Päeva pikkus ja ajavõrrand

Kus Päike mis tahes kuupäeval tõuseb ja loojub ning miks päikesekell ja tavaline kell triivivad teineteisest veerand tunni võrra lahku.

Näidisarvutus — Päeva pikkus ja ajavõrrand

Päikesetõus	06:02
Päikeseloojang	18:13
Päeva pikkus	12h 10m
Päikese keskpäev	12:07
Päikese kääne	−0,04
Ajavõrrand	−7,44
Kalde liige	−0,04
Orbiidi liige	−7,42

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Mitte kuskil Maal ei kesta võrdpäevsus täpselt kaksteist tundi 🖖

Määra kuupäevaks 20. märts 2026. Päeva pikkuse kaart näitab ekvaatoril 12h 07m, Londonis 12h 10m ja 66° N laiuskraadil 12h 16m. Lisaaeg peitub definitsioonis. Almanahhi järgi on päikesetõus siis, kui Päikese ülemine serv puudutab horisonti. Horisondilähedane refraktsioon tõstab kogu ketast umbes 34 kaareminuti võrra, seega asub Päikese keskpunkt päeva mõlemas otsas tegelikult 0,833° horisondist allpool. Muuda seade valikule Keskpunkt horisondil ja sama kuupäev langeb ekvaatoril ajale 12h 00m ning 66° N laiusel 11h 59m. See viimane minut näitab, et kalendripäev ei lange võrdpäevsuse täpsele hetkele. Polaarjoonte vahel ei lange see ülejääk kunagi alla 6 minuti ja 39 sekundi ning 66° S laiusel ulatub see 17 minuti ja 10 sekundini. Sama 0,833° parandus on põhjus, miks Tromsøs kestab keskööpäike 2026. aastal 69 päeva, kuid polaaröö vaid 48 päeva.

Varaseim päikeseloojang on päevi enne lühimat päeva 🖖

Klõpsa valikul New York, varaseim päikeseloojang. Tööriista järgi loojub päike 8. detsembril 2026 kell 16:28, kuid 21. detsembriks, selle aasta kõige lühemaks päevaks, on loojang nihkunud juba kella 16:32 peale. Päikeseloojangu aja saame, kui liidame päikesekeskpäevale poole päeva pikkusest, ning muutuvad mõlemad liidetavad. Detsembri esimese kolme nädala jooksul päev veel lüheneb, ent päikesekeskpäev nihkub iga päev umbes pool minutit hilisemaks, sest ajavõrrand väheneb 1. detsembri väärtuselt +10,92 min 21. detsembri väärtuseni +1,84 min. Pööripäeva lähenedes päeva pikkuse muutumine lakkab, päikesekeskpäeva nihe aga jätkub. Seepärast hakkab loojang varem hilisemaks nihkuma. Lohista laiuskraadi liugurit ja jälgi, kuidas vahe kahaneb: 40° põhjalaiusel on see kolmteist päeva, 60° põhjalaiusel viis päeva. Ekvaatoril, kus päeva pikkus aasta jooksul peaaegu ei muutu, on varaseim päikeseloojang 2. novembril, seitse nädalat varem. Kui läbida kogu vahemik 66° lõunalaiusest 66° põhjalaiuseni, nihkub päikeseloojang 21. detsembril igal laiuskraadil endiselt hilisemaks. Seega ei lange varaseim loojang selles vahemikus kusagil pööripäevale.

Teljekalle nihutab Päikese kella rohkem kui ellips 🖖

Küsimusele, miks näitab päikesekell novembris tavalisest kellast rohkem, vastatakse enamasti: Maa elliptilise orbiidi tõttu. Tegelikult on ellips kahest põhjusest väiksema mõjuga. Kui kirjutada ajavõrrand kujul E = L₀ − α, jaguneb see peaaegu täpselt kaheks: ekliptikale taandamise liikmeks, mille põhjustab Maa telje 23,44° kalle ja mida tööriist nimetab kaldeliikmeks, ning keskmevõrrandiks, mis tuleneb elliptilisest orbiidist. Aastal 2026 kõigub kaldeliige vahemikus ±9,86 minutit ja orbiidiliige vahemikus ±7,65 minutit; nende suhe on 1,29. Ka nende muutumiskiirus on erinev: kaldeliige teeb aastas kaks tsüklit, orbiidiliige ühe. Lisaks ei lange nende tipud 2026. aastal kokku. Amplituudide summa on 17,51 minutit, aasta tegelik maksimum aga +16,46 minutit 3. novembril. Liida mis tahes kuupäeval nende kahe kaardi väärtused ja saad ajavõrrandi kaardi tulemuse täpsusega 1,1 sekundit. Ülejääk tuleb aberratsiooni- ja nutatsiooniparandustest, mis sisalduvad Päikese näivas pikkuses.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kolmteist päeva New Yorgi varaseima päikeseloojangu ja lühima päeva vahel 2026. aastal 6 sammu
New Yorgi lühim päev on 2026. aastal 21. detsembril ning varaseim päikeseloojang langeb 8. detsembrile. Kust need kolmteist päeva tulevad ja kas need esinevad igal laiuskraadil?
1. Päikeseloojang on päikese keskpäev pluss pool päeva. Kella järgi on päikese keskpäev 720 − 4λ − E + 60Z minutit pärast südaööd, kus λ on idapikkus, Z standardaja nihe ja E ajavõrrand. Kuna λ ja Z aasta jooksul ei muutu, saavad loojangut nihutada ainult kaks suurust: E ja päeva pikkus D.
  
  $t_{set} = (720 - 4 λ + 60 Z) - E + \frac{1}{2} D$
2. Vaatame kolme nädalat enne pööripäeva. Tööriist näitab päikese keskpäevaks 1. detsembril 11:45 ja 21. detsembril 11:54. See on vastavalt 705,1 ja 714,2 minutit pärast südaööd. Keskpäev on nihkunud 9,1 minutit hilisemaks ning ainus seda mõjutav muutuv liige on ajavõrrand, mis langeb +10,92 minutilt +1,84 minutile.
  
  $Δ (- E) = 714.2 - 705.1 = + 9.1 min$
3. Samade nädalate jooksul lüheneb päev 568,4 minutilt 555,0 minutile. Tööriist kuvab selle väärtustena 9h 28m ja 9h 15m. Päikeseloojang kannab poolt sellest muutusest, seega kaotab see 6,7 minutit.
  
  $\frac{1}{2} Δ D = \frac{1}{2} (555.0 - 568.4) = - 6.7 min$
4. Liidame need kaks. Päikeseloojang nihkub 2,4 minutit hilisemaks, 989,3 minutilt 991,7 minutile pärast südaööd. See toimub kolme nädala jooksul, mil päev lühenes 13,3 minuti võrra.
  
  $Δ t_{set} = + 9.1 - 6.7 = + 2.4 989.3 \to 991.7 min$
5. Pöördepunktiks on kuupäev, mil need kaks kiirust teineteist tühistavad. 8. detsembril on dE/dn −0,441 minutit päevas ja pool dD/dn väärtusest on −0,433. Need on peaaegu võrdsed. Tööriist kuvab päikeseloojanguks 16:28 ja päeva pikkuseks 9h 21m. See ongi aasta varaseim päikeseloojang.
  
  $\frac{d E}{d n} = \frac{1}{2} \frac{d D}{d n} ⟹ - 0.441 \approx - 0.433$
6. Kõigil laiuskraadidel korraga on pilt selline. D sõltub laiuskraadist, kuid selle muutumist aasta jooksul määrab üksnes kääne. Pööripäeval on kääne statsionaarne, mistõttu dD/dn on laiuskraadist olenemata peaaegu null. Alles jääb dt/dn = −dE/dn, mille väärtus on 21. detsembril +0,497 minutit päevas ja mis ei sõltu laiuskraadist. Kui läbida sajandikkraadise sammuga vahemik 66° lõunalaiusest 66° põhjalaiuseni, ulatub tegelik muutumiskiirus ekvaatori väärtuselt +0,497 otspunktide väärtuseni +0,411 ega muutu kusagil negatiivseks. Seega ei lange varaseim päikeseloojang ühelgi neist laiuskraadidest detsembripööripäevale. Arutluskäik hakkab logisema täpselt seal, kus väide „peaaegu null“ enam ei kehti. 65,72° põhjalaiusel kestab päev juunipööripäeval 23 h 47 min, kõigest kaks sajandikkraadi põhja pool aga tervelt 24 h. Seal pole dD/dn sugugi tühine ja loojang nihkub tõepoolest päevas 0,11 minuti võrra varasemaks. Selle vööndi laius on vaid mõni sajandikkraad.
  
  $\frac{d D}{d n}_{n_{sol}} \to 0 \Rightarrow \frac{d t _{set}}{d n}_{n_{sol}} = - \frac{d E}{d n} = + 0.497 > 0$
Vastus

Kell 16:28 8. detsembril, kolmteist päeva enne pööripäeva, sest ajavõrrand edestab päeva pikkuse muutumist. Tööriist näitab üht asukohta korraga. Viimane samm hõlmab neid kõiki.
Päikesekell kuusteist minutit ees, mõõdetuna kilomeetrites 6 sammu
3. novembril, kui kell käib Greenwichi aja järgi, saabub Londonis päikese keskpäev 11:44. Kui kaugele itta tuleks liikuda, et keskmise aja järgi käiv kell päikesekellaga kokku langeks, ja kas päikesekell oleks üldse kunagi saanud merel pikkuskraadi leida?
1. Päikese keskpäev on keskmine keskpäev, mida nihutavad kaks tegurit, ja neist loeb siin ainult üks. London asub meridiaanist vähem kui tuhandiku kraadi kaugusel, seega tuleb kogu nihe ajavõrrandist, mille paneel näitab väärtusega +16,46 minutit.
  
  $t_{noon} = 720 - 4 λ - E + 60 Z = 720 - 4 (- 0.0015) - 16.46 + 0 = 703.5 min$
2. Aeg ja pikkuskraad on üks ja sama suurus kahes ühikus ning teisendusteguri määrab Maa pöörlemine: täispööre 1440 minutiga.
  
  $\frac{1440 min}{36 0 ^{\circ}} = 4 min per degree$
3. Päikesekella edumaa vastab seega 4,11° pikkuskraadile. Sellel pikkuskraadil keskmise aja järgi käiv kell lööb keskpäeva täpselt siis, kui Londoni päikesekell.
  
  $\frac{16.46}{4} = 4.1 1^{\circ}$
4. Maapinnal, Londoni laiuskraadil, teeb see 285 km itta.
  
  $111.32 cos 51.4 8^{\circ} = 69.3 km per degree, 4.11 \times 69.3 = 285 km$
5. Ja see pöördub ümber. Ajavõrrand jõuab madalaimasse punkti −14,18 minuti juures 11. veebruaril, seega kõigub päikesekell aasta jooksul 30,64 minutit, mis on 7,66° pikkuskraadi.
  
  $E_{m a x} - E_{m i n} = 16.46 - (- 14.18) = 30.64 min = 7.6 6^{\circ}$
6. Ekvaatoril on see kõikumine 853 km ja üksainus minut kellaviga on 27,8 km. Just need kaks arvu on põhjus, miks ajavõrrand on igas almanahhis tabelisse kantud, mitte käega löödud.
  
  $7.6 6^{\circ} \times 111.32 = 853 km, 1 min \to 0.2 5^{\circ} \to 27.8 km$
Vastus

4,11° itta, umbes 285 km. Ajavõrrand on parandus, mitte takistus: see on tabelisse kantud, ja minuti täpsusega loetud ning parandatud päikesekell annab kohaliku tõelise päikeseaja veerandkraadi täpsusega, ekvaatoril 28 km. Mida ükski päikesekell ei anna, on tehte teine pool. Pikkuskraad on kohaliku aja ja kokkulepitud koha aja vahe, päikesekell aga teab ainult seda, et siin on praegu keskpäev. Seepärast oli lahenduseks kell, mis kannab võrdlusaega endaga kaasas, mitte parem päikesekell.

$Δ λ = \frac{E}{4 min / ^{\circ}}, Δ x = Δ λ \times 111.32 cos φ$

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Ekvaator, märtsi võrdp. - Märtsi võrdpäevsus kestab ekvaatoril 12h 07m, mitte täpselt kaksteist tundi, kuna päikesetõusu arvestatakse Päikese ülemisest servast läbi 34 kaareminuti suuruse refraktsiooni.
London, juuni pööripäev - London juunikuise pööripäeva ajal Briti suveajas: päikesetõus 04:43, päikeseloojang 21:21, päevavalgust on 16h 38m ning päikese keskpäev on kell 13:02.
New York, varaseim loojang - New Yorgi 2026. aasta varaseim päikeseloojang on 8. detsembril kell 16:28. See on kolmteist päeva enne lühimat päeva, mil loojang on nihkunud tagasi kella 16:32 peale.
Greenwichi suurim edu - 3. november 2026, mil ajavõrrand saavutab oma tipu. Greenwichis on päikesekell tavalisest kellast 16,46 minutit ees ning päikese keskpäev langeb ajale 11:44.
Tromsø, keskööpäike - Tromsø juunikuise pööripäeva ajal. Päike ei looju kunagi, mistõttu ei kuvata päikesetõusu ega -loojangut. Päeva pikkus on 24h 00m ja päikese keskpäev on endiselt kell 11:46.