Aufgaben vollständig gelöst
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Grönland auf 74,5° Nord und die eine Zahl, die jede Projektion irgendwo unterbringen muss 6 Schritte
Grönland umfasst 2,166 Millionen km² und liegt nahe 74,5° N. Bestimmen Sie, wie groß Mercator es darstellt. Vergleichen Sie dann alle drei Projektionen auf dieser Breite und ermitteln Sie, was sie gemeinsam haben.
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Die Mercatorprojektion ist winkeltreu, und daraus ergibt sich alles Weitere. Entlang eines Breitenkreises ist die tatsächliche Strecke, die einem Längengrad entspricht, um den Faktor cos φ verkürzt. Damit die lokale Form erhalten bleibt, muss die Karte daher in Ost-West-Richtung um 1/cos φ = sec φ gestreckt werden.
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Bei 74,5° gilt cos φ = 0,26724 und damit sec φ = 3,742. Jede Ost-West-Strecke wird dort 3,742-mal zu lang dargestellt.
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Die Winkel bleiben nur erhalten, wenn die Nord-Süd-Richtung um denselben Faktor gestreckt wird. Für die Fläche geht sec φ deshalb zweimal ein: sec² φ = 14,002. Die Anzeige rundet diesen Wert auf 14,00.
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Setze die Werte ein. 2,166 × 14,002 = 30,33 Millionen km². Ein Gebiet auf der mittleren geografischen Breite Grönlands erscheint in der Mercatorprojektion also vierzehnmal so groß wie in Wirklichkeit. Das Formverhältnis bleibt 1, sodass an keinem einzelnen Punkt etwas falsch aussieht. Trotzdem wird das Land über seine eigenen 24 Breitengrade hinweg gekrümmt, denn der Maßstab ist an seinen beiden Enden verschieden.
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Nun zu den anderen beiden auf derselben Breite. Die flächentreue Projektion behält die Fläche bei 2,166 bei, indem sie die Nord-Süd-Richtung auf 0,2672 staucht, während die Ost-West-Richtung weiterhin um 3,742 gestreckt wird; ihr Formverhältnis beträgt somit 3,742 ÷ 0,2672 = 14,00. Plate-Carrée lässt die Nord-Süd-Richtung unverändert: Fläche 3,742, Form 3,742.
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Multiplizieren wir jeweils beide Werte. Mercator 14,00 × 1; flächentreu 1 × 14,00; Plate-Carrée 3,742 × 3,742. Alle drei ergeben 14,00, und 14,00 ist sec² φ — die Zahl, mit der wir begonnen haben.
Antwort
Grönland erscheint mit einer Fläche von 30,33 Millionen km², und jede Projektion weist auf dieser geografischen Breite dieselbe Gesamtverzerrung von 14,00 auf. Frei wählen lässt sich nur, wo diese Verzerrung auftritt. Bei allen drei hier betrachteten Zylinderprojektionen ist das Produkt aus Flächen- und Formverzerrung gleich sec² φ. Die ehrliche Frage zu einer Karte lautet daher nicht, ob sie verzerrt ist, sondern welche Verzerrung ihr Urheber für vertretbar hielt. Die Mercatorprojektion legt die gesamte Verzerrung auf die Fläche und bewahrt die Form. Genau das brauchen Navigatoren: Ein Kurs mit konstanter Peilung erscheint als Gerade, während eine falsche Ländergröße noch kein Schiff zum Sinken gebracht hat. Eine flächentreue Projektion legt die Verzerrung vollständig auf die Form. Das ist sinnvoll, wenn du mit der Karte Gebiete vergleichen willst. Die Plattkarte verteilt sie gleichmäßig und ist als einzige der drei in keiner Hinsicht die beste. Ihr Vorzug liegt darin, dass geografische Länge und Breite einfach x und y entsprechen, was für einen Computer wichtiger ist als für einen Leser. Stell die geografische Breite auf 60°. Dann geht die Rechnung genau auf: sec 60° = 2, der Gesamtwert beträgt also 4, und jede Projektion verteilt diese 4 anders.
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Ein halbes Mercator-Blatt für ein Zwölftel der Welt 6 Schritte
Bei 78,2° gibt das Feld Mercators Ost-West-Streckung mit 4,89 und seinen Flächenfaktor mit 23,91 an. Beide sind lokal. Rechne aus, wo dieser Breitengrad auf dem Blatt gezeichnet wird, und entscheide dann, wie das Papier verteilt wird.
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Beide gedruckten Zahlen beschreiben ein Fleckchen. Sie sagen, um wie viel ein kleines Stück Boden bei 78,2° vergrößert wird, und nichts darüber, wo auf dem Blatt dieses Stück gezeichnet steht.
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Die Position ist die Summe aller Streckung darunter. Ein Schritt dφ nach Norden deckt am Boden eine feste Strecke ab und wird sec φ mal länger gezeichnet, also wächst die y-Koordinate des Blattes genau mit der Rate, die das Feld ausgibt.
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Dieses Integral hat eine geschlossene Form, und sie ist genau das, was Mercators eigene Konstruktion verbirgt. Bei 78,2° ergibt sie 2,270.
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Das Blatt muss abgeschnitten werden, denn y läuft am Pol ins Unendliche. Schneidet man bei 85° ab, wie diese Karte es tut, beträgt die halbe Höhe 3,131, und Spitzbergens Breite liegt damit auf 72,5 % des Weges nach oben.
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Welcher Breitengrad liegt auf halber Höhe? Kehre dieselbe Formel bei der halben Höhe um, und es sind 66,4°, keine fünftel Grad vom Polarkreis entfernt.
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Nun der Boden darunter. Die Fläche zwischen zwei Breitenkreisen geht mit der Differenz ihrer Sinus, also enthält die obere Hälfte dieses Blattes, alles nördlich von 66,4°, 8,0 % des Gezeichneten. Das Band vom Äquator bis 30°, das 17,5 % der Höhe einnimmt, enthält 50,2 %.
Antwort
y = 2,270, also 72,5 % des Weges bis zum Schnitt bei 85°. Die 4,89 auf der Karte ist eine Streckungsrate, und die Position ist ihr Integral; das Integral entscheidet, wie das Papier verteilt wird. Die halbe Höhe eines bei 85° geschnittenen Blattes geht an die 8 % der Welt oberhalb von 66,4°, während die Hälfte der Welt innerhalb von 30° 17,5 % davon bekommt. Grönlands Anschwellen und die Aufteilung der Seite sind dieselbe Sekante, quadriert für ein Fleckchen und integriert für das Blatt.
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Quellen (3)
- Mercator is conformal, keeps rhumb lines straight, and grossly distorts area on world maps: PROJ contributors, “Mercator.” PROJ 9 documentation.
- The spherical Mercator areal scale k² = sec²φ used by the model: J. P. Snyder, Map Projections—A Working Manual. USGS Professional Paper 1395, 1987.
- The cylindrical equal-area projection and its standard-parallel parameter: PROJ contributors, “Lambert Cylindrical Equal Area.” PROJ 9 documentation.