Lektion
Die Theorie — Bitcoin-Mining-Wahrscheinlichkeit
Proof of Work ist eine Lotterie, für die man nicht lernen kann. Um einen Block anzufügen, musst du einen Header vorlegen, dessen SHA-256-Hash unter einem Zielwert liegt, und da der Hash eines geänderten Headers unvorhersagbar ist, bleibt nur das Raten. Alles Weitere ist eine Folge davon: erwartete Versuche mal Dauer eines Versuchs.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
D- Schwierigkeit — wie klein der Zielbereich ist und damit, wie viele Versuche ein Block kostet. Auf dieser Seite ein Regler; im echten Netz nicht.
H- Hashrate, Versuche pro Sekunde. Sie bestimmt, wie schnell du die Suche durchläufst, und sonst nichts.
E[T]D · 2³² / H, die erwartete Wartezeit. Ein Mittelwert, keine Vorhersage — der erste Einblick unten handelt vom Unterschied.p- die Chance auf einen Block in der nächsten Sekunde. Nicht
1/E[T]: siehe Schritt 4.
Woher die Formel kommt
- Zähle die Versuche, die ein Block kostet, nicht die Sekunden. Das ist
D · 2³², und darin kommt nicht vor, wer rät — ein Telefon und ein Rechenzentrum brauchen gleich viele Versuche. - Teile durch deine Rateleistung. Bei den Voreinstellungen ergibt
160 × 10⁵ · 2³² / (800 × 10¹²)etwa 86 Sekunden, was die Anzeige zu 1.4m rundet. - Bewege nun den Hashrate-Regler und sieh zu, wie sich Expected Time exakt umgekehrt proportional verschiebt. H verdoppeln heißt Wartezeit halbieren. Auf dieser Seite ist das die ganze Geschichte — und genau der Teil, der für Bitcoin nicht stimmt.
- Lies die Chance pro Sekunde genau. Sie zeigt 1.157%, und
1/86sind 1,164 % — nah dran, aber das ist nicht die Rechnung, die hier läuft. Gerechnet wird1 − e^(−1/E[T]), denn eine Sekunde enthält viele unabhängige Versuche, deren Chancen sich nicht addieren, sondern verketten.
So liest du, was du siehst
Die Regler sagen, Hashrate kaufe Blöcke. Zieh Hashrate von 800 auf 1600, und die erwartete Wartezeit halbiert sich, exakt. Das ist eine wahre Aussage über diese Seite und eine falsche über Bitcoin, und der Abstand dazwischen ist das Wichtigste auf dem Bildschirm. Die Tabelle weiter unten rechnet dieselbe Formel mit echter Schwierigkeit: ein Laptop braucht 1,7 Milliarden Jahre, das ganze Netz zehn Minuten — sieh dir aber lieber die letzte Spalte an, wo 1,7 Milliarden Jahre und zehn Minuten 678 TWh und 3,3 GWh kosten. Die Wartezeiten unterscheiden sich um den Faktor 10¹⁴, der Strom nicht, denn die Hashrate kürzt sich heraus: Energie pro Block ist D · 2³² mal den Joule, die ein einzelner Hash kostet, und sonst nichts.
- Setzt voraus
- Dass jeder Versuch unabhängig und gleich gewinnträchtig ist — genau das soll Proof of Work sicherstellen; dass die Schwierigkeit während des Wartens stillhält, was hier gilt und im Netz nicht; und dass ein Miner einen gelösten Block auch behält. Das letzte ist nicht umsonst zu haben: ein Block, der zu spät im Netz ankommt, kann verwaisen, also liegt das Einkommen eines echten Miners etwas unter dem, was diese Formel verspricht. Die Simulation skaliert Schwierigkeit und Hashrate zudem um rund das Millionenfache herunter, wie ihr eigener Hinweis sagt, damit Blöcke noch beim Zusehen eintreffen.
- Versagt, wenn
- Die Schwierigkeit ist hier ein Regler und in Wirklichkeit ein Regelkreis. Alle 2016 Blöcke misst das Netz, wie lange sie tatsächlich gedauert haben, und verschiebt D so, dass der Durchschnitt wieder zehn Minuten beträgt. Der Zusammenhang, den diese Seite vorführt, läuft bei Bitcoin selbst also andersherum: mehr Hashrate erzeugt keine schnelleren Blöcke, sondern binnen zweier Wochen eine höhere Schwierigkeit, und die zehn Minuten sind wieder da. Da die Belohnung je Block im Protokoll steht, kann mehr Hashrate keine zusätzlichen Bitcoin schaffen — sie kann dieselbe Ausgabe nur auf mehr Maschinen verteilen und dabei mehr Strom verbrennen. Deshalb lässt sich die Energiezahl aus keiner Mathematik auf dieser Seite herleiten. Das Protokoll legt die zehn Minuten fest und die Belohnung. Über die 3,3 GWh legt es überhaupt nichts fest: die bestimmen sich daraus, was ein Block wert ist und wie effizient die Hardware dieses Jahres ist.
Wie groß ist groß
Was ein einziger echter Block kosten würde
Die Regler oben sind ein skaliertes Modell — „Schwierigkeit 160“ sagt dir also nichts darüber, ob du ein Telefon oder ein Planet bist. Diese Tabelle rechnet dieselbe Formel mit echtem Bitcoin: Schwierigkeit 1,262 × 10¹⁴ und eine Netz-Hashrate um 900 EH/s, wie im August 2026. Die letzte Spalte multipliziert die Wartezeit jeder Maschine mit der Leistung, die sie beim Warten zieht.
| Womit geschürft wird | Hashrate | Erwartete Wartezeit auf einen Block | Strom für diesen einen Block |
|---|---|---|---|
| Eine Laptop-CPU | 10 MH/s | 1,7 Milliarden Jahre | 678 TWh |
| Eine Gaming-GPU | 500 MH/s | 34 Millionen Jahre | 96,4 TWh |
| Ein Mining-ASIC | 200 TH/s | 86 Jahre | 2,6 GWh |
| Ein Mining-Pool | 50 EH/s | 3,0 Stunden | 3,3 GWh |
| Das gesamte Bitcoin-Netz | 900 EH/s | 10,0 Minuten | 3,3 GWh |
Drei Dinge fallen auf. Die Regler erreichen davon nichts — die härteste Einstellung des Werkzeugs ist rund 1,26 Millionen Mal leichter als echtes Bitcoin — das Modell ist also bewusst geschrumpft, damit Blockzeiten beobachtbar bleiben. Die unterste Zeile ist keine Messung: die Schwierigkeit wird alle 2016 Blöcke genau so nachgeregelt, dass zehn Minuten herauskommen, und daran erkennst du, dass diese Tabelle rechnerisch stimmt und nicht bloß plausibel aussieht. Und die letzte Spalte folgt der mittleren nicht. Die Wartezeiten umspannen den Faktor 10¹⁴, der Strom nicht, denn die Hashrate kürzt sich heraus — ein einzelner ASIC und das gesamte Netz liegen pro Block um weniger als 25 % auseinander. Übrig bleibt allein die Effizienz, und deshalb ist der Wert des Laptops das 257.000-Fache des ASIC: genau das Verhältnis ihrer Joule pro Terahash.
Aufgaben vollständig gelöst
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Block-Wartezeit für 800 TH/s bei Schwierigkeit 160 5 Schritte
Hardware mit 800 TH/s arbeitet sich an Schwierigkeit 160 ab, und der Schwierigkeitsregler zählt in Einheiten von 10⁵. Berechnen Sie, wie lange das Netzwerk auf einen Block wartet, danach die Chance, dass einer in einer einzelnen Sekunde entsteht — und schließlich, ob die „erwartete Zeit“ das ist, was ein Miner tatsächlich erlebt.
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Jede Einheitsstufe der Schwierigkeit erfordert im Schnitt 2³² Hashes, sodass Schwierigkeit 160 genau 1,6×10⁷ Einheiten und 6,872×10¹⁶ Hashes pro Block entspricht. Keine Hardware taucht in dieser Zahl auf: Sie ist allein eine Eigenschaft des Zielwerts.
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Teilen Sie dies durch das, was die Hardware pro Sekunde liefert. Das ergibt 85,9 Sekunden, was das Bedienfeld auf 1,4 m rundet.
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Nun zur Chance pro Sekunde, bei der die offensichtliche Antwort falsch ist. Eine Sekunde liefert 8×10¹⁴ Versuche, von denen jeder mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/(6,872×10¹⁶) gültig ist; die erwartete Anzahl an Lösungen in dieser Sekunde beträgt somit 0,011642. Das ist eine Anzahl, keine Wahrscheinlichkeit — nichts hindert zwei dieser Hashes daran, beide gültig zu sein.
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Fragen Sie stattdessen nach der Chance, dass jeder einzelne der 8×10¹⁴ Versuche fehlschlägt. Erhebt man (1 − p) in diese Potenz, vereinfacht sich dies wegen des sehr kleinen p zu e−1/85,9, und das Bedienfeld gibt die Gegenwahrscheinlichkeit an: 1,157%. Die Differenz von 0,007 Punkten zu Schritt 3 entspricht jenen Sekunden, die zwei Blöcke liefern — dort doppelt gezählt und hier einmal.
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Dieselbe Exponentialfunktion beantwortet eine andere Frage. Die Chance, nach t Sekunden immer noch zu warten, beträgt e−t/85,9; setzt man dies gleich der Hälfte, ergibt sich eine Median-Wartezeit von 59,5 Sekunden — ganze 26 Sekunden unter dem Mittelwert.
Antwort
Das Bedienfeld zeigt eine erwartete Zeit von 1,4 m und eine Wahrscheinlichkeit von 1,157% pro Sekunde an, und eine einzige Exponentialfunktion hat beides erzeugt. Der Mittelwert ist nicht die typische Wartezeit: 63,2% der Blöcke kommen vor der „erwarteten“ Zeit an und 4,98% benötigen mehr als das Dreifache dieser Zeit, nämlich über 257 Sekunden. Was das Mining gefühlt ungerecht macht, ist die bedingte Betrachtung. Ein Rig, das seit 5 Minuten ohne Block arbeitet, steht in der nächsten Sekunde vor genau denselben 1,157% wie eines, das erst vor einem Moment eingeschaltet wurde, denn e−(s+t)/85,9 geteilt durch e−s/85,9 ist e−t/85,9 — ohne dass eine Spur von s darin zurückbleibt. Kein Miner ist jemals überfällig. Der Serienzähler auf dem Bedienfeld steigt, und die Wahrscheinlichkeit, gegen die er zählt, merkt davon nichts.
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Schwierigkeit 850 gegen 300 TH/s, gleichmäßig aufgeteilt auf 10 Miner 5 Schritte
Schwierigkeit 850 gegenüber 300 TH/s, wobei 10 Miner diese Hashrate zu gleichen Teilen aufteilen. Bestimmen Sie die Blockzeit des Netzwerks und anschließend das, was einer dieser Miner an einem Tag sieht — was nicht dieselbe Frage ist.
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Gleiche Gleichung, schwierigere Zahlen: 8,5×10⁷ Schwierigkeitseinheiten zu je 2³² Hashes ergeben 3,651×10¹⁷ Hashes, und 3×10¹⁴ pro Sekunde verarbeiten diese in 1217 Sekunden. Das Bedienfeld rundet dies auf 20,3 m.
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Die Chance pro Sekunde schrumpft damit auf 0,082%. Beachten Sie, was in beiden Zeilen fehlt: die Anzahl der Miner. Ob 10 Rigs oder 80, die Blockrate der Chain wird durch die Gesamthashrate und die Schwierigkeit bestimmt, sodass keine der beiden Anzeigen davon abhängt, wie viele es davon gibt.
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Für einen einzelnen Miner entscheidet sie jedoch alles. Teilt man jedem der 10 Miner jeweils 30 TH/s zu und setzt dies in dieselbe Formel ein, erhält man 12.169 Sekunden oder 3,38 Stunden zwischen den Blöcken, die Ihnen gehören.
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Ein Tag hat 86.400 Sekunden. Das sind 7,10 Blöcke für Sie und 71,0 für Sie alle 10 zusammen.
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Blöcke entstehen unabhängig voneinander mit einer festen Rate, daher ist die Tagesanzahl Poisson-verteilt und ihre Standardabweichung ist die Quadratwurzel ihres Mittelwerts. Ihre beträgt √7,10 = 2,66 Blöcke Streuung bei erwarteten 7,10.
Antwort
2,66 Blöcke Streuung bei 7,10 entsprechen ±37,5%; derselbe Tag über alle 10 Miner hinweg ergibt 71,0 Blöcke und nur ±11,9%. Gleiche Chain, gleiche Hashrate, gleiche Gleichung — der gesamte Unterschied liegt darin, dass σ/μ = 1/√μ gilt. Die Erfassung eines Zehntels des Durchflusses vervielfacht also Ihr relatives Glück um √10 = 3,16. Das ist die Arithmetik hinter Mining-Pools: 10 Miner, die vereinbaren, jeden gemeinsam gefundenen Block zu teilen, tauschen eine Schwankung von 37,5% beim täglichen Einkommen gegen eine von 11,9% ein, ohne dass ein einziger zusätzlicher Hash berechnet wird. Keine der beiden obigen Anzeigen enthält die Miner-Anzahl, und das ist genau richtig — die erwartete Zeit ist eine Eigenschaft der Chain, während das Risiko eine Eigenschaft Ihres Anteils daran ist.
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Quellen (5)
- The block-arrival statistics behind the mean-versus-median claim: R. Bowden, H. P. Keeler, A. E. Krzesinski and P. G. Taylor, "Modeling and analysis of block arrival times in the Bitcoin blockchain." Stochastic Models 36(4), 602–637, 2020.
- Measured block propagation on the live network: C. Decker and R. Wattenhofer, "Information propagation in the Bitcoin network." IEEE P2P 2013 Proceedings, 1–10, 2013.
- The ten-minute target and the retargeting that holds it — sections 4 and 11: S. Nakamoto, "Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System", 2008. Self-published; no DOI was ever assigned.
- Why a pool exists at all, which is the jump between the last two rows of the ladder: M. Rosenfeld, "Analysis of Bitcoin Pooled Mining Reward Systems", 2011. arXiv:1112.4980.
- Where the energy column’s 22 J/TH fleet efficiency is anchored: Cambridge Centre for Alternative Finance, Cambridge Bitcoin Electricity Consumption Index (CBECI) — the index put the network at roughly 170–180 TWh/yr in early 2026, and its 2023 methodology revision is itself worth reading on how such estimates go wrong.