Wasteland-Signal-Mixer

Stelle drei harmonische Amplituden und einen Rauschregler ein, um ein verstecktes Geistersignal im Static der Wasteland zu finden.

Rechenbeispiel — Wasteland-Signal-Mixer

RMS	0.73
Spitzenwert	1.26
Klarheit	83%
Fehler	0.08
Rauschen	18%
Grundfrequenz	3x

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Jede zackige Welle ist ein Stapel glatter Wellen 🖖

Jede periodische Welle, so zerklüftet sie auch aussieht, lässt sich aus übereinandergelegten Sinuswellen bei ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz aufbauen — einer Grundschwingung plus ihren Oberschwingungen. Fouriers Erkenntnis funktioniert auch umgekehrt: Ein komplexes Signal, ob Stimme, Radiosendung oder Wasteland-Rauschen, lässt sich wieder in genau diese Sinuskomponenten zerlegen. Der Klarheitswert oben ist im Grunde das Gegenstück zum Rekonstruktionsfehler zwischen deiner Mischung und der verborgenen Geisterwelle — dieselbe Art von Mathematik, mit der die Filter eines echten Radioempfängers Rauschen aus einem Signal entfernen oder ein JPEG ein Bild auf eine Handvoll dominanter Frequenzen komprimiert.

Gleiche Tonhöhe, andere Form 🖖

Der Regler für die Grundfrequenz bestimmt die Tonhöhe — wie oft sich die gesamte Welle wiederholt —, während die drei Amplitudenregler sie nur umformen. Weil jede Harmonische ein exaktes ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist, bereichert ihr Zusammenspiel den Klangcharakter, ohne die Wiederholrate zu ändern. Deshalb klingen Flöte und Violine beim selben Ton unverkennbar verschieden und teilen doch eine Tonhöhe: gleiche Grundfrequenz, andere Obertonmischung. Um das Geistersignal zu treffen, musst du beides finden — Tonhöhe und Mischung.

Die Tonhöhe, die dein Ohr erfindet 🖖

Das Geistersignal stützt sich auf seine Grundfrequenz bei Frequenz 3, doch dein Ohr braucht sie gar nicht. Entfernt man die Grundfrequenz und lässt nur die höheren Obertöne übrig, hört das Gehirn trotzdem die ursprüngliche tiefe Tonhöhe — ein Phänomen namens fehlende Grundfrequenz (Residualton). Genau darum kann ein winziger Handylautsprecher, der physisch nicht genug Luft für tiefe Bässe bewegen kann, sie dennoch hörbar machen: Das Gehirn rekonstruiert die Grundfrequenz allein aus den Abständen der Obertöne.

Aufgaben vollständig gelöst

Der 0,73 RMS aus y = 0,90·sin(3x) + 0,45·sin(6x) + 0,25·sin(9x) 5 Schritte
Die aktuelle Gleichung lautet y = 0,90·sin(3x) + 0,45·sin(6x) + 0,25·sin(9x), und das Statistikfeld gibt RMS 0,73 an. Leiten Sie diese 0,73 allein aus den Amplituden ab — und achten Sie darauf, was gar nicht erst in die Berechnung eingeht.
1. RMS bedeutet genau das, wofür es steht: die Welle quadrieren, das Ergebnis über eine gesamte Periode mitteln und die Wurzel ziehen. Beim Quadrieren der Summe bleibt ein Quadrat pro Harmonische und ein Mischterm pro Paar übrig; die gesamte Frage ist also, was die Mischterme bewirken.
  
  $y_{rms} = \overline{y^{2}}, \overline{f} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f d x$
2. Sie bewirken nichts. sin(3x)·sin(6x) lässt sich umschreiben als die Hälfte von cos(3x) minus die Hälfte von cos(9x), und eine volle Kosinusperiode ergibt im Mittel 0; dieselbe Auslöschung erfolgt bei jedem Paar. In der eigenen Arithmetik des Werkzeugs ist die Auslöschung exakt und nicht näherungsweise, weil es 180 Abtastwerte über eine Periode summiert und 3, 6 und 9 allesamt 180 teilen.
  
  $\overline{sin m x sin n x} = 0 (m \neq = n), \overline{sin^{2} n x} = \frac{1}{2}$
3. Die 3 Quadrate bleiben erhalten, und jedes von ihnen ergibt im Mittel 0,5. Das mittlere Quadrat ist also die Hälfte von 0,81 + 0,2025 + 0,0625. Leistungen addieren sich; Amplituden tun das nicht.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}) = \frac{1}{2} (0.81 + 0.2025 + 0.0625)$
4. Die Hälfte von 1,075 ist 0,5375, deren Wurzel 0,7331 ergibt — die 0,73 im Feld.
  
  $\overline{y^{2}} = 0.5375 ⟹ y_{rms} = 0.5375 = 0.7331 \to 0.73$
5. Schauen Sie zurück, was eingegeben wurde: 3 Amplituden und sonst nichts. Keine Phase, keine Frequenz. Der Hebel für die Grundfrequenz reicht von 1x bis 8x, und keine dieser Stellungen bewegt den RMS-Wert von 0,73 weg. Der Spitzenwert ist eine ganz andere Sache: |y| kann 0,90 + 0,45 + 0,25 = 1,60 niemals überschreiten, aber wie nahe er diesem Wert kommt, hängt allein davon ab, ob die 3 Wellenberge zusammenfallen; der Scheitelfaktor reicht hier also bis zu 2,18, wo ein einzelner Sinus bei 1,414 feststeht.
  
  $∣ y ∣ \leq A_{1} + A_{2} + A_{3} = 1.60, \frac{1.60}{0.7331} = 2.18 (2 = 1.414)$
Antwort

RMS 0,73, allein aus 3 Reglerstellungen und sonst nichts. Teilt man die 1,075 nach Termen auf, entfallen auf die Grundschwingung 75,3 %, auf die zweite Harmonische 18,8 % und auf die dritte 5,8 % — somit liegen 24,7 % dessen, was dieser Sender abstrahlt, oberhalb des Tons, nach dem er benannt ist. Dieses Verhältnis hat einen Standardnamen, Klirrfaktor, √(A₂² + A₃²) / A₁ = 57,2 %, und kein Feld auf dem Bedienfeld zeigt ihn an. Ebenso wenig trennt das Bedienfeld die 2 Grenzen, an die diese Regler stoßen. Die mittlere Leistung folgt dem RMS-Wert, der, wie Schritt 5 gerade gezeigt hat, blind für die Phase ist. Der Headroom richtet sich nach dem Spitzenwert, der keineswegs blind dafür ist: Dieselben 3 Amplituden begrenzen die Welle bei 1,60, und wo zwischen 0,73 und 1,60 sie tatsächlich liegt, entscheidet allein die Phase. Die RMS-Anzeige beantwortet die Leistungsfrage und schweigt zur anderen.

$THD = \frac{A _{2}^{2} + A _{3}^{2}}{A _{1}} = \frac{0.265}{0.90} = 57.2%$
Kleinste Abweichung, die die 3 Amplitudenhebel erreichen können 5 Schritte
Das ist Statische Hölle: Hebel bei 0,50, 0,60 und 0,40 mit der Grundfrequenz bei 5x, sodass die gesendete Welle y = 0,50·sin(5x) + 0,60·sin(10x) + 0,40·sin(15x) lautet. Das gejagte Phantom basiert auf 3x mit Harmonischen bei 6x und 9x. Finden Sie die kleinste Abweichung, die die 3 Amplitudenhebel erreichen können, während die Frequenz unverändert bleibt.
1. Nennen Sie die Abweichung d = y − g und quadrieren Sie sie. Das Mitteln über eine Periode teilt d² in Ihr mittleres Quadrat, das des Phantoms und einen Mischterm auf. Nur der Mischterm kann negativ sein, also kann auch nur der Mischterm etwas auslöschen.
  
  $d = y - g, \overline{d^{2}} = \overline{y^{2}} - 2 \overline{y g} + \overline{g^{2}}$
2. Hier kann er das nicht. Jedes Produkt darin paart eine Harmonische aus {5, 10, 15} mit einer aus {3, 6, 9}; die Mengen teilen kein Element; und ein Produkt von Sinusfunktionen bei verschiedenen ganzzahligen Frequenzen ergibt über die Periode im Mittel 0. Der Mischterm ist nicht klein. Er ist 0.
  
  ${5, 10, 15} \cap {3, 6, 9} = \emptyset ⟹ \overline{y g} = 0$
3. Was bleibt, ist eine Summe aus 2 nicht-negativen Teilen, und die Hebel erreichen nur den ersten. Ihrer beträgt die Hälfte von 0,25 + 0,36 + 0,16, was 0,385 ist, und seine Wurzel 0,6205 entspricht den 0,62, die das Bedienfeld als RMS anzeigt.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (0.25 + 0.36 + 0.16) = 0.385 ⟹ y_{rms} = 0.6205 \to 0.62$
4. Die Abweichung erfüllt also d_rms ≥ 0,62, was auch immer das Phantom sein mag — man muss keine einzige seiner Amplituden kennen, um das zu sagen. Das Fehlerfeld wird nicht 0,62 anzeigen, da es die absolute Differenz anstelle der quadratischen mittelt; die Schranke bezieht sich auf einen anderen Mittelwert derselben Welle.
  
  $\overline{d^{2}} = 0.385 + \overline{g^{2}} \geq 0.385 ⟹ d_{rms} \geq 0.62$
5. Bei 5x macht also jeder hochgestellte Hebel die Abweichung schlimmer, und das Minimum liegt vor, wenn 0,50, 0,60 und 0,40 alle auf 0 zurückgefahren werden. Bei 3x stimmen die 2 Mengen von Harmonischen stattdessen überein, die Differenzwelle hat die Amplituden A_i − G_i, und dieselben 3 Hebel können die Abweichung auf exakt 0 bringen.
  
  $f = 3 : \overline{d^{2}} = \frac{1}{2} i \sum (A_{i} - G_{i})^{2} A_{i} \to G_{i} 0$
Antwort

Das Beste, was diese Hebel bei 5x tun können, ist sich selbst auszusschalten: Nichts zu senden ist besser, als dies zu senden. Das macht den Frequenzregler zu einem Tor, nicht zu einer Anpassung. 3 kontinuierliche Schieberegler sind genau gar nichts wert, bis 1 ganze Zahl stimmt, und keine noch so große Sorgfalt bringt auch nur einen Bruchteil des Einrastens — was eine strengere Regel ist, als sie ein Abstimmspiel normalerweise nahelegt. Es gibt dem RMS-Feld zudem eine zweite Aufgabe. Normalerweise gibt es an, wie laut Sie sind; ist die Grundfrequenz falsch, bildet es eine untere Schranke dafür, wie falsch Sie liegen, weil Ihre gesamte Leistung im Fehler landet, anstatt irgendetwas vom Phantom auszulöschen. Orthogonalität ist es, was das Tor absolut macht: 2 Wellen, die auf disjunkten Mengen ganzzahliger Harmonischer basieren, können einander nicht einmal ansatzweise auslöschen, wie auch immer man sie skaliert.

$A_{1}, A_{2}, A_{3} min \overline{d^{2}} = \overline{g^{2}}_{A_{1} = A_{2} = A_{3} = 0}$

Quellen (2)

The decomposition the clarity score is built on: J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, Paris, 1822.
The same transform as used in image compression: N. Ahmed, T. Natarajan and K. R. Rao, "Discrete Cosine Transform." IEEE Transactions on Computers C-23(1), 90–93, 1974.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Reines Signal - Reine Grundschwingung: y = sin(3x) – eine einzige Harmonische, kein Rauschen
Doof Warrior - Mix aus drei Harmonischen bei freq=3 mit mäßigem Rauschen – Standard-Ödland-Sendung
Rauschhölle - Starkes Rauschen bei freq=5 – die Klarheit bricht unter 10% ein
Geisterabgleich - Mix nah am Ziel – feinjustieren, um das Geistersignal einzufangen