Simulador del problema de los tres cuerpos

gravedad caótica, divergencia entre simulaciones gemelas y estabilidad numérica

Ejemplo resuelto — Simulador del problema de los tres cuerpos

Energía cinética	1.2129
Energía potencial	−2.4996
Energía total	−1.2867
Magnitud	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

¿por qué se ve igual en cada recarga? 🖖

El problema de los tres cuerpos es caótico, pero no aleatorio. El caos significa que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales crecen exponencialmente, pero recargar la página no cambia nada: mismas posiciones iniciales, mismas velocidades, mismo dt, mismo algoritmo, mismo resultado cada vez. El caos determinista y la reproducibilidad computacional son dos cosas distintas. Para ver realmente el caos: ajusta la perturbación a 0,000001 y observa la trayectoria gemela discontinua. Ambas trayectorias comienzan separadas por 10⁻⁶ y terminan divergiendo hacia caminos completamente distintos. Esa separación exponencial es el caos: el exponente de Lyapunov en acción. El gráfico de divergencia debajo de las órbitas muestra el log₁₀ de esa separación a lo largo del tiempo; una línea recta ascendente indica crecimiento exponencial.

por qué tres es el número difícil 🖖

Dos cuerpos que se atraen trazan elipses simples que se repiten sin fin — ese caso lo resolvió Newton con lápiz y papel. Añade un tercer cuerpo y la fórmula limpia desaparece: no existe una ecuación general para saber dónde acaba cada uno, así que el único camino es avanzar la simulación un dt minúsculo cada vez, tal como hace esta herramienta. Pulsa el ajuste figura-8 para ver una de las raras excepciones: tres masas iguales persiguiéndose eternamente por un único camino en forma de bucle.

la solución que existe pero es inútil 🖖

Suele decirse que el problema de los tres cuerpos es 'irresoluble', pero en 1912 Karl Sundman demostró una serie de potencias convergente en t^1/3 que da las posiciones de los cuerpos para todo tiempo (salvo condiciones iniciales de colisión triple). El truco: converge tan despacio que una precisión astronómica exigiría del orden de 10^8000000 términos, algo inalcanzable para cualquier ordenador. Existe una solución formal; avanzar la simulación paso a paso, como aquí, es sencillamente la única vía útil.

Problema resuelto al detalle

Energía de la coreografía en forma de 8 para 3 masas iguales desde las condiciones iniciales 7 pasos
La coreografía en 8 envía 3 masas iguales alrededor de una única curva cerrada. Calcule su energía en t = 0 únicamente a partir de las condiciones iniciales. Este es el preajuste de la órbita en 8: G = 1, m₁ = m₂ = m₃ = 1, suavizado ε = 0. Posiciones r₁ = (−0,97000436, 0,24308753), r₂ = −r₁, r₃ = (0, 0); velocidades v₁ = v₂ = (0,466203685, 0,43236573), y el momento total es 0.
1. Esos decimales tan largos parecen arbitrarios. Elevarlos al cuadrado y sumarlos demuestra que no lo son: los cuerpos 1 y 2 se encuentran cada uno a exactamente 1 unidad del origen, que es donde está el cuerpo 3.
  
  $∣ r_{1} ∣ = 0.9700043 6^{2} + 0.2430875 3^{2} = 0.940908 + 0.059092 = 1.0000$
2. El cuerpo 2 es el simétrico del cuerpo 1 respecto al origen, por lo que en este instante los 3 cuerpos yacen sobre una misma recta con el cuerpo 3 en su punto medio. Cada distancia se deduce de ello, sin necesidad de calcular una segunda raíz cuadrada.
  
  $r_{2} = - r_{1} ⟹ r_{13} = r_{23} = 1.0000, r_{12} = 2.0000$
3. La ley de Newton no requiere ahora más que esas distancias. El cuerpo 3 está a 1 unidad de cada uno de los otros, mientras que los cuerpos 1 y 2 se hallan a una distancia el doble de grande, por lo que la atracción entre ellos es más débil por un factor de 4.
  
  $F_{ij} = \frac{G m _{i} m _{j}}{r _{ij}^{2}} ⟹ F_{12} = \frac{1}{2 ^{2}} = 0.2500, F_{13} = F_{23} = 1.0000$
4. Aprovechemos la colinealidad. El cuerpo 3 es atraído con igual fuerza en sentidos opuestos, por lo que su fuerza resultante se anula exactamente. Los cuerpos 1 y 2 son atraídos en el mismo sentido por ambos compañeros, porque el cuerpo 3 se sitúa entre ellos, de modo que sus 2 fuerzas se suman como números ordinarios, sin componentes que descomponer.
  
  $∣ F_{3} ∣ = 1.0000 - 1.0000 = 0.0000, ∣ F_{1} ∣ = 1.0000 + 0.2500 = 1.2500$
5. Un momento total nulo, sumado a que los cuerpos 1 y 2 se mueven de forma idéntica, fija la velocidad del cuerpo 3 en −2v₁. Eso hace que su energía cinética sea 4 veces la de ellos, y la suma sobre los 3 cuerpos se reduce a un solo término.
  
  $\sum m_{i} v_{i} = 0, v_{1} = v_{2} ⟹ v_{3} = - 2 v_{1}, K E = \frac{1}{2} (1 + 1 + 4) v_{1}^{2} = 3 v_{1}^{2}$
6. Elevar al cuadrado las 2 componentes de v₁ y triplicar el resultado constituye la totalidad del cálculo de la energía cinética para 3 cuerpos.
  
  $v_{1}^{2} = 0.46620368 5^{2} + 0.4323657 3^{2} = 0.404286 ⟹ K E = 1.2129$
7. La energía potencial tampoco requiere vectores: basta con los inversos de las 3 distancias, y con ε = 0 esos inversos son exactos.
  
  $P E = - G (\frac{m _{1} m _{2}}{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{1} + \frac{m _{2} m _{3}}{1}) = - 2.5000$
Respuesta

E = −1,2871, y cada fila de la tabla del panel para t = 0 —distancias, fuerzas de par, fuerzas resultantes, ambas energías y el total— proviene de esos 4 decimales y de la anulación del momento total. Observe lo que ocurre con las partes: hacia t = 25,0 la energía cinética ha subido a 1,305 y la potencial ha caído a −2,592, y el total no se ha movido. El signo es lo que conlleva una consecuencia. Un trío ligado aún puede perder un miembro, pero no gratis: si 1 cuerpo se aleja sin nada que le sobre, el par que queda atrás tiene que albergar la totalidad de los −1,2871, y 2 masas unitarias con esa energía tienen un semieje mayor de 1/(2 × 1,2871) = 0,3885 —menos de 1/5 de los 2,0000 que los separan ahora. La eyección y el endurecimiento son el mismo suceso, y el balance energético es la razón.

$E = 1.2129 - 2.5000 = - 1.2871 ⟹ a_{m a x} = \frac{G m ^{2}}{2∣ E ∣} = \frac{1}{2 ( 1.2871 )} = 0.3885$

Referencias (1)

Sundman's convergent series in t^(1/3): K. F. Sundman, "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36, 105–179, 1913.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-31

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

órbita en forma de ocho - Tres masas iguales se persiguen por una única figura en forma de ocho; todas recorren la misma trayectoria cerrada. Las órbitas que regresan al punto de partida son tan raras entre las soluciones del problema de los tres cuerpos que cada una de las conocidas tiene nombre propio.
casi colisión - Dos de los cuerpos pasan tan cerca que, durante un instante, se atraen mucho más entre sí que al tercero. En estos encuentros cercanos se fragua el caos: cuanto menor es la distancia, más se amplifica al salir cualquier diferencia diminuta en el punto de partida.
pitagórico - Masas de tres, cuatro y cinco situadas en los vértices de un triángulo rectángulo, todas liberadas desde el reposo. Caen hacia el interior, se agitan durante largo tiempo y, al final, la más ligera sale despedida mientras las otras dos forman una pareja. La primera mitad no permite adivinar el desenlace.
órbita mariposa - Tres masas iguales recorren un único lazo cerrado con forma de alas. Las dos exteriores parten con velocidades idénticas y la central las compensa exactamente. Así, la figura entera permanece en la pantalla mientras se va trazando.
colineal de Euler - Tres masas dispuestas en línea recta giran alrededor de su centro común sin dejar nunca de estar alineadas. De esta configuración proceden los puntos de Lagrange del eje Sol-Tierra; el telescopio James Webb está, por tanto, estacionado dentro de una solución de este problema.
binaria + intruso - Una pareja muy unida se encuentra con un cuerpo más ligero que cae desde la derecha. Por lo general, el intruso se marcha más rápido de lo que llegó y la pareja se estrecha, pues la energía que se lleva procede de la propia energía de enlace del sistema binario. Este mismo mecanismo mantiene expandidos los cúmulos globulares.

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StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem