Dune-Sandwurm-Abfangrechner

Wie lange dauert es, bis der Wurm eintrifft? Können die Reiter aufsteigen, bevor er vorbeizieht?

Startwerte — Dune-Sandwurm-Abfangrechner

Wurmgeschwindigkeit (m/s)	22
Zielentfernung (m)	1800
Fremen-Geschwindigkeit (m/s)	18
Anmarschstrecke (m)	900
Wurmlänge (m)	120
Vorbereitungszeit (s)	0

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Lektion

Die Theorie — Dune-Sandwurm-Abfangrechner

Dies ist ein Abfangproblem, und sein eigentlicher Kern besteht darin, dass das Ziel kein Punkt ist. Ein Sandwurm hat eine Länge und trifft daher nicht in einem einzigen Augenblick ein — er besetzt den Aufstiegspunkt für ein Zeitfenster, und die Frage ist nicht, ob man ihm zuvorkommt, sondern ob man innerhalb dieses Zeitfensters eintrifft.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

v_worm: die Geschwindigkeit des Wurms, 22 m/s, und die Distanz, die er zurücklegen muss, 1800 m.
L: die Länge des Wurms, 120 m. Sie wandelt eine Ankunftszeit in ein Intervall um.
v_team: die Geschwindigkeit des Teams, 18 m/s, über seine eigene Anmarschstrecke von 900 m.
delay: die Vorbereitungsverzögerung, bevor sie sich auf den Weg machen können, die direkt zu ihrer Ankunftszeit addiert wird.

Woher die Formel kommt

Jede Ankunft ergibt sich einfach aus Strecke durch Geschwindigkeit. Der Kopf des Wurms erreicht den Punkt bei 1800 / 22 = 81.82 s; das Team trifft bei 900 / 18 = 50 s ein, zuzüglich einer etwaigen Verzögerung.
Das Ende des Wurms liegt L hinter seinem Kopf, sodass es den Punkt L / v_worm später passiert: 120 / 22 = 5.45 s nach dem Kopf, bei 87.27 s.
Das Zeitfenster liegt also im Intervall von 81.82 s bis 87.27 s. Eine Ankunft bei 50 s ist früh — komfortabel innerhalb des Fensters, und der gesamte Wurm muss erst noch passieren.

So liest du, was du siehst

Drei Zeiten, jeweils mit der gezeigten Division: wann der Kopf eintrifft, wann das Ende schließlich passiert ist und wann das Team ankommt. Der Vergleich der dritten Zeit mit den ersten beiden ist bereits die ganze Antwort — und der Wortlaut der Beurteilung unterscheidet genau, welche der beiden Zeiten unterboten wurde.

Setzt voraus: Konstante Geschwindigkeiten auf gerader Strecke, ein gleichzeitiger Start beider Parteien sowie ein Wurm, der weder beschleunigt noch seinen Kurs ändert. Es handelt sich um ein Timing-Modell, nicht um eine Verfolgungsjagd: Nichts hier reagiert auf irgendetwas.
Versagt, wenn: Früh dran zu sein ist nicht automatisch sicher, und das Modell kann einem das nicht vermitteln. Es vergleicht lediglich Ankunftszeiten — es hat kein Konzept davon, gesehen zu werden, dreißig Sekunden lang schutzlos zu warten oder dass ein Wurm seinen Kurs ändert, weil dort jemand steht. Ein längerer oder langsamerer Wurm vergrößert das Zeitfenster, was wie eine gute Nachricht klingt, aber dieselbe Änderung bedeutet auch mehr Zeit in unmittelbarer Nähe eines sehr großen Tieres.

warum die eigene Länge des Wurms dich rettet 🖖

Ein Sandwurm ist bis zu hunderte Meter bewegter Körper, kein einzelner Punkt — den Kopf um ein paar Sekunden zu verpassen bedeutet also nicht, die Fahrt zu verpassen: Jedes noch sichtbare Segment lässt sich noch entern. Deshalb ist die eigentliche Frist nicht die Ankunft des Wurms, sondern der Moment, in dem er komplett vorbeigezogen ist: Ankunftszeit plus Körperlänge geteilt durch Geschwindigkeit. Es ist dieselbe Nachsicht, die es erlaubt, einen fahrenden Zug durch eine beliebige offene Tür zu erwischen, statt zum exakten vorderen Wagen zu sprinten — je länger oder langsamer das Ziel, desto breiter das effektive Zeitfenster zum Zugreifen.

ein Wettlauf zweier Uhren 🖖

Dieses Tool belohnt keine reine Geschwindigkeit, sondern vergleicht zwei Countdowns: wie lange, bis sich das Fenster des Wurms schließt, und wie lange, bis dein Team bereit und in Position ist. Du gewinnst, sobald der zweite zuerst abläuft. Der einzige Wert, den du völlig selbst in der Hand hast, ist die Vorbereitungszeit — eine feste Anzahl Sekunden, die unabhängig von Entfernungen und Geschwindigkeiten hinzukommt. Sie zu kürzen ist oft der billigste Weg, aus einem Fehlschlag einen Treffer zu machen.

ein schnellerer Wurm schadet mehr als gedacht 🖖

Deine gesamte Frist beträgt (D + L) / v — Zielentfernung plus Körperlänge, geteilt durch die Wurmgeschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit im Nenner steht, sinkt deine verfügbare Zeit wie eine Hyperbel, nicht wie eine Gerade: bei langsamem Kriechen fallen ein paar zusätzliche m/s kaum ins Gewicht, doch nahe einem schnellen Wurm kann derselbe Sprung dein Fenster halbieren. Ein nur leicht schnellerer Wurm verwandelt einen bequemen Fang in einen klaren Fehlschlag.

Aufgaben vollständig gelöst

Wurm, der mit 22 m/s aufschließt, und Team, das den Sand mit 18 m/s überquert 5 Schritte
Ein Wurm in 1800 m Entfernung, der sich mit 22 m/s nähert, 120 m von Kopf bis Schwanz. Ihr Team wartet 900 m vom Aufsprungpunkt entfernt und überquert den Sand mit 18 m/s, sobald der Klopfer einsetzt. Schafft ihr es, und wie schnell dürfte dieser Wurm höchstens sein, bevor ihr es nicht mehr schafft?
1. Weg dividiert durch Geschwindigkeit bringt den Kopf des Wurms nach 81,82 s an den Aufsprungpunkt. Das ist die Zeit, gegen die die meisten dann anrennen, und es ist die falsche.
  
  $t_{head} = \frac{D}{v _{w}} = \frac{1800}{22} = 81.82 s$
2. Ihr versucht nicht, schneller als der Kopf zu sein. Ein Haken kann an jeder Stelle des Körpers ansetzen, daher ist der letzte nutzbare Moment der, in dem der Schwanz vorbeizieht. Dieser Zeitbonus entspricht der eigenen Länge des Wurms geteilt durch seine eigene Geschwindigkeit. Man beachte, was dieses Verhältnis impliziert: Größe bringt nur in dem Maße Zeitgewinn, wie sich der Wurm langsam bewegt.
  
  $\frac{L}{v _{w}} = \frac{120}{22} = 5.45 s ⟹ t_{tail} = 81.82 + 5.45 = 87.27 s$
3. Eure Seite besteht aus einer Verzögerung plus dem Lauf. Die Rüstzeit ist Totzeit vor dem Sprint und bremst diesen nicht ab; sie addiert sich also zur Gesamtzahl, anstatt sie zu skalieren. Hier beträgt sie 0, und 900 m bei 18 m/s ergeben glatt 50 s.
  
  $t_{team} = δ + \frac{d}{u} = 0 + \frac{900}{18} = 50 s$
4. Subtrahiert man dies, beträgt der Vorsprung 37,27 s. Überträgt man das zurück auf den Sand: Ihr steht am Aufsprungpunkt und wartet, während der Kopf des Wurms noch 1800 − 22 × 50 = 700 m entfernt ist.
  
  $margin = t_{tail} - t_{team} = 87.27 - 50 = 37.27 s$
5. Die vier Eingangsgrößen waren nie einzeln von Bedeutung. Alles auf der Seite des Wurms fällt zu einer einzigen Zeit zusammen, und alles auf eurer Seite zu einer anderen; das Urteil hängt nur davon ab, welche von beiden größer ist. Deshalb können ein 200 m langer Wurm und ein 120 m langer Wurm genau dasselbe Problem darstellen.
  
  $margin = \frac{D + L}{v _{w}} - (δ + \frac{d}{u})$
Antwort

37,27 s Vorsprung: Ihr seid früh dran, nicht vom Glück begünstigt. Kehrt man die Ungleichung um, nennt sie eine Obergrenze. Bei dieser Geometrie gelingt das Abfangen für jeden Wurm bis zu 1920 ÷ 50 = 38,4 m/s und schlägt darüber fehl; das Werkzeug gibt diese Zahl nie aus, da es immer nur den eingegebenen Wurm bewertet. Was mit eurem Zeitbonus auf dem Weg zu dieser Obergrenze geschieht, ist die eigentliche Erkenntnis: Das Körperfenster beträgt L ÷ v, sodass derselbe 120 m lange Wurm, der euch bei 22 m/s 5,45 s verschafft, euch bei 38,4 m/s noch 3,13 s gewährt. Die Länge des Wurms ist genau dann am wenigsten wert, wenn der Wurm am schnellsten ist. Eine Vorbereitungsverzögerung wiegt noch schwerer, da sie vor der Division subtrahiert wird statt danach: Bringt man 45 s davon mit, fällt die Obergrenze von 38,4 m/s auf 1920 ÷ 95 = 20,2 m/s – und liegt damit unter den 22 m/s des Wurms, mit dem ihr begonnen habt. Derselbe Wurm, derselbe Sand, und der Lauf ist nun nicht mehr zu gewinnen. Nichts hat sich verändert außer eurer Uhr.

$v_{w}^{m a x} = \frac{D + L}{δ + d / u} = \frac{1920}{50} = 38.4 m/s$
Der Fast-Wurm-Zustand von 45 m/s und ein Team 900 m entfernt 6 Schritte
Der Zustand Schneller Wurm: 45 m/s, 200 m lang, 1500 m vom Aufsprungpunkt entfernt, euer Team weiterhin 900 m entfernt bei 18 m/s ohne Vorbereitungsverzögerung. Größerer Wurm, kürzerer Anlauf als in der vorherigen Aufgabe. Zeigt, dass keines von beidem hilft, und beziffert die beiden Auswege.
1. 45 m/s legen 1500 m in 33,33 s zurück, und der 200 m lange Körper bringt danach 4,44 s. Das ist weniger Zeitbonus, als der 120 m lange Körper bei 22 m/s einbrachte, obwohl er 67 % länger ist. Der Zeitbonus ist L ÷ v, und der Nenner hat gewonnen.
  
  $t_{head} = \frac{1500}{45} = 33.33 s, \frac{L}{v _{w}} = \frac{200}{45} = 4.44 s$
2. Das Aufsprungfenster schließt sich also nach 37,78 s.
  
  $t_{tail} = 33.333 + 4.444 = 37.78 s$
3. Eure Seite hat sich überhaupt nicht verändert: 900 m bei 18 m/s ergeben dieselben 50 s wie in der ersten Aufgabe. Jeder Unterschied zwischen den beiden Läufen steht im Hauptbuch auf der Seite des Wurms.
  
  $t_{team} = 0 + \frac{900}{18} = 50 s$
4. Ihr kommt 12,22 s zu spät, und das ist keineswegs knapp. In diesen 12,22 s legt der Wurm 550 m zurück; der Schwanz, nach dem ihr greifen wolltet, ist also bereits einen halben Kilometer weit weg, wenn eure Stiefel den Aufsprungpunkt erreichen.
  
  $margin = 37.78 - 50 = - 12.22 s$
5. Ein Ausweg ist die Geschwindigkeit. Die Strecke steht fest und das Fenster steht fest, die Anforderung lautet also 900 m innerhalb von 37,78 s. Das liegt 32 % über 18 m/s, und die Geschwindigkeit ist die einzige Größe auf eurer Seite, die man sich nicht einfach nach Belieben zulegen kann.
  
  $u_{m i n} = \frac{d}{( D + L ) / v _{w}} = \frac{900}{37.78} = 23.82 m/s$
6. Der andere Ausweg ist die Geometrie. Bleibt es bei 18 m/s, ist euer erreichbarer Radius Geschwindigkeit mal Fenster: 680 m, was 220 m näher ist als der Ort, an dem ihr zu warten beschlossen habt. Diese Entscheidung fällt, bevor der Klopfer auslöst, nicht danach.
  
  $d_{m a x} = u \cdot \frac{D + L}{v _{w}} = 18 \times 37.78 = 680 m$
Antwort

Der Lauf verfehlt das Ziel um 12,22 s, und beide Rettungswege kosten dieselben 32 %. Das ist kein Zufall. Die Obergrenze für diese Geometrie liegt bei (1500 + 200) ÷ 50 = 34 m/s; dieser Wurm liegt also 45 ÷ 34 = 1,32-mal darüber. Teilt man die Gleichung für den Vorsprung durch dieses Verhältnis, taucht es überall gleichzeitig auf: Die benötigte Geschwindigkeit beträgt 18 × 1,32 = 23,82 m/s, und die Strecke, die ihr euch leisten könnt, liegt bei 900 ÷ 1,32 = 680 m. Eine einzige Zahl – wie weit der Wurm über seiner Obergrenze liegt – beziffert jeden Lösungsansatz gleichzeitig. Sie entscheidet auch, welche Lösung realisierbar ist. Ihr entscheidet, wo ihr wartet; ihr entscheidet nicht, wie schnell ihr lauft. Der Hinterhaltsort ist also der einzige Stellhebel, den man überhaupt bewegen kann, und verschiebt man ihn um die vollen 220 m, wird der Vorsprung zu genau 0 – ein totes Rennen, und ein totes Rennen ist kein Aufsteigen.

$\frac{u _{m i n}}{u} = \frac{d}{u} \cdot \frac{v _{w}}{D + L} = \frac{v _{w}}{v _{w}^{m a x}} = \frac{45}{34} = 1.32$

Quellen (2)

The premise: Frank Herbert, Dune. First published 1965; Ace Books edition, ISBN 978-0-441-17271-9.
The mathematics underneath the fiction — interception and pursuit treated properly: Paul J. Nahin, Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-15501-2.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Sauberes Abfangen - Ohne Rüstzeit erreicht das Fremen-Team den Aufstiegspunkt nach 50 Sekunden – deutlich bevor der Wurm (Ankunft bei 81.8s) bei 87.3s überhaupt vollständig vorbeigezogen ist. Das ergibt eine komfortable Reserve von 37 Sekunden zum Anlegen der Haken.
Späte Vorbereitung - Gleiche Geschwindigkeiten und Distanzen wie bei einem sauberen Abfangmanöver, aber eine Rüstzeit von 45 Sekunden verzögert die Ankunft des Teams auf 95 Sekunden – 7.7 Sekunden, nachdem der Schwanz des Wurms den Aufstiegspunkt bereits passiert hat. Der Wurm wird nicht schneller; dem Team geht einfach die Zeit aus.
Schneller Wurm - Bei 45 m/s legt dieser Wurm 1,500m in nur 33.3 Sekunden zurück, und selbst sein extralanger 200m-Körper verschafft nur 4.4 Sekunden Gnadenfrist, bevor der Schwanz bei 37.8s vorbeizieht – bei weitem nicht genug für einen 50-sekündigen Fremen-Anflug. Manche Würmer sind einfach zu schnell, um sie zu Fuß einzuholen.