Nurksuuruse teisendaja

Väikese nurga astronoomia: kui suurena paistavad objektid Maalt vaadatuna taevas.

Näidisarvutus — Nurksuuruse teisendaja

Nurksuurus (radiaanid)	0.0090395 rad
Nurksuurus (kraadid)	0.51792°
Nurksuurus (kaareminutid)	31.075′
Nurksuurus (kaaresekundid)	1864.5′′
Väikese nurga lähenduse viga	0.00068094%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks D/d ei ole kunagi täpselt õige 🖖

Väikese nurga valem θ ≈ D/d on täpse seose θ = 2 arctan(D/2d) esimest järku lähendus. Täpne valem tuleneb geomeetriast: vaatleja näeb pikkusega D kõõlu kauguselt d, ning täisnurk on kaks korda kõõlu poole pikkuse ja kauguse suhte arktangens. Lähendus toimib, sest arctan(x) ≈ x väikeste x väärtuste korral. Kuu jaoks (D ≈ 3475 km, d ≈ 384 000 km) on suhe D/d ≈ 0,0090 ja viga on vaid 0,0007%. 10° juures on viga juba 0,25%; 60° juures ulatub see 10%-ni. Astronoomias vastab peaaegu iga sihtmärk tingimusele D ≪ d, mistõttu lähendus kehtib miljondikosade täpsusega — kuid lähedal asuvate objektide puhul (jalgpalliväljak 50 m kauguselt, planeet lähedase möödalennu ajal) on arktangensi valem oluline.

Asi on selles, kui suur, mitte kui kaugel 🖖

Nurksuurus mõõdab, kui suurena miski paistab, mitte selle tegelikku suurust — see on nurk, mitte pikkus. Kauge pilvelõhkuja ja käeulatuses hoitav münt võivad paista ühesuurused, sest suurus ja kaugus tasakaalustuvad suhtes D/d. Päike on Kuust umbes 400 korda laiem, kuid ka umbes 400 korda kaugemal, nii et mõlemad hõlmavad taevas ligikaudu 0.5° — juhus, mis teeb täielikud päikesevarjutused võimalikuks.

Paisuvas universumis paistab kaugem suurem 🖖

Väikese nurga lähendus eeldab lamedat ja staatilist ruumi, kuid kosmoloogia lõhub selle. Kuna universum paisus samal ajal, kui iidne valgus meieni jõudis, ei ole nurkläbimõõdu kaugus monotoonne: see saavutab maksimumi punanihke z ≈ 1.6 juures. Kindla suurusega galaktika kahaneb taevas seega vaid selle punktini — kaugemal paistavad kaugemad (nooremad) galaktikad tegelikult suuremad, mitte väiksemad.

Kuhu sinu vastus jääb

Kosmosejaam on suurem sihtmärk kui Jupiter

Nurk on suhtarv ja suhtarvule ei lähe korda, kumb liige on suur. 109-meetrine kosmoseaparaat 420 km kõrgusel võidab 140 000-kilomeetrise planeedi nelja astronoomilise ühiku kaugusel — ja mitte napilt. Iga rida allpool on tegelik läbimõõt ja tegelik kaugus, mis on läbi lastud samast 2·arctan(D/2d) valemist, mida kasutab ka tööriist: kirjuta ükskõik milline rida sisse ja saad sama arvu tagasi.

Mida sa vaatad	Läbimõõt	Kaugus	Nurkmõõde
Golfipall käeulatuses	42,67 mm	0,70 m	3,492°
Päike	1 392 700 km	1,00 AU	32,00′
Täiskuu	3475 km	384 400 km	31,08′
Ülelendav kosmosejaam	109 m	420 km	53,53″
Jupiter vastasseisus	139 822 km	4,20 AU	45,90″
Üks astronoomiline ühik, vaadatuna ühest parsekist	149 597 871 km	3,26 ly	1,0000″
Päike, vaadatuna Proxima Centaurilt	1 392 700 km	4,25 ly	7,150 mas
Seesama golfipall, Kuu peal	42,67 mm	384 400 km	22,90 µas

Parseki rida tõendab ülejäänud seitset. Parsek on defineeritud kui kaugus, millelt üks astronoomiline ühik paistab ühe kaaresekundi suurusena, seega peab see rida andma 1,0000″. Ja annabki, kaheteistkümne kohani, sama valemiga nagu kõik muu tabelis. Seda väärtust ei fikseeri miski tabeli sees, vaid ühiku definitsioon. Kaht rida ei saa otse sisse tippida: kauguse menüüs pole parsekit, kasuta 3,26 ly, ja läbimõõdu menüüs pole millimeetreid, seega on golfipall 0,04267 m. Ja viimane rida on see, mis tasub meelde jätta. Kuu peal lebav golfipall katab 22,9 mikrokaaresekundit ja rõngas, mille Event Horizon Telescope M87 musta augu ümber lahutas, on 42 mikrokaaresekundit lai — vähem kui kaks korda rohkem.

Allikad (6)

The parsec, and the self-check in the middle of the table: IAU, "Measuring the Universe" — a parsec is the distance at which one astronomical unit subtends one arcsecond
Moon diameter and mean distance: NASA Science, Earth’s Moon: Facts
Jupiter radius 69,911 km and 5.2 au from the Sun: NASA Science, Jupiter: Facts
ISS 109 m across the solar arrays: NASA, International Space Station Facts and Figures
Distance to Proxima Centauri: Gaia Collaboration 2021, "Gaia Early Data Release 3: The Gaia Catalogue of Nearby Stars", A&A 649, A6
The 42 µas ring, for the last line of the note: Event Horizon Telescope Collaboration 2019, "First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole", ApJL 875, L1

Ülesanne täielikult lahendatud

Kuu 3474,8 km läbimõõduga ja 384 400 km kaugusel 5 sammu
Kuu läbimõõt on 3474,8 km ja see asub 384 400 km kaugusel. Arvuta, kui suur see kõigis neljas ühikus paistab — ja seejärel selgita sama valemiga varjutuste kokkulangevuse küsimus.
1. Geomeetria kujutab endast täisnurkset kolmnurka poolel Kuul: vastaskülg on pool läbimõõtu, lähiskülg kaugus. See annab poole nurgast, seega lõpus korruta tulemus kahega.
  
  $tan \frac{θ}{2} = \frac{D /2}{d} = \frac{1737.4}{384 400} = 0.0045198$
2. Arkustangens annab tulemuseks radiaanid, mis on siin õige ühik ja mida iga hilisem valem vajab. Kõik edasine on ühikute teisendamine.
  
  $θ = 2 arctan (0.0045198) = 0.0090395 rad$
3. Kraadid, kaareminutid ja kaaresekundid saadakse teguritega 180/π, 60 ja 60. Pool kraadi on arv, mida tasub meeles pidada — just seepärast katab sirutatud käe ulatuses hoitud väike sõrmeküüs Kuu.
  
  $0.0090395 \times \frac{180}{π} = 0.5179 2^{\circ} = 31.07 5^{'} = 1864. 5^{''}$
4. Väikese nurga lähendus jätab arkustangensi ära ja lihtsalt jagab. Siin eksib see 7 osa võrra miljoni kohta, mistõttu astronoomid kasutavad seda kõhklemata; see jääb ühe protsendi piiresse kuni umbes 10° ulatuses.
  
  $θ \approx \frac{D}{d} = 0.0090395 ⟹ error = 6.8 \times 1 0^{- 6} = 0.00068%$
5. Nüüd rakenda neid kahte sammu Päikese puhul — 1,39 miljonit km kaugusel 1 AU. Tulemuseks on 0,5334°.
  
  $θ_{⊙} = 2 arctan \frac{696 350}{1.496 \times 1 0 ^{8}} = 0.533 4^{\circ}, \frac{0.5334}{0.51792} = 1.030$
Vastus

Tööriist kuvab Kuu puhul 0,0090395 rad, 0,51792°, 31,075′ ja 1864,5″. Päikese puhul tuleb tulemuseks 0,5334°, mis on vaid 3% laiem — kehast, mis on 400 korda suurem ja 390 korda kaugemal. See peaaegu täielik tasakaalustumine on põhjus, miks täielikud päikesevarjutused on üldse võimalikud ning miks need on nii noatera peal: Kuu kaugus varieerub oma orbiidil umbes kümnendiku võrra, nii et mõnikord katab selle ketas Päikese täielikult ja mõnikord jääb väheks ning jätab nähtavale rõnga. Miski füüsikas ei nõua, et need kaks kattuksid. Klõpsa Päikese eelseadistust ja loe kahte arvu kõrvuti — kogu nähtus elab 3% piiril.

$θ = 2 arctan \frac{D}{2 d} : 0.5179 2^{\circ} (Moon) vs 0.533 4^{\circ} (Sun)$

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-14

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Kuu - Kuu nurkläbimõõt on Maalt vaadatuna umbes pool kraadi.
Päike - Päike näib 1 AU kauguselt umbes pool kraadi laiune.
ISSi ülelend - ISS-il on väike näiv suurus ning detailide nägemiseks on vaja suurt suurendust.