Gravitatsioonilainete kalkulaator

Sisesta kaks massi, kaugus ja algsagedus, et näha chirp-massi, ühinemise ajakava ja signaali tugevust.

Algväärtused — Gravitatsioonilainete kalkulaator

Esmane mass m₁ (M☉)	36
Teisene mass m₂ (M☉)	29
Valgusjõukaugus (Mpc)	440
Algsagedus f₀ (Hz)	20

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Neljakilomeetrine õlg liigub vähem kui prooton 🖖

LIGO tuvastab gravitatsioonilaine, jälgides, kuidas kaks 4-kilomeetrist laserõlga venivad ja tõmbuvad kokku umbes ühe osa võrra 10²¹-st — moonutus, mis on mõnisada korda väiksem kui prootoni läbimõõt. See signaal muutub usaldusväärseks alles siis, kui sama lainekuju ilmub tuhandete kilomeetrite kaugusel asuvates detektorites, mis võimaldab eristada tõelist chirpi kohalikust mürast, näiteks mööduvatest veokitest või kaugetest maavärinatest. Ka sagedus ei püsi paigal: kui kaks objekti spiraalselt üksteisele lähenevad, kiirgub orbitaalenergia gravitatsioonikiirgusena minema, mistõttu laine sagedus tõuseb kuni ühinemiseni välja — sellest tuleneb ka tööriista kõvera nimi 'chirp'.

Mida chirp-mass paljastab 🖖

Kui kaks kompaktset objekti teineteise poole spiraalselt langevad, ei kiirga nad oma kaht massi eraldi. Lainekuju määrab peaaegu täielikult üksainus kombinatsioon, chirp-mass M_c = (m₁m₂)^3/5/(m₁+m₂)^1/5. See üksainus arv juhib, kui kiiresti sagedus üles tõuseb, nii et chirpi tõusukiiruse mõõtmine annab chirp-massi otse kätte. Seepärast seab see tööriist selle esiplaanile.

Ühinemised kui standardsireenid 🖖

Gravitatsioonilaine amplituud sõltub allika tegelikust heleduskaugusest viisil, mille füüsikud saavad arvutada esimestest printsiipidest — ilma kalibreerimiseta tsefeiidide või supernoovade järgi. See teeb igast ühinemisest standardsireeni: chirp annab massid, amplituud annab kauguse. Kombineeri see punanihkega ja saad Hubble'i konstandi sõltumatu mõõtmise — just nii aitas 2017. aasta neutrontähtede ühinemine GW170817 hinnata, kui kiiresti universum paisub.

Ülesanded täielikult lahendatud

36 ja 29 Päikese massi 440 Mpc kaugusel 6 sammu
36 ja 29 Päikese massi 440 Mpc kaugusel. Leia sirtsumass, kui kaua signaal kestab ja kui palju LIGO peeglid tegelikult liiguvad — seejärel leia paneelilt see üks arv, mis ei sõltu ühestki sisendist.
1. Kaks massi sisenevad lainekujusse vaid ühes kombinatsioonis, ja see ongi see. Sirtsumass on see, mida detektor mõõdab otseselt — üksikud massid tuleb välja selgitada hiljem, sellest signaali osast, mida see valem ei näe.
  
  $M = \frac{( m _{1} m _{2} ) ^{3/5}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{1/5}} = \frac{( 36 \times 29 ) ^{3/5}}{6 5 ^{1/5}} = \frac{104 4 ^{0.6}}{6 5 ^{0.2}} = \frac{64.77}{2.305} = 28.1 M_{⊙}$
2. Aeg liitumiseni skaleerub kui sirtsumassi aste −5/3 ja algsageduse aste −8/3. Mõlemad astmenäitajad on suured, seega mõlemad sisendid loevad palju rohkem, kui peale vaadates paistab.
  
  $τ \approx 2.18 (\frac{1.21}{M})^{5/3} (\frac{100}{f _{0}})^{8/3} = 2.18 (0.04306)^{5/3} (5)^{8/3} = 0.843 s$
3. Sisim stabiilne ringorbiit on koht, kus sissekeerdumine peab lõppema, ja selle sagedus on pöördvõrdeline kogumassiga: raskem kaksiksüsteem liitub madalamal helikõrgusel. 65 Päikese massi juures on see 68 Hz — LIGO sagedusriba alumise otsa lähedal, mispärast seda sündmust kuuldi pigem mütsatusena kui sirtsatusena.
  
  $f_{ISCO} = \frac{c ^{3}}{6 6 π G M _{tot}} = \frac{2.694 \times 1 0 ^{25}}{14.70 \times 2.711 \times 1 0 ^{22}} = 67.6 Hz$
4. Relatiivne deformatsioon on dimensioonitu: see on ruumi suhteline venitus. Korruta see õla pikkusega, et saada vahemaa.
  
  $h_{peak} \approx 1.16 \times 1 0^{- 21} ⟹ Δ L = 4000 \times 1.16 \times 1 0^{- 21} = 4.6 \times 1 0^{- 18} m$
5. Pane see vahemaa millegagi kõrvuti. Prootoni laenguraadius on 8,4 × 10⁻¹⁶ m ja peeglid liikusid vähem kui sajandiku võrra sellest.
  
  $\frac{4.6 \times 1 0 ^{- 18}}{8.41 \times 1 0 ^{- 16}} = \frac{1}{181} of a proton’s radius$
6. Nüüd rida, mis ei muutu kunagi. Mitte miski kaksiksüsteemist ei kandu sellesse üle — see on ülempiir, mitte mõõtmine.
  
  $L_{GW} \sim \frac{c ^{5}}{5 G} = \frac{2.42 \times 1 0 ^{42}}{3.34 \times 1 0 ^{- 10}} = 7.26 \times 1 0^{51} W = 1.90 \times 1 0^{25} L_{⊙}$
Vastus

Heledus, ja see on c⁵/5G. Iga teine rida liigub, kui puudutad liugurit; see rida on 1,90 × 10²⁵ L☉ olenemata massidest, kaugusest või algsagedusest, sest see on moodustatud valguse kiirusest ning gravitatsioonikonstandist ja ei millestki muust. See on suurim võimsus, mida ükski protsess üldrelatiivsusteoorias saab kiirata, ja mõne millisekundi vältel kiirgas see liitumine seda rohkem kui kõik vaadeldava universumi tähed kokku valgusena. Skaala teine ots on samal paneelil: 1,16 × 10⁻²¹ relatiivset deformatsiooni piki LIGO 4 km õlgu on pikkuse muutus 4,6 × 10⁻¹⁸ m, mis on 181. osa prootoni raadiusest. Mõlemad arvud kirjeldavad sama sündmust.

$M = 28.1 M_{⊙}, τ = 843 ms, f_{ISCO} = 67.6 Hz, L_{GW} = \frac{c ^{5}}{5 G}$
Kaks 1,4 Päikese massiga neutrontähte 100 Mpc kaugusel 5 sammu
Kaks 1,4 Päikese massiga neutrontähte 100 Mpc kaugusel. Ennusta ülaltoodud mustade aukude vastuse põhjal iga rida ilma midagi uuesti arvutamata, kasutades ainult astmenäitajaid.
1. Arvuta uuesti ainult sirtsumass. Võrdsete masside korral taandub see väärtusele 2^−1/5 korda ühine mass, mis on 1,4-ste paari puhul 1,22.
  
  $M = \frac{( 1.4 \times 1.4 ) ^{3/5}}{2. 8 ^{1/5}} = \frac{1.9 6 ^{0.6}}{2. 8 ^{0.2}} = \frac{1.4869}{1.2200} = 1.22 M_{⊙}$
2. Kõik muu on suhe. Kestuse astmenäitaja on −5/3, seega moodusta esmalt masside suhe ja võta see üks kord astmesse.
  
  $\frac{τ _{NS}}{τ _{BH}} = (\frac{M _{BH}}{M _{NS}})^{5/3} = (\frac{28.10}{1.219})^{5/3} = 23.0 5^{5/3} = 187$
3. Rakenda seda eelmisest ülesandest pärinevale 0,843 sekundile. Ei mingit integraali, ei konstande ega valemit peale astmenäitaja.
  
  $τ = 0.843 \times 187 = 157 s = 2.6 min$
4. ISCO-sagedus on pöördvõrdeline kogumassiga, nii et sama trikk palju väiksema astmenäitajaga annab helikõrguse lõpus.
  
  $f_{ISCO} \propto \frac{1}{M _{tot}} : 67.6 \times \frac{65}{2.8} = 1570 Hz$
5. Relatiivne deformatsioon kannab korraga kahte sõltuvust — tõustes sirtsumassi astmega 5/3, langedes kaugusega — ning see paar on korraga kergem ja lähemal, mistõttu efektid osaliselt taandavad teineteist.
  
  $h \propto \frac{M ^{5/3}}{d _{L}} : 1.16 \times 1 0^{- 21} \times (\frac{1.219}{28.10})^{5/3} \times \frac{440}{100} = 2.2 \times 1 0^{- 22}$
Vastus

Kogu erinevus taandub ühele astmeseadusele: 187. Sirtsumass langeb väärtuselt 28,10 väärtusele 1,22 ning kuna sissekeerdumisaeg skaleerub kui ℳ^−5/3, korrutab massi jagamine 23-ga aja 23^5/3 = 187 korda läbi. See muudab 0,84 sekundit 157 sekundiks, mispõhjusel neutrontähtede liitumine on ainus, mida LIGO saab kuulutada juba selle toimumise ajal — 2,6 minutit on piisavalt pikk aeg teleskoopide suunamiseks, ning GW170817 tõttu nähti kilonovat. Sama kang töötab teises otsas sinu kahjuks: f_ISCO muutub kui 1/M, mistõttu liitumine lõppeb sagedusel 1570 Hz, mis on kaugele üle detektorite suurima tundlikkuse vahemiku. Kergeid kaksiksüsteeme on lihtne kuulda lähenemas ja raske kuulda kohale jõudmas.

$M = 1.22 M_{⊙} ⟹ τ \times 187, f_{ISCO} \times 23, h \div 5$

Allikad (3)

The detection the first block describes, and its measured strain: B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger." Physical Review Letters 116(6), 061102, 2016.
The neutron-star merger behind the gw170817 preset: B. P. Abbott et al., "GW170817: Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral." Physical Review Letters 119(16), 161101, 2017.
The chirp-mass and peak-strain expressions the tool evaluates: M. Maggiore, Gravitational Waves, Volume 1: Theory and Experiments, §4.1. Oxford University Press, 2008. ISBN 978-0-19-857074-5.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-05

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

GW150914 - GW150914: esimene tuvastus, chirp-mass ~28.1 Msun
GW170817 - 1,17 ja 1,36 Päikese massiga neutrontähed annavad säutsumassiks 1,10, mis jääb mõlemale alla. Lainekuju kodeeribki just selle ühe arvu. See tagab sagedusribas alates 20 Hz piirist 3,1 minutit. Nihutage algussagedust kümne hertsi võrra üles ja kestus langeb 1,1 minutile. Kaks kolmandikku signaalist peitub seega sagedusriba madalaimas osas. Just sinna on detektorit ehitada kõige keerulisem.
NS-NS ühinemine - Kaks õpikupärast 1,4 Päikese massiga neutrontähte: säutsumass on 1,22 ja 20 Hz juurest ühinemiseni kulub 2,6 minutit. See on lühem kui GW170817 sündmusel, ehkki viimane on kergem paar. Sissekeerdumist juhib mass, seega jääb raskema kaksiksüsteemi kuulamiseks vähem aega. Allpool toodud 1570,1 Hz on ISCO sagedus, kus stabiilne ringorbiit kaob ja kaks tähte langevad kokku.
MA-MA ühinemine - 160 Päikese massiga musta augu puhul langeb ISCO sagedus 27,5 hertsile. See jääb napilt ülespoole 20 Hz piiri, kust graafik algab. Kogu sündmus kestab vaadeldavas sagedusribas 185,7 ms. Tõusvat säutsu siin kaasa ümiseda ei saa. Kõlab vaid üks mütsatus. Ometi on see neljast valikust valjeim, tugevusega 1,28 × 10⁻²¹. Signaal saabub 1000 Mpc kauguselt, ületades GW170817 vahemaad enam kui kakskümmend korda.