Calculadora de fases lunares

Siete de las diez filas de la tabla incluyen una fórmula en la columna de fórmulas. La fila del mes sinódico indica un número: S = 29,5306 d, dado como hecho. Dedúzcalo en su lugar a partir de la fila del mes sidéreo situada justo debajo, más un dato que la herramienta nunca menciona.

1. Un mes es una carrera entre dos velocidades angulares, así que empiece convirtiendo una. El mes sidéreo es la vuelta completa de la Luna respecto a las estrellas fijas, lo que equivale a 360° exactos en los 27,3217 d impresos.

   $${\omega }_{\mathrm{M}}=\frac{360^{\circ }}{T_{\mathrm{sid}}}=\frac{360^{\circ }}{27.3217\mathrm{d}}=13.17634^{\circ }{\mathrm{d}}^{-1}$$

2. Sin embargo, la fase no se mide respecto a las estrellas, sino respecto al Sol, y la dirección del Sol no es fija porque la Tierra orbita a su alrededor. Por lo tanto, el Sol se desplaza una vuelta completa respecto a esas mismas estrellas por cada año sidéreo, 365,2564 d. Este es el único número que no proviene de la página; hay que aportarlo.

   $${\omega }_{\odot }=\frac{360^{\circ }}{T_{\mathrm{E}}}=\frac{360^{\circ }}{365.2564\mathrm{d}}=0.985609^{\circ }{\mathrm{d}}^{-1}$$

3. Ahora deje transcurrir un mes sidéreo y observe qué falta. La Luna está de vuelta junto a su estrella de partida, pero el Sol se ha desplazado un ángulo θ₀, y la Luna necesita un tiempo adicional t₁ para cerrar esa separación y volver a estar iluminada de la misma manera.

   $${\theta }_0={\omega }_{\odot }{T}_{\mathrm{sid}}=0.985609\times 27.3217=26.9285^{\circ },t_1=\frac{{\theta }_0}{{\omega }_{\mathrm{M}}}=\frac{26.9285}{13.17634}=2.0437\mathrm{d}$$

4. El Sol no aguarda durante el alcance. En esos 2,0437 d se desplaza de nuevo, en una fracción r de la distancia que ya había abierto, y otra vez más durante la corrección de esa diferencia: una serie geométrica, motivo por el cual el retraso real es t₁ dividido entre 1 − r en lugar de t₁. Como r es solo 0,075, toda la persecución infinita cuesta apenas un 8% más que la primera estimación.

   $$r=\frac{{\omega }_{\odot }}{{\omega }_{\mathrm{M}}}=\frac{0.985609}{13.17634}=0.074801,\Delta t=t_1\sum _{k=0}^{\infty }{r}^k=\frac{t_1}{1-r}=2.0437\times 1.080849=2.2089\mathrm{d}$$

5. Añada el tiempo de alcance al mes sidéreo, o bien omita la serie por completo, ya que la fase avanza a la diferencia de las dos velocidades y 360° divididos entre esa diferencia dan la misma respuesta. Ambas vías conducen a 29,5306 d, que es precisamente lo que afirma la fila del mes sinódico, y 29,531 d es lo que muestra su columna de valores.

   $$S=T_{\mathrm{sid}}+\Delta t=27.3217+2.2089=29.5306\mathrm{d}⟺S=\frac{360^{\circ }}{{\omega }_{\mathrm{M}}-{\omega }_{\odot }}=\frac{360}{12.190731}=29.5306\mathrm{d}$$

6. Compruebe después el cálculo de una segunda manera, sin emplear nada ajeno a la tabla: reste los dos valores impresos.

   $$S-T_{\mathrm{sid}}=29.531-27.322=2.209\mathrm{d}\approx \Delta t=2.2089\mathrm{d}$$