Planeedi tiheduse kalkulaator

ρ = 3M / 4πR³ — keskmine tihedus on ainuke arv, mis piirab, millest planeet koosneda saab, ilma et sellele oleks kunagi maandutud.

Algväärtused — Planeedi tiheduse kalkulaator

Mass (M)	5.972 × 10²⁴
Raadius (R)	6.371 × 10⁶

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Planeedi tiheduse kalkulaator

Keskmine tihedus on planeedi kogumass jagatuna selle koguruumalaga — üks arv kogu keha kohta. See ei ole ühegi sellise materjali tihedus, mida saaksite kätte võtta: see on maakoore, vahevöö ja tuuma ühine keskmine.

Mida iga sümbol tähendab

ρ: keskmine tihedus, mis on siin esitatud grammides kuupsentimeetri kohta, et arvud oleksid võrreldavad tuttavate materjalidega — vesi on 1, raud umbes 7,9.
R: planeedi raadius, Maa puhul 6.371 × 10⁶ m. Valemis on see kuubis, seega 10% viga raadiuses muudab tihedust umbes 30%.
3/4π: geomeetriline konstant, mis ilmub kera eeldamisel — ei midagi füüsikalist, vaid puhtalt kujund.

Kust valem tuleb

Tihedus on mass jagatud ruumalaga: ρ = M / V. Planeetidest pole siin veel juttugi.
Eeldame, et keha on kera, mille ruumala on V = (4/3)πR³.
Asendame ja lihtsustame: ρ = M / ((4/3)πR³) = 3M / (4πR³). See on lehel esitatud avaldis ning Maa massi ja raadiuse korral annab see tulemuseks 5.513 g/cm³.

Eeldab: Keralist kuju ning seda, et mass ja raadius on mõlemad teada. Kauge planeedi puhul ei mõõdeta kumbagi otse: mass saadakse selle gravitatsioonilisest tõmbejõust teisele kehale, raadius sellest, kui palju tähevalgust see varjab — seega pärib keskmine tihedus mõlema veapiirid.
Ei kehti, kui: Keskmine väärtus peidab siseehitust täielikult ja Maa on selle selgeim näide: keskmine tihedus on 5.513 g/cm³, kuid selle tuum on umbes kaks korda tihedam ja maakoor umbes poole väiksema tihedusega. Kaks täiesti erineva ehitusega planeeti võivad omada täpselt sama keskmist tihedust, mistõttu see arv seab piirangud planeedi koostisele, ilma seda kunagi lõplikult määramata.

tihedus kui planeedi röntgenpilt 🖖

Me pole kunagi Maasse puurinud sügavamale kui 12 km, ent siiski teame, et selle tuum on raud. Nipp peitub keskmises tiheduses: ρ = 3M/(4πR³). Mass saadakse kuude või sondide orbiitide ajastamisest; raadius varjutuste või radaraltimeetria abil. Tulemuseks saadud tihedust võrreldakse kivimi, jää ja raua olekuvõrranditega kõrgel rõhul, mis piirab, milline materjalide segu planeedi sees peab olema. Tihedus alla ~2 g/cm³ välistab märkimisväärse kivimiosa. Üle ~5 g/cm³ on suur rauatuum peaaegu vältimatu. Seismoloogia ja inertsimomendi mõõtmised täpsustavad pilti — ent tihedus üksi teeb suurema osa tööst, enne kui ükski sond teele saadetakse.

mida pakendatus maailma kohta reedab 🖖

Tihedus mõõdab lihtsalt seda, kui palju ainet on antud ruumi kokku surutud, grammides kuupsentimeetri kohta. Seda üht arvu eri maailmade vahel võrreldes saab aimata, millest planeet koosneb, ilma et peaks maanduma. Silmatorkav näide: Saturni keskmine tihedus on vaid umbes 0,69 g/cm³, vähem kui veel, nii et piisavalt suures ookeanis ta hõljuks, samas kui kivine Maa tihedusega 5,51 g/cm³ on Päikesesüsteemi tiheseim planeet.

gravitatsioon võltsib planeedi tihedust 🖖

Suured planeedid suruvad end ise kokku: nende oma gravitatsioon surub sisemuse kokku, nii et mõõdetud keskmine tihedus tuleb suurem kui aine loomulik väärtus. Astronoomid korrigeerivad seda, et saada kokkusurumata tihedus. Nõnda tehes osutub tiheseimaks Merkuur, mitte Maa, umbes 5,3 g/cm³ Maa ~4,4 vastu, mis reedab ülemõõdulise rauast tuuma, mis täidab ligi 83% selle raadiusest.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Raadius läheb kuupi, nii et väike viga selles on suur viga tiheduses. Maa 6.371 × 10⁶ m annab 5.513 g/cm³. Tõsta raadiust 10% väärtuseni 7.008 × 10⁶ ja langeta seda siis 10% väärtuseni 5.734 × 10⁶. Kas need kaks viga on ühesuurused?

Näita vastust

Ei, ja see erinevus tasub teada enne, kui veapiiri välja öelda. Kümme protsenti liiga suur annab 4.142 g/cm³, langus 25%. Kümme protsenti liiga väike annab 7.563 g/cm³, tõus 37%. Kuup ei ole arvu 1 ümber sümmeetriline: 1.1³ = 1.331, aga 0.9³ = 0.729. Sama libastus raadiuses maksab ühes suunas poole rohkem, ja kõige vähem tasub usaldada tihedust, mis on tuletatud liiga väikeseks mõõdetud raadiusest.
Vajuta Mercury, siis Earth. Kaks keskmist tulevad 5.427 ja 5.513 g/cm³, vahe alla 2%. Kas see teeb neist sarnased maailmad?

Näita vastust

Ei — ja massilahtrid näitavad konksu juba enne igasugust parandust: Maa 5.972 × 10²⁴ kg Merkuuri 3.301 × 10²³ vastu on kaheksateistkordne vahe. Suur planeet surub end ise kokku, nii et Maa keskmine ülehindab seda, mis ta materjal rahuolekus oleks, samas kui palju kergem Merkuur peaaegu ei kokku surugi. Arvesta see maha ja need kaks vahetavad kohad: Merkuur umbes 5.3 juures Maa 4.4 vastu. Keskmine tihedus on tugev piirang ja nõrk järeldus: see välistab, millest maailm ei saa koosneda, ammu enne kui ütleb, millest ta koosneb.

Ülesanne täielikult lahendatud

Pinnagravitatsioon Maa keskmisest tihedusest 5,513 g/cm³ ja pinnakivimist 6 sammu
Maa mass ja raadius annavad keskmiseks tiheduseks 5,513 g/cm³. Pinnakivimite tihedus on umbes 2,9. Arvuta, mida see paratamatult nõuab, ning leia samast kahest arvust raskuskiirendus pinnal.
1. Keskmine tihedus on massi ja ruumala suhe ning kera ruumalas mängib määravat rolli raadius — see on kuubis, seega 1% viga R väärtuses tähendab 3% viga ρ väärtuses.
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{1.0832 \times 1 0 ^{21}} = 5513 kg/ m^{3}$
2. Teisenda geoloogide kasutatavasse ühikusse ja võrdle seda kivimiga. Basaldi tihedus on 2,9, graniidil 2,7 ning Maa keskmine on mõlemast peaaegu poole suurem.
  
  $ρ = 5.513 g/c m^{3} against surface basalt at 2.9 g/c m^{3}$
3. Raskuskiirendus pinnal samadest algandmetest. Tulemus 9,82 on veidi suurem standardväärtusest 9,80665, sest standardväärtus arvestab pöörlemist ja ekvaatorilist kühmu, mida sellel keral pole.
  
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{6.674 \times 1 0 ^{- 11} \times 5.972 \times 1 0 ^{24}}{( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} = 9.82 m/ s^{2}$
4. Asenda tihedus tagasi raskuskiirenduse valemisse ja mass kaob. Raskuskiirendus ühtlase kera pinnal on võrdeline suurusega ρR ja ei millegi muuga.
  
  $g = \frac{G \cdot \frac{4}{3} π R ^{3} ρ}{R ^{2}} = \frac{4}{3} π GρR ⟹ g \propto ρR$
5. Kontrolli seda hoopis teistsuguse massiga taevakehal. Kuu mass on 1,2% Maa massist, kuid selle raadius on 27% ja tihedus 61% Maa omast, ning valem annab selle raskuskiirenduse õigesti.
  
  $Moon : ρ = 3340, R = 1.737 \times 1 0^{6} ⟹ g = \frac{4}{3} π G (3340) (1.737 \times 1 0^{6}) = 1.62 m/ s^{2}$
6. Veel üks rida annab põgenemiskiiruse, mis on sama energiavõrrand kirjutatuna eemalduva, mitte paigalseisva keha kohta.
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = 2 g R = 11186 m/s$
Vastus

See tingib siseosa, mis on umbes kaks korda tihedam kui mis tahes materjal, mida saab kätte võtta. Keskmine tihedus on ruumalaga kaalutud keskmine ning maakoor moodustab selles ruumalas pelgalt ümardamisvea — seega kui välimine osa on 2,9, peab sisemine osa olema tublisti üle 5,5, et keskmine sinna tõsta, ja ainus kosmilises skaalas laialt levinud nii tihe materjal on raud. See ainus aritmeetiline samm, mis on jõukohane igaühele, kellel on teada Cavendishi G ja keskmine raadius, ongi põhjus, miks me teadsime Maa raatuumast kaua enne seda, kui seismoloogia suutis seda näha. Samad kaks arvu annavad ka raskuskiirenduse pinnal ning ülevaatlik valem g = (4/3)πGρR näitab, et raskuskiirendus sõltub ainult tihedusest ja raadiusest, mitte massist — sisestades sinna Kuu 3340 kg/m³ ja 1738 km, saab tulemuseks 1,62 m/s², mis ongi see väärtus, milles Apollo astronaudid kõndisid.

$ρ = 5.513 g/c m^{3} ≫ 2.9 ⟹ something much denser is underneath$

Allikad (1)

Earth's mass and radius, as the nominal values adopted by the IAU: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Merkuur - Merkuur — 5,43 g/cm³, ebatavaliselt rauarikas tuum (83% raadiusest)
Veenus - Veenus — 5,24 g/cm³, Maa kaksik nii suuruse, massi kui tiheduse poolest
Maa - Maa — 5,51 g/cm³, Päikesesüsteemi kõige tihedam planeet
Marss - Marss — 3,92 g/cm³, kivine, kuid suhteliselt väiksema tuumaga kui Maa
Jupiter - Jupiter — 1,33 g/cm³, neljast hiiglasest tihedaim pärast Neptuuni
Saturn - Saturn — 0,69 g/cm³, veest hõredam; ta ujuks
Uraan - Uraan — 1,27 g/cm³, hiiglastest kõige hõredam peale Saturni
Neptuun - Neptuun — 1,64 g/cm³, Uraanist tihedam, kuigi peaaegu sama suur
Kuu - Kuu — 3,34 g/cm³, kivine ja väga väikese tuumaga
Pluuto - Pluuto — 1,85 g/cm³, umbes kaks kolmandikku kivimit ja kolmandik jääd