. Tritt genau ein Hochwasser auf, musst du das eine der 30 Jahre bestimmen, in das es fällt: 30 × 0,01 × 0,99²⁹ = 0,2242.
  
  $P (1) = (1 30) p (1 - p)^{29} = 30 \times 0.01 \times 0.9 9^{29} = 0.2242$
4. Alles, was danach noch übrig bleibt, sind zwei oder mehr: 1 − 0,7397 − 0,2242 = 0,03615. Die Karte für ≥2 Ereignisse zeigt 3,61 %, also etwa eine von 28 Hypotheken.
  
  $P (\geq 2) = 1 - 0.7397 - 0.2242 = 0.03615$
5. Das gilt für eine Stadt. Nimm nun N Städte, jede an ihrem eigenen Fluss mit ihrer eigenen Schwelle von 1 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass keine einzige davon doppelt getroffen wird, beträgt 0,96385 hoch N. Setzt du diesen Wert gleich ein Halb, ergibt sich N = ln 0,5 / ln 0,96385 = 18,8.
  
  $(1 - 0.03615)^{N} = 0.5 ⟹ N = \frac{ln 0.5}{ln 0.96385} = 18.8$
6. Neunzehn Städte. Bei hundert Städten beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von ihnen zwei 100-jährige Hochwasser innerhalb derselben 30 Jahre erlebt, 1 − 0,96385¹⁰⁰ = 97,5 %, und die erwartete Anzahl solcher Städte ist 100 × 0,03615 = 3,61.
  
  $1 - 0.9638 5^{100} = 0.9748$
Antwort

Zwei oder mehr sind an deinem Wohnort ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 3,61%, über hundert Einzugsgebiete hinweg dagegen eines mit 97,5%. Jede Karte auf dieser Seite betrachtet einen Ort und einen Schwellenwert. Entscheidend für den Anstieg von 3,61% auf 97,5% war die Zahl der Flüsse, die du in die Betrachtung einbezogen hast. Deshalb schaffen es Meldungen über „zwei 100-jährliche Hochwasser irgendwo innerhalb eines Menschenlebens“ in den meisten Jahren in die Nachrichten, ohne dass dies belegt, dass sich etwas verändert hat. Um eine Veränderung zu prüfen, brauchst du die Messreihe eines einzelnen Pegels, nicht die Zahl der Schlagzeilen. Die Rechnung oben setzt außerdem voraus, dass die Orte unabhängig voneinander sind. Für Einzugsgebiete gilt das nicht, denn ein einziges Unwettersystem kann benachbarte Orte zugleich überfluten. Durch die positive Korrelation liegt der tatsächliche Wert unter 97,5%. Wie weit darunter, lässt sich mit dieser Seite nicht bestimmen: Ihr Modell beschreibt nur einen Standort.

$N_{\geq 2} = 100 \times 0.03615 = 3.61$
Das 475-jährige Erdbeben und das Gebäude, das seine Bemessungslebensdauer überlebt 6 Schritte
Eine Norm verlangt höchstens 10 % Überschreitungswahrscheinlichkeit in 50 Jahren. Bestimme die Wiederkehrzeit, die das erfordert, und entscheide dann, ob das Versprechen noch gilt, wenn dasselbe Gebäude nach 100 Jahren immer noch steht.
1. Das ist die erste Aufgabe, rückwärts gerechnet. Dort war die Gefährdung gegeben und das Risiko kam heraus; hier legt ein Gremium das Risiko fest, und gesucht ist die Gefährdung. Fünfzig saubere Jahre, mit der Wahrscheinlichkeit 0,90.
  
  $(1 - p)^{50} = 1 - 0.10 = 0.90$
2. Zieh die fünfzigste Wurzel und subtrahiere von eins. Die jährliche Überschreitungswahrscheinlichkeit ist 0,0021, und die Karte zur jährlichen Wahrscheinlichkeit zeigt 0,21 %.
  
  $p = 1 - 0.9 0^{1/50} = 1 - e^{(l n 0.90) /50} = 0.0021050$
3. Die Wiederkehrzeit ist ihr Kehrwert: 475 Jahre, und genau das gibt die Karte für die erforderliche Wiederkehrzeit aus. Keine Geologie hat diese Zahl gewählt. Ein Gremium hat 10 % und 50 Jahre gewählt, und eine Zeile Algebra lieferte 475.
  
  $T = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.0021050} = 475.06$
4. Die Abkürzung, zu der die meisten greifen, ist 50 geteilt durch 0,10, also 500 Jahre, und die Richtung ihres Fehlers ist wichtig. Ein 500-Jahres-Ereignis liefert über 50 Jahre 9,53 % statt 10 %, die Abkürzung verlangt also ein etwas größeres Bemessungsereignis als die Norm. Und sie wird umso besser, je kleiner das Risiko ist: bei 2 % in 50 Jahren lautet die exakte Antwort 2.475 gegenüber einer Schätzung von 2.500.
  
  $\frac{n}{R} = \frac{50}{0.10} = 500 ⟹ 1 - (1 - \frac{1}{500})^{50} = 9.53%$
5. Lass das Gebäude nun 100 Jahre bei derselben Gefährdung stehen. Überleben multipliziert sich, ein sauberes Jahrhundert ist also 0,90 zum Quadrat, das sind 0,81. Die Überschreitungswahrscheinlichkeit beträgt 19,00 %, nicht die 20 %, die eine Verdopplung nahelegen würde, und nichts in der Nähe der 10 %, die die Norm versprochen hat.
  
  $(1 - p)^{100} = [(1 - p)^{50}]^{2} = 0.9 0^{2} = 0.81 ⟹ 19.00%$
6. Um über 100 Jahre bei 10 % zu bleiben, muss die jährliche Wahrscheinlichkeit auf 0,105 % sinken — eine Wiederkehrzeit von 949,6 Jahren. Verdoppelt sich die Nutzungsdauer, verdoppelt sich die erforderliche Wiederkehrzeit näherungsweise mit, denn bei so kleinen Wahrscheinlichkeiten erledigt der Exponent die ganze Arbeit.
  
  $p^{'} = 1 - 0.9 0^{1/100} = 0.0010531 ⟹ T^{'} = 949.6$
Antwort

475 Jahre für eine Lebensdauer von 50 Jahren, und 19,0 % Überschreitungswahrscheinlichkeit, wenn dasselbe Gebäude nach 100 Jahren noch steht. Die 10 % gehören zu den fünfzig Jahren, die jemand ins Lastenheft geschrieben hat, nicht zum Bauwerk, und sie wachsen ungefähr im Gleichschritt mit den Jahren, die das Gebäude erhalten bleibt.

Krankenhäuser, Talsperren und Schulgebäude überdauern regelmäßig die Bemessungslebensdauer, mit der sie ausgelegt wurden, und am Bauwerk ändert sich dabei nichts. Was sich ändert, steht im Exponenten. Das Werkzeug zeigt es: Gib 475 in den Vorwärtsmodus ein, mit einer Exposition von 100 Jahren, und die Karte Lebenszeitrisiko zeigt 19,00 %. Ehrlich angegeben wird ein Bemessungsereignis daher zusammen mit seiner Exposition. 475 Jahre ist die Kurzform für 10 % in 50 Jahren, und losgelöst von diesen fünfzig Jahren ist es eine große Zahl, die wie eine Garantie klingt.

$T = \frac{1}{1 - ( 1 - R ) ^{1/ n}}, T (0.10, 100) = 949.6 \approx 2 T (0.10, 50)$

Quellen (2)

What a "100-year flood" means, and the misreading the tool exists to correct Holmes, R. R. and Dinicola, K. USGS Fact Sheet FS-229-96, "The 100-Year Flood". U.S. Geological Survey.
Where designing to an annual exceedance probability comes from Cornell, C. A. (1968). Engineering seismic risk analysis. Bulletin of the Seismological Society of America, 58(5), 1583–1606. doi:10.1785/bssa0580051583

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

30-Jahre-Hypothek (T=100) - Ein 1-in-100-Jahres-Risiko birgt ein Risiko von 26,03% über eine 30-jährige Hypothek.
100-Jahre-Fenster (T=100) - Über eine 100-jährige Lebensdauer beträgt das Risiko eines 100-Jahres-Ereignisses 63,40%, mit einer Chance von 36,60%, dass es nie eintritt.
Erdbebennorm DBE (10%/50J) - Ein Auslegungssoll von 10% Risiko über 50 Jahre ergibt eine erforderliche Wiederkehrperiode von 475 Jahren (Design Basis Earthquake).
Max. Entwurf MCE (2%/50J) - Ein Auslegungssoll von 2% Risiko über 50 Jahre erfordert eine Wiederkehrperiode von 2.475 Jahren (Maximum Considered Earthquake).