Explorador de estabilidad de puntos de Lagrange

pequeñas perturbaciones revelan equilibrios estables e inestables en la dinámica de un sistema en rotación

Ejemplo resuelto — Explorador de estabilidad de puntos de Lagrange

Relación de masas μ	0.01215
Criterio de estabilidad	0.3241<1
Discriminante D	0.6759
Condiciones iniciales	(0.02,0)
Desplazamiento máximo	1.784
Duplicación de la perturbación	1.08órbitas
Comportamiento	divergente

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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L4 es una cima que igualmente te atrapa 🖖

L4 y L5 no son hoyas. En el sistema rotante se sitúan en máximos del potencial efectivo: deja una canica allí y rueda cuesta abajo. Lo que retiene a un troyano es la fuerza de Coriolis, que dobla la huida hasta convertirla en una trayectoria que se cierra sobre sí misma, y la salida de la herramienta lleva esa firma: un punto triangular estable tiene dos periodos de libración, no uno. Elige Sol–Tierra y el corto es 1,00 órbita mientras el largo es 222 órbitas: una deriva de 222 años alrededor de un punto donde la partícula supuestamente está quieta. Para Tierra–Luna el par es 1,05 y 3,35 órbitas. Ambos sistemas cumplen porque la estabilidad exige 27μ(1−μ) < 1, una razón de masas por encima de 24,96, y la Tierra supera a la Luna 81 a 1.

Un empujón en el sistema de referencia giratorio 🖖

Imagina que observas desde un tiovivo que gira junto con los dos cuerpos, de modo que el punto de Lagrange queda inmóvil. Esta herramienta da a una partícula de prueba un pequeño empujón (ε) y una leve velocidad lateral, y luego traza su recorrido. En un punto estable la trayectoria se enrosca en lentos bucles que nunca se alejan mucho; en uno inestable la distancia se duplica una y otra vez hasta que la partícula escapa. Compara un empujón en L4 con otro en L1.

Cuando la inestabilidad se vuelve una autopista gratis 🖖

Los puntos colineales aquí son inestables, y precisamente ese defecto es lo que los hace tan atractivos para las naves. Como un punto de silla tiene una dirección de escape, una sonda puede alejarse por ella casi sin combustible, siguiendo tubos invisibles llamados Red de Transporte Interplanetario. La misión Genesis de la NASA navegó por estas rutas de baja energía a través de los puntos L1 y L2 del sistema Sol-Tierra, cambiando velocidad por un enorme ahorro de combustible.

Intuición errónea común

No todos los puntos de Lagrange son igual de estables. L1/L2/L3 generalmente necesitan mantenimiento orbital; L4/L5 pueden ser naturalmente estables con proporciones de masa adecuadas.

Problema resuelto al detalle

Estabilidad lineal de los puntos triangulares L4 y L5 5 pasos
La Tierra tiene 5,972 × 10²⁴ kg y la Luna 7,346 × 10²² kg. El criterio de Routh determina si los puntos triangulares L4 y L5 de un sistema de dos cuerpos son linealmente estables, y solo requiere un número referente al par. Calcúlelo para el sistema Tierra-Luna y halle después la relación de masas en la que el criterio deja de cumplirse.
1. Las dos masas intervienen únicamente a través de la fracción del total que corresponde a la menor. La Luna es un secundario pesado para los estándares planetarios —más del 1 % del par—, por lo que este no es un caso en el que μ pueda considerarse despreciable.
  
  $μ = \frac{M _{2}}{M _{1} + M _{2}} = \frac{7.346 \times 1 0 ^{22}}{6.045 \times 1 0 ^{24}} = 0.01215$
2. Al linealizar las ecuaciones del movimiento en el sistema de referencia giratorio alrededor de L4, los cuatro valores propios λ satisfacen una ecuación cuártica sin potencias impares. Se trata de una ecuación de segundo grado disfrazada: haciendo s = λ², se pasa a tener dos raíces en lugar de cuatro.
  
  $λ^{4} + λ^{2} + \frac{27}{4} μ (1 - μ) = 0 s = λ^{2} s^{2} + s + \frac{27}{4} μ (1 - μ) = 0$
3. λ = ±√s, por lo que un valor negativo de s da lugar a un par imaginario puro y e^λt ni crece ni se amortigua. Véase lo que ya garantizan los coeficientes: las raíces suman −1 y su producto es un número positivo, de modo que si son reales, ambas son negativas sin necesidad de más cálculos. Solo la raíz cuadrada puede echarlo a perder.
  
  $s_{\pm} = \frac{- 1 \pm 1 - 27 μ ( 1 - μ )}{2}, s_{+} + s_{-} = - 1, s_{+} s_{-} > 0$
4. Así pues, todo el criterio se reduce a una sola desigualdad: 27μ(1−μ) debe ser inferior a 1. El par Tierra-Luna lo sitúa en 0,3241, un 32 % del límite.
  
  $27 μ (1 - μ) = 27 \times 0.01215 \times 0.9879 = 0.3241 < 1$
5. Lo que queda bajo la raíz cuadrada es el discriminante, 0,6759, que es positivo: las dos raíces para s resultan ser reales, −0,0889 y −0,9111. Ambas negativas, tal como prometían los coeficientes.
  
  $D = 1 - 0.3241 = 0.6759 ⟹ s = - 0.0889, - 0.9111$
Respuesta

μ = 0,01215, 27μ(1−μ) = 0,3241, D = 0,6759. La pregunta que vale la pena hacerse es dónde se agota ese 32 %. Al igualar 27μ(1−μ) = 1 se obtiene una ecuación de segundo grado en μ: 27μ² − 27μ + 1 = 0, cuya raíz relevante es (27 − √621)/54 = 0,03852. Como relación de masas, el cuerpo primario debe superar en masa al secundario por 24,96 a 1. La Tierra supera a la Luna por 81,30 a 1, de modo que la Luna podría ser 3,26 veces más pesada antes de que el criterio fallara; el margen es amplio, pero es un margen, no una desigualdad que se cumpla para cualquier par. Plutón y Caronte constituyen el par que lo incumple: 8,2 a 1 da μ = 0,1085, 27μ(1−μ) = 2,612 y un discriminante de −1,612. Un discriminante negativo hace que las dos raíces para s sean complejas, y entre las cuatro raíces cuadradas de un par complejo conjugado siempre hay una con parte real positiva.

$27 μ (1 - μ) = 1 ⟹ μ_{crit} = \frac{27 - 621}{54} = 0.03852 ⟹ \frac{M _{1}}{M _{2}} > 24.96$

Referencias (3)

The Routh criterion and the two libration frequencies at L4/L5: C. D. Murray and S. F. Dermott, Solar System Dynamics, §3.9. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-57597-3.
The restricted three-body problem in full, including why L4/L5 are potential maxima: V. Szebehely, Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Academic Press, 1967.
The low-energy transfer network named in the third block: W. S. Koon, M. W. Lo, J. E. Marsden and S. D. Ross, "Heteroclinic connections between periodic orbits and resonance transitions in celestial mechanics." Chaos 10(2), 427–469, 2000.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-15

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Tierra-Luna L1 - Las perturbaciones en L1 suelen divergir del equilibrio.
Tierra-Luna L4 - Las perturbaciones en L4 pueden permanecer acotadas y circular en las cercanías.
Tierra-Sol L2 - L2 es dinámicamente útil, pero intrínsecamente inestable sin mantenimiento de posición.
Tierra-Sol L5 - L5 suele mostrar un movimiento acotado ante perturbaciones pequeñas.

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