Conversor de tamaño angular

La fórmula de ángulo pequeño θ ≈ D/d es una aproximación de primer orden de la relación exacta θ = 2 arctan(D/2d). La fórmula exacta proviene de la geometría: el observador ve una cuerda de longitud D a una distancia d, y el ángulo completo es el doble del arcotangente de la semicuerda dividida por la distancia. La aproximación funciona porque arctan(x) ≈ x para valores pequeños de x. Para la Luna (D ≈ 3475 km, d ≈ 384.000 km), la razón D/d ≈ 0,0090, y el error es de apenas 0,002 %. A 10° el error ya es del 0,25 %; a 60° alcanza el 15 %. En astronomía, casi todo objetivo cumple D ≪ d, así que la aproximación es válida hasta partes por millón — pero para objetos cercanos (un campo de fútbol visto desde 50 m, un planeta durante un sobrevuelo cercano) la fórmula del arcotangente sí importa.

El tamaño angular mide qué tan grande se ve algo, no su tamaño real — un ángulo, no una longitud. Un rascacielos lejano y una moneda a la distancia del brazo pueden verse iguales porque tamaño y distancia se compensan en la razón D/d. El Sol es unas 400 veces más ancho que la Luna, pero también unas 400 veces más lejano, así que ambos abarcan cerca de 0.5° en el cielo — la coincidencia que hace posibles los eclipses solares totales.

La idea del ángulo pequeño supone un espacio plano y estático, pero la cosmología la rompe. Como el universo se expandió mientras la luz antigua viajaba hacia nosotros, la distancia de diámetro angular no es monótona: alcanza su máximo cerca de un corrimiento al rojo z ≈ 1.6. Una galaxia de tamaño fijo se encoge en el cielo solo hasta ahí — más allá, las galaxias más distantes (y más jóvenes) se ven en realidad más grandes, no más pequeñas.