Calculadora de efecto Doppler astronómico

Introduce los valores espectrales en reposo y observados para estimar z y comparar la velocidad clásica con la relativista.

Ejemplo resuelto — Calculadora de efecto Doppler astronómico

651.66 nm	664.62 nm
Velocidad relativista	1694.501 km/s
Diferencia entre modelos	0.2842%
Corrimiento al rojo z	0.00566831

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Con gran corrimiento al rojo, el atajo v = zc devuelve tres veces la velocidad de la luz 🖖

La herramienta muestra la velocidad relativista y la clásica v = zc una al lado de la otra, y la diferencia entre ambas es justamente el asunto. En las dos preselecciones de hidrógeno z vale unos 0,006 y las dos coinciden en la cifra, así que el atajo es inofensivo. Carga entonces la preselección quasar: Lyman-α ha pasado de 121,567 nm a 486,268 nm, exactamente cuatro veces su longitud de onda en reposo, así que z = 3. Ahora v = zc da 3c — el triple de la velocidad de la luz — mientras que el β relativista = ((1+z)² − 1)/((1+z)² + 1) da 0,882c. El atajo exagera la velocidad un 240 % y rompe la física al hacerlo.

Qué mide realmente un corrimiento al rojo 🖖

Una línea espectral es una huella fija: el hidrógeno en reposo siempre emite a 656.28 nm. Observa dónde ves realmente esa línea: si se desplaza a una longitud de onda mayor (más roja), la fuente se aleja; si es menor (más azul), se acerca. El corrimiento al rojo z es simplemente el estiramiento relativo. Ver H-alfa a 660 nm en lugar de 656.28 nm da z ≈ 0.0057, una velocidad de recesión de unos 1700 km/s.

El corrimiento al rojo supera el 100% sin romper c 🖖

Carga el ejemplo del cuásar: Lyman-alfa pasa de 121.567 nm a 486.268 nm, así que z = 3 y la línea se cuadruplica (1 + z = 4). El ingenuo v = zc afirmaría tres veces la velocidad de la luz, algo imposible. En cambio, la fórmula relativista β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) da 15/17 ≈ 0.88, por debajo de c. Por mucho que crezca z, β nunca alcanza 1.

Problema resuelto al detalle

Velocidad de recesión cuando la línea hidrógeno-alfa de una galaxia se sitúa en 660,00 nm 6 pasos
La línea H-alfa de una galaxia se encuentra en 660,00 nm en lugar de 656,28 nm. Halla su velocidad de recesión de forma rigurosa y determina si la fórmula escolar v = cz es suficiente aquí, y en qué punto deja de serlo.
1. El desplazamiento al rojo se define como el cambio relativo de la longitud de onda y es la única cantidad medida en esta página. Todo lo que sigue son operaciones aritméticas sobre él.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{660.00 - 656.28}{656.28} = 0.00566831$
2. La fórmula del efecto Doppler relativista para una fuente que se aleja en línea recta combina el desplazamiento clásico con la dilatación del tiempo. Despéjala para β: elevar ambos lados al cuadrado convierte la reordenación en una sola línea.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1}$
3. Sustituye. El numerador es esencialmente 2z y el denominador esencialmente 2, motivo por el cual la respuesta está tan cerca de z a desplazamientos al rojo pequeños, y por el que la coincidencia debe romperse una vez que z² deja de ser despreciable.
  
  $(1 + z)^{2} = 1.01136877, β = \frac{0.01136877}{2.01136877} = 0.0056522$
4. Multiplica por c de ambas formas y compara. La diferencia de 4,8 km/s es muy inferior a la velocidad peculiar de una galaxia en un cúmulo, por lo que a este desplazamiento al rojo la elección de la fórmula no constituye el error limitante.
  
  $v_{rel} = β c = 1694.501 km/s; v_{class} = z c = 1699.317 km/s; Δ = 0.2842%$
5. Aumenta z y ambas divergen. La expresión clásica no tiene límite superior; la relativista lleva β → 1 integrado en su álgebra.
  
  $z = 0.1 \Rightarrow β = 0.09502 (classical is 5.24% high); z = 1 \Rightarrow β = 0.600 (classical gives c)$
6. Un paso más convierte la velocidad en distancia. La ley de Hubble con H₀ = 70 km/s/Mpc sitúa a esta galaxia a unos 24 Mpc de distancia: muy por fuera del Grupo Local, y una distancia que ninguna otra cosa en la medición habría podido proporcionar.
  
  $d = \frac{v}{H _{0}} = \frac{1694.5}{70} = 24.2 Mpc \approx 79 million light years$
Respuesta

1694,501 km/s frente a 1699,317 km/s con v = cz: una sobreestimación del 0,28%. Con este desplazamiento al rojo, el atajo es inofensivo. Sigue siéndolo durante un tiempo y luego falla de forma abrupta: con z = 0,1 es un 5,2% demasiado alto, y con z = 1 devuelve exactamente c, lo que no es un error grande sino una respuesta imposible. La forma relativista no puede hacer eso, porque β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) se aproxima a 1 desde abajo sin importar lo grande que llegue a ser z. Si le introduces z = 5 devuelve 0,946c; si le introduces z = 5 al atajo devuelve cinco veces la velocidad de la luz.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} \Rightarrow v = 1694.501 km/s$

Referencias (1)

The relativistic treatment this tool uses rather than the classical shortcut — the Doppler section is §7: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322, 891–921, 1905.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-06

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

H-alfa alejándose - El desplazamiento de H-alfa hacia longitudes de onda mayores implica alejamiento (corrimiento al rojo).
H-alfa acercándose - Una longitud de onda observada más corta implica acercamiento (corrimiento al azul).
Fuente de radio de 21 cm - Una frecuencia observada de 21 cm más baja corresponde a un corrimiento al rojo positivo.
Cuásar de z alto - Caso de z grande en el que la corrección relativista de la velocidad se vuelve esencial.