Calculadora de potencia solar de Stefan-Boltzmann

Introduce el radio y la temperatura de una estrella para calcular la potencia emitida con la ley de Stefan-Boltzmann.

Ejemplo resuelto — Calculadora de potencia solar de Stefan-Boltzmann

Área superficial (4πR²)	4πR²≈6.082×10¹⁸ m²
Radio relativo al cuadrado	(1)²≈1
Emisividad	1

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Betelgeuse es más fría que el Sol y 79.000× más brillante 🖖

Por metro cuadrado domina la temperatura — T⁴ frente a R² —, y sin embargo en estos ejemplos gana el radio, porque las estrellas reales no varían ambas magnitudes por igual. Compara las dos filas de factores de la herramienta: en estos cuatro ejemplos el radio abarca 3820× (de 0,2 a 764 R☉) mientras la temperatura abarca solo 3,1× (de 3200 a 9940 K). Betelgeuse es más fría que el Sol, así que su fila (T/T☉)⁴ marca 0,135 —una penalización pura— y aun así llega a 78.914 L☉ porque su fila (R/R☉)² marca 5,84 × 10⁵. Sirio, casi el doble de caliente que el Sol, apenas alcanza 25,7. Un exponente más empinado pierde cuando la otra variable dispone de cuatro órdenes de magnitud.

Por metro cuadrado, la temperatura es el factor más decisivo 🖖

Esta herramienta solo tiene dos variables: el tamaño de la estrella y la temperatura de su superficie. Sin embargo, sus efectos son muy distintos. El radio interviene como R², mientras que la temperatura lo hace como T⁴; por metro cuadrado, domina la temperatura. Si duplicas la temperatura de una estrella sin cambiar su tamaño, cada metro cuadrado irradia 2⁴ = 16 veces más potencia. Esa cuarta potencia determina el flujo. Su efecto sobre la estrella entera también depende del radio.

Stefan midió el calor del Sol en 1879 🖖

Josef Stefan no solo enunció que el flujo crece como T⁴: en 1879 invirtió la ley. Al hacer pasar la luz solar medida a través de σT⁴, estimó la superficie del Sol en unos 5430 °C (cerca de 5700 K), la primera cifra creíble cuando las estimaciones rivales iban desde 1500° hasta millones de grados. Esta calculadora ejecuta esa misma inversión: el flujo que calculas es exactamente la cantidad que Stefan midió para tomar la temperatura del Sol.

Problema resuelto al detalle

La potencia total del Sol a partir de su tamaño y temperatura superficial 5 pasos
Calcula la potencia total del Sol partiendo únicamente de su tamaño y su temperatura superficial, y utiliza después ese único dato para predecir cómo de fría debería ser la Tierra. Este es el estado Sol de la herramienta: R = 1 R_☉ = 6,957 × 10⁸ m, T = 5772 K, ε = 1.
1. La ley de Stefan-Boltzmann proporciona la potencia por metro cuadrado, por lo que primero hay que calcular la cantidad de metros cuadrados. Una estrella radia desde su fotosfera, y el área de una esfera requiere únicamente el radio.
  
  $A = 4 π R^{2} = 4 π (6.957 \times 1 0^{8})^{2} = 6.082 \times 1 0^{18} m^{2}$
2. Ahora el flujo de un metro cuadrado. La cuarta potencia es lo que hace que esta ley sea tan implacable: una estrella solo un 20% más caliente que el Sol radia 1,20⁴ = 2,07 veces más intensamente por cada zona de su superficie.
  
  $F = ε σ T^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (5772)^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (1.110 \times 1 0^{15}) = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
3. La luminosidad es el flujo multiplicado por el área y nada más, porque cada fotón que abandona la estrella cruza esa superficie exactamente una vez. El resultado es la definición de una luminosidad solar, motivo por el cual la fila de comparación de la herramienta muestra 1.
  
  $L = A F = (6.082 \times 1 0^{18}) (6.294 \times 1 0^{7}) = 3.828 \times 1 0^{26} W$
4. Dejemos la estrella. La misma potencia se distribuye ahora sobre una esfera cuyo radio es la distancia a la Tierra, por lo que solo cambia el área del denominador. Los satélites situados por encima de la atmósfera miden 1361 W/m², y esa concordancia sirve de comprobación para los tres pasos anteriores.
  
  $S = \frac{L}{4 π d ^{2}} = \frac{3.828 \times 1 0 ^{26}}{4 π ( 1.496 \times 1 0 ^{11} ) ^{2}} = 1361 W/ m^{2}$
5. La Tierra intercepta la luz solar a través de un disco de área πR_⊕² pero radia desde toda su esfera, 4πR_⊕². El radio del planeta se simplifica, el factor de 4 no, y las nubes y el hielo reflejan aproximadamente el 30% directamente hacia el exterior antes de que nada se absorba.
  
  $π R_{\oplus}^{2} (1 - a) S = 4 π R_{\oplus}^{2} σ T_{eq}^{4} ⟹ T_{eq} = 4 \frac{( 1 - 0.30 ) ( 1361 )}{4 σ} = 254.6 K$
Respuesta

La herramienta muestra 6,082 × 10¹⁸ m², 6,294 × 10⁷ W/m² y 3,828 × 10²⁶ W. Todo lo posterior es la misma ley utilizada dos veces más, y concluye en 254,6 K. La temperatura media real de la superficie terrestre es de 288 K, por lo que la predicción se equivoca por 33 K, y se equivoca en una dirección concreta: siempre demasiado fría. Esa diferencia es el efecto invernadero, y es la única magnitud de la cadena que σT⁴ no puede proporcionar, porque la ley describe lo que radia una superficie y no dice nada sobre lo que hace el aire sobre ella con la radiación en su salida. Que un cálculo tan rudimentario se quede a un 12% del valor real de un planeta es la razón por la que es lo primero que se calcula sobre un exoplaneta.

$T_{eq} = 4 \frac{( 1 - a ) S}{4 σ} = 254.6 K, T_{\oplus} = 288 K, Δ T = 33 K$

Referencias (3)

Betelgeuse’s radius and temperature, the preset behind the first block: M. Joyce et al., "Standing on the Shoulders of Giants: New Mass and Distance Estimates for Betelgeuse through Combined Evolutionary, Asteroseismic, and Hydrodynamic Simulations with MESA." The Astrophysical Journal 902(1), 63, 2020.
The solar radius, luminosity and temperature the tool normalises to: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The value of σ: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Sol - R = 1 R☉ y T = 5772 K, así que las dos filas de factores muestran exactamente 1 y la luminosidad es 1 L☉. Todas las demás estrellas se comparan con esta.
Sirio A - A 9940 K, su temperatura casi duplica la del Sol y aporta por sí sola un factor de 8,80. Al multiplicar además por el cuadrado de 1,711 R☉, alcanza 25,7 L☉.
Betelgeuse - 764 R☉ a 3500 K: el factor de temperatura reduce el resultado a 0,135, mientras que el del radio es 5,84 × 10⁵. Aun así, alcanza 78.914 L☉.
Enana roja - 0,2 R☉ a 3200 K: ambos factores quedan por debajo de 1 y, al multiplicarse, dan 0,004 L☉. Es el único valor predefinido en el que ninguno de los dos factores ayuda.