Hilli sfääri kalkulaator

Arvuta Hilli raadius orbiidi suuruse, masside ja ekstsentrilisuse põhjal ning hinda konservatiivseid stabiilse orbiidi vahemikke.

Näidisarvutus — Hilli sfääri kalkulaator

Masside suhe	1.00×10⁻⁶
Kuupjuure tegur	0.01000
Periheelis	0.9833AU
Hilli raadius	0.009837AU
Hilli raadius (km)	1.472×10⁶km
Stabiilne progradne	7.36×10⁵km
Stabiilne retrograadne	1.03×10⁶km

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks kuumadel Jupiteritel pole kuid — ja kus elab JWST 🖖

Kuum Jupiter 0,04 AU kaugusel omab Hilli sfääri, mille raadius on vaid ~450 000 km. Stabiilne prograadne tsoon lõpeb ~225 000 km juures — see on väiksem kui Kuu 384 400 km orbiit ümber Maa. Iga võimalik kuu pühiti minema planeedi sissepoole rändamise käigus ja uus ei suudaks seal püsida. Seetõttu pole ühtegi kinnitatud eksokuud kunagi leitud kuuma Jupiteri ümbert. Sama geomeetria selgitab, kuhu kosmoseteleskoobid parkima jäävad: Lagrange'i punktid L1 ja L2 asuvad Maast peaaegu täpselt ühe Hilli sfääri raadiuse kaugusel (~1,5 miljonit km). JWST tiirleb L2 ümber, mis paigutab selle just Maa gravitatsioonipiiri sisse — piisavalt kaugele, et vältida atmosfääri- ja soojushäireid, ning piisavalt lähedale, et Maa gravitatsioon hoiaks seda päikesehäirete vastu seotuna. Hilli sfäär pole pelgalt teoreetiline piir — see on meie võimsaima observatooriumi aadress.

Kus planeedi haare võidab Päikese oma 🖖

Kuu on justkui köieveos: tema planeet tõmbab teda ligi, samal ajal kui palju massiivsem Päike püüab teda endale kiskuda. Hilli sfäär näitab, kus planeet võidab — selle sees võivad orbiidid olla stabiilsed, väljaspool triivib satelliit omaenda rajale ümber Päikese. Raadius kasvab vaid massisuhte kuupjuurega, seega muutub aeglaselt. Rusikareeglina püsib tavalisel pärisuunalisel orbiidil olev kuu turvaliselt vaid umbes poole Hilli raadiuse ulatuses — seepärast hoiavad tegelikud kuud end sügaval piiri sees.

Tagurpidi tiirlevad kuud püsivad kaugemal 🖖

Üllatuslikult püsib kuu, mis tiirleb planeedi ümber „valepidi“ — tagurpidi ehk retrograadselt, planeedi liikumisele vastassuunas —, stabiilsena kuni umbes 0.7 Hilli raadiuseni, samas kui pärisuunaline kuu pääseb lahti juba pärast umbes 0.5. Vastassuunaline liikumine pehmendab Päikese korduvat tõmmet igal tiirul. See pole pelk kurioosum: peaaegu kõik Jupiteri ja Saturni kauged väliskuud tiirlevad tagurpidi — just seetõttu, et üksnes sellised laiad orbiidid püsivad.

Ülesanne täielikult lahendatud

Piir, kus objekt saab tiirelda veel Maa, mitte Päikese ümber 5 sammu
Kui kaugel Maast saab miski veel ümber Maa tiirelda, ilma et Päike seda ära ei võtaks — ja kas Kuu on turvaliselt selle piiri sees? Maa: m = 5.972 × 10²⁴ kg, a = 1 AU, e = 0.0167. Päike: M = 1.989 × 10³⁰ kg.
1. Hilli raadius on koht, kus planeedi tõmbejõud väikesel kehal võrdub Päikese loodelise tõmbega sel kaugusel. Kuupjuur on selle tasakaalu tunnusjoon: see on massi suhe massi, võetuna astmesse üks kolmandik, sest gravitatsioon väheneb pöördvõrdeliselt ruuduga, samas kui loodeline liige seda ei tee.
  
  $r_{H} \approx a (1 - e) 3 \frac{m}{3 M}$
2. Arvuta kõigepealt masside suhe — see on suurus, mille ülalolev kalkulaator väljastab nimega „mass ratio“, ning pane tähele, et see on m/3M, mitte m/M.
  
  $\frac{m}{3 M} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{3 ( 1.989 \times 1 0 ^{30} )} = 1.00 \times 1 0^{- 6}$
3. Võta kuupjuur. Pane tähele, kui armutult kuupjuur kokku surub: miljondikust saab sajandik, nii et Maa mõjusfäär on umbes 1% tema kaugusest Päikesest, kuigi Maa on miljondik Päikese massist.
  
  $3 1.00 \times 1 0^{- 6} = 0.01000$
4. Korruta periheeli kaugusega — orbiidi lähima punktiga, sest seal konkureerib Päike kõige tugevamalt ja seega on piir seal kõige väiksem.
  
  $r_{H} = 1 AU \times (1 - 0.0167) \times 0.01000 = 0.009837 AU = 1.472 \times 1 0^{6} km$
5. Nüüd kontrolli Kuud selle suhtes. Prograadsed orbiidid on stabiilsed vaid ligikaudu poole Hilli raadiuseni, seega on see piir, mida Kuu peab ületama.
  
  $r_{Moon} = 3.84 \times 1 0^{5} km = 0.26 r_{H} < 0.5 r_{H}$
Vastus

1.472 × 10⁶ km, ja Kuu kaugusel 3.84 × 10⁵ km asub 0.26 sellest — mugavalt seespool isegi rangemat poole Hilli raadiuse piiri prograadsete orbiitide jaoks. Kuupjuur on põhjus, miks see üldse toimib: see on nii kokkusuruv funktsioon, et planeet, mille mass on miljondik tema tähe massist, valitseb ikkagi piirkonda, mis on 1% tema orbiidi laiusest. See on ka põhjus, miks haaramine on haruldane ja miks kaugeimad ebaregulaarsed kaaslased on kõik retrograadsed — retrograadsed orbiidid püsivad stabiilsed kuni umbes 0.7 r_H ulatuses, kaugemal kui prograadsed.

$r_{H} = a (1 - e) 3 \frac{m}{3 M} = 1.472 \times 1 0^{6} km$

Allikad (2)

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-08

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Maa ümber Päikese - Maa ümber Päikese annab Hilli raadiuse ligikaudu 0.01 AU, mis seab ligikaudse piiri stabiilsetele kaaslastele.
Jupiter ümber Päikese - Jupiteril on väga suur Hilli sfäär, mis võimaldab paljusid kaugeid kuid.
Kuu ümber Maa - Kuul ümber Maa on palju väiksem Hilli sfäär, mis piirab kaaslase kaaslaste pikaajalist stabiilsust.
Kuum Jupiter, lähedane orbiit - Lähedal tiirlevatel kuumadel Jupiteritel on kompaktne Hilli sfäär, mistõttu on raske hoida laiu kuu orbiite.