Maasarnase planeedi tõenäosus

Populatsioonitasandi hinnang maasarnaste planeetide esinemissagedusele: tegelik arv vs. tõenäoliselt tuvastatud arv.

Näidisarvutus — Maasarnase planeedi tõenäosus

Ligikaudne Madal/Baas/Kõrge vahemik	2922 - 3137
Oodatavad tuvastatud maasarnased planeedid	242
Vaadeldud tähed (N*)	150 000
Planeetidega tähed (fp)	0.85
Planeedid elukõlblikus tsoonis (fHZ)	0.18
Maa-suuruse osakaal (fEarth)	0.22
Kivimilise koostise osakaal (fRocky)	0.6
Tuvastustõhusus (pDetect)	0.08

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Maasarnase planeedi tõenäosus

See on oodatav arv, mitte tõenäosus: alusta tähtede arvust ja korruta see osakaalude ahelaga, millest igaüks vastab küsimusele “milline osa neist samuti…?”. Tulemuseks on see, mitut objekti võiksid oodata, kui iga osakaal oleks õige — ning see on Drake'i võrrandi kujuline arvutus, millel on samad tugevused ja samad nõrkused.

Kuus üksteise all olevat riba, igaüks poole kitsam kui ülemine, uuritud tähtedest oodatavate avastusteni.

Uuritud tähed — kogu riba ja ainus arv siin, mis on loendatud, mitte oletatud.
Iga murdosa võtab osa ülalolevast ribast, mitte kunagi kõige ülemisest. Just see teebki korrutamise õigustatuks, ja just selle sammu jätab enamik vahele.
Nelja murdosa järel on riba kuueteistkümnendik algsest: 156256 oodatavat objekti.
Avastamine rakendub pärast tõde, eraldi astmena — 78128. See, mis on olemas, ja see, mida ülevaatus näeks, on eri ribad.

Mida iga sümbol tähendab

N*: uuritud tähtede arv, vaikeväärtuste korral 150,000.
fractions: ahel — f_p planeetidega, f_HZ eluvööndis, f⊕ Maa-suurused, f_rocky kivised. Igaüks neist on eelmise rea tinglik osakaal, mitte kogu hulga oma.
E: oodatav populatsioon — kui palju neid seal on: 3,029.
p_det: tuvastustõhusus: osakaal, mille tegelikult avastaksid. See teisendab tegelikkuse vaatluseks.
E_det: oodatavad tuvastused, E × p_det = 242.

Kust valem tuleb

Korrutamine on õige tehe vaid sellepärast, et iga osakaal on tinglik eelmise suhtes. f_HZ on eluvööndi planeediga tähtede osakaal planeetidega tähtede hulgas, mitte kõigi tähtede seas.
Nende aheldamine: E = N* · f_p · f_HZ · f⊕ · f_rocky. Vaikeväärtuste korral on see 150,000 × 0.85 × 0.18 × 0.22 × 0.6 = 3,029.
Tuvastamine on eraldi etapp, mida rakendatakse pärast tegelikkuse leidmist: E_det = E · p_det = 3,029 × 0.08 = 242. Selle eraldi hoidmine ongi oluline — see eristab olemasolevat sellest, mida uuring näeks.

Eeldab: Eeldab, et iga osakaal on eelnevat sammu arvestades teistest sõltumatu ja et igaüht saab esitada üheainsa arvuga. Kumbki eeldus pole põhjendatud — planeetide esinemissagedus korreleerub tähe tüübi ja metallisusega, seega pole need osakaalud tegelikult ükshaaval vabalt määratavad.
Ei kehti, kui: Suhtu täpsusesse skeptiliselt. Tulemus esitatakse ühiku täpsusega — 242 —, kuigi viis osakaalu on liuguriga määratud vaid ühe kümnendkoha täpsusega, ning viie oletuse korrutamine korrutab nende vead, mitte ei leia nende keskmist. Vähenda kahte osakaalu poole võrra ja tulemus väheneb neljandikuni. Kuvatud vahemik on kitsas, sest see uurib uuringu mahtu, mitte osakaale, kuid just osakaaludes peitub peaaegu kogu tegelik määramatus.

Transiidiülevaatused jäävad ilma umbes 214 planeedist 215-st 🖖

Transiitplaneet ilmub nähtavale ainult siis, kui tema orbiit satub meie suunast vaadates olema serviti, ja selle tõenäosus on ligikaudu tähe raadius jagatud orbiidi kaugusega. Maa puhul Päikese ümber on see 696 340 km jagatud 1 AÜ-ga — umbes 0,465% ehk üks sobiv sihtimine 215-st. Iga teine Maa-sarnane planeet seal väljas on tõeliselt olemas ja selle meetodi jaoks täiesti nähtamatu — mitte sellepärast, et teleskoop oleks nõrk, vaid sellepärast, et geomeetria ei satu kunagi kohakuti. Just seepärast ei ole esinemissagedus kunagi avastuste toores arv: see arv tuleb enne millegi tähendamist jagada sihtimise tõenäosusega ja ülevaatuse enda avastamistõhususega. Arv, mida see tööriist annab, on korrigeeritud hinnang, ja parandus on palju suurem kui mõõtmine ise.

Lehter miljarditest tähtedest 🖖

Alusta kõigist tähtedest, mida su teleskoop jälgib, ja jäta igal sammul alles vaid teatav osa: planeetidega tähed, elamiskõlblikus tsoonis asuvad planeedid ning nende seast Maa-suurused kiviplaneedid. Nende osakaalude korrutamine meenutab liiva sõelumist läbi järjest peenemate sõelte: lõpptulemus on algarvust palju väiksem. Avastatud planeete on veelgi vähem, sest madala avastamistõhususe korral ei jõua paljud tegelikud Maa-sarnased maailmad üldse andmetesse.

Miks veapiir pärineb radioaktiivsusest 🖖

Siinne ligikaudne alumise ja ülemise piiri vahemik põhineb Poissoni statistikal, millega kirjeldatakse ka Geigeri loenduri impulsse ja detektorisse jõudvaid footoneid. Haruldaste sõltumatute sündmuste loendamisel on tüüpiline hajuvus ligikaudu √E, seega arvutab tööriist 95% usaldusvahemikuks umbes E ± 1.96√E. Elamiskõlblike planeetide ja radioaktiivsete lagunemiste loendamisel kehtib sama määramatuse seaduspära.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Sea kõik osakaalud 0.5 peale ja pane kaks arvu tähele. Tõsta nüüd ainult üks neist — f_p, f_HZ, f_Earth või f_rocky — väärtusele 0.6, pane siis tagasi ja tõsta selle asemel p_detect väärtusele 0.6. Mille poolest viies erineb?

Näita vastust

Neli populatsiooniosakaalu on omavahel vahetatavad. Ükskõik millist neist tõstad, avastatute arv liigub 78,128 → 93,754 ja populatsiooni tegelik arv 156,256 → 187,508, sest korrutamist ei huvita järjekord: 20% parandus on väärt 20%, ükskõik kuhu sa selle paned. p_detect tõstmine annab samad 93,754 avastust, kuid jätab tegeliku arvu 156,256 peale — avastamistõhusus on tõsiasi sinu teleskoobi, mitte galaktika kohta. Just selleks need kaks rida ongi: neli tegurit ütlevad, kui palju planeete on olemas, ja viies ütleb, kui palju sa neist näeksid. Sellepärast käibki seda laadi vaidlus alati kõige *ebakindlama* teguri, mitte kõige väiksema ümber. Võimendus on ühesugune, erinevad üksnes veapiirid.
Vahemik näitab 155,481 – 157,031 keskmise 156,256 ümber — ehk pluss-miinus 775. Kust tuleb 775 ja mida see välja jätab?

Näita vastust

√156,256 = 395.3 ja 1.96 × 395.3 = 775: Poissoni loendusmüra 95% usaldusvahemik. See on hajuvus, mida näeksid siis, kui viis osakaalu oleksid täpselt teada ja ainult juhus otsustaks, mitu planeeti sinu valimisse satub. Välja jääb igasugune ebakindlus osakaaludes endis — ja just see domineerib täielikult. f_HZ ja f_Earth üle vaieldakse kirjanduses kahekordsete tegurite kaupa, mitte poole protsendi kaupa. Liiguta f_HZ väärtuselt 0.5 väärtusele 0.6 ja hinnang hüppab 31,252 võrra — umbes nelikümmend korda rohkem kui vahemiku laius, mille tööriist just välja trükkis. Vahemik on aus selle ühe asja suhtes, mida ta mõõdab, ja meeletult optimistlik arvu kui terviku suhtes.

Ülesanne täielikult lahendatud

Maa-sarnased planeedid, mida tuvastada 150 000 tähe uuringust 6 sammu
Uurige 150 000 tähte. Kasutades osakaale, millest see tööriist alustab, arvutage, kui palju Maa-sarnaseid planeete on olemas ja kui palju te tegelikult avastaksite — seejärel tehke kindlaks, kui palju trükitud määramatusvahemikust tuleks uskuda.
1. Mudel on üksainus korrutis: alustage tähtede arvust ja korrutage see kordamööda iga osakaaluga. Miski selles ei sõltu tingimuslikult millestki muust, mis on juba ise eeldus.
  
  $E = N_{*} f_{p} f_{H Z} f_{\oplus} f_{rocky} = 150000 \times 0.85 \times 0.18 \times 0.22 \times 0.6$
2. Arvutage see läbi vasakult paremale. Iga tegur vähendab allesjäänute arvu ning viimased kolm neist heidavad üheskoos kõrvale 96% tähtedest, millel üldse planeete oli.
  
  $127500 \times 0.18 = 22950; \times 0.22 = 5049; \times 0.6 = 3029$
3. Avastamine on kuues tegur, mida rakendatakse pigem populatsioonile kui tähtedele. Umbes üks Maa-sarnane planeet kaheteistkümnest leitakse.
  
  $E_{det} = E p_{det} = 3029 \times 0.08 = 242$
4. Nüüd vahemikust. Loenduse käsitlemine Poissoni jaotusena teeb selle standardhälbeks ruutjuure keskväärtusest ning kaks sellist kumbagile poole moodustavadki intervalli, mida tööriist kuvab.
  
  $σ = E = 3029 = 55.0, E \pm 1.96 σ = 3029 \pm 108 = [2922, 3137]$
5. Võrrelge seda avastamistõhusust pelgalt geomeetriaga. Üleliikumine nõuab orbiidi suunatust serviti täpsusega R☉/1 au, mis on üks võimalus 215-st — seega 0,08 ei ole geomeetriline tõenäosus, vaid terve vaatlusstrateegia koondatuna ühte numbrisse, ning puhtalt üleliikumispõhine vastus oleks 242 planeedi asemel 14 planeeti.
  
  $p_{geom} = \frac{R _{⊙}}{1 au} = \frac{6.96 \times 1 0 ^{8}}{1.496 \times 1 0 ^{11}} = 0.00465 ⟹ 3029 \times 0.00465 = 14$
6. Lõpuks muutke ühteainsat osakaalu vahemikus, mida ükski astronoom ei peaks ebamõistlikuks, ja vaadake, kuidas vastus muutub neli korda.
  
  $f_{H Z} \in [0.09, 0.36] \Rightarrow E \in [1515, 6059]$
Vastus

Neist on olemas 3 029, tuvastatakse 242 ning vahemik ± 108 ei ütle peaaegu midagi. See vahemik väljendab Poissoni loendusmüra: niisugust hajuvust näeksime siis, kui kõik viis osakaalu oleksid täpselt õiged ja juhuslikud oleksid üksnes täringuvisked. Tegelikult pole osakaalud täpselt teada. Piisab sellest, kui vaid ühe, elukõlblikus vööndis paiknevate planeetide osakaalu, määramatus on mõlemas suunas kahekordne: hinnang ulatub siis 1 515-st 6 059-ni. See vahemik on lehel näidatust kakskümmend korda laiem. Nii ebaõnnestuvad tavaliselt kõik korrutatavatel osakaaludel põhinevad mudelid, sealhulgas Drake’i võrrand: arvutus annab neljakohalise täpsuse, kuigi sisendid on teada vaid ühe tüvenumbri täpsusega. Kogu näiline täpsus on pelgalt korrutamise kõrvalsaadus.

$E = 3029, E_{det} = 242, E \pm 1.96 E = [2922, 3137]$

Allikad (1)

The measured occurrence rate of rocky habitable-zone planets, the one factor here that is not a guess: S. Bryson, M. Kunimoto, R. K. Kopparapu, J. L. Coughlin, W. J. Borucki & D. Koch, "The Occurrence of Rocky Habitable-zone Planets around Solar-like Stars from Kepler Data." The Astronomical Journal 161(1), 36, 2020.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-14

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Kepleri-laadne - 150 000 tähe põhjal saame umbes 3 029 Maa-sarnast maailma, millest uuring avastab 8% tõhususe juures 242. Ülejäänud 2 787 on olemas, kuid jäävad nägemata.
TESS-i-laadne - See jälgib 200 000 tähte, rohkem kui Kepler, kuid avastab Kepleri 242 asemel 63, sest selle tõhusus on 3%, mitte 8%. Suurem uuring, väiksem saak.
Tulevane vaatlusuuring - Miljon tähte ja 25% tõhusus annavad 9 702 avastust. Seda on nelikümmend korda rohkem kui Kepleril ning 95% vahemiku laius on kahekümne viie protsendi asemel neli protsenti, sest hajuvus on võrdeline ruutjuurega.