Radiaalkiiruse pooleamplituud

Kasuta RV pooleamplituudi seost, et hinnata avastatavust või tuletada m sin(i) vaadeldud Doppleri võnkumisest.

Näidisarvutus — Radiaalkiiruse pooleamplituud

RV pooleamplituud K	0.2968 m/s
Miinimummass m sin(i)	1 Maa masse (0.00315 Jupiteri masse)
RV kõikumine tipust tippu	0.5936 m/s
sin(i)	1
Tähe orbiidi raadius	40.814 km

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Radiaalkiirus suudab anda ainult alammassi 🖖

Kõikumine räägib tähe liikumisest mööda meie vaatejoont ja mitte midagi tema liikumisest sellega ristsuunas. Nii et mõõtmisest ei tule välja planeedi mass, vaid m sin i, kus i on orbiidi kalle, mida keegi ei suuda samadest andmetest välja lugeda. Serviti vaadates, kui i = 90°, ongi see väärtus tõeline mass. 30° juures on tegelik planeet teatatust kaks korda raskem, 10° juures 5,8 korda ja 5° juures 11,5 korda. Neptuuni-suuruseks kuulutatud signaal võib seega olla pruun kääbus, mida näeme peaaegu otse, ja radiaalkiirus üksi ei suuda seda kunagi välistada. Just seepärast muudab transiit — mis toimub ainult siis, kui orbiit on ligikaudu serviti, ja mis seega fikseerib i — alammassi tõeliseks massiks.

Kuidas tähe võnkumine reedab varjatud planeedi 🖖

Planeet ei tiirle lihtsalt ümber oma tähe — mõlemad kehad tiirlevad ümber ühise massikeskme, nii et ka täht joonistab väikese ringi. Meie poole liikudes on tema valgus sininihkes, eemaldudes punanihkes. K on selle võnke suurim kiirus vaatejoone sihis. Jupiter kõigutab Päikest umbes 12.5 m/s ehk kiire jalgratturi tempoga, Maa aga vaid 0.09 m/s.

Võnkumine ei nõrgene kaugusega 🖖

Peaaegu iga astronoomiline signaal nõrgeneb kaugusega — heledus kahaneb selle ruuduga. Raadiaalkiiruse poolamplituud K aga mitte: see peitub orbiidis endas, seega täht 10 või 1000 parseki kaugusel võngub täpselt sama kiirusega. Kaugus piirab vaid seda, kui palju footoneid saab spektri jaoks koguda. ESPRESSO-taolised riistad ulatuvad tänapäeval umbes 10 cm/s-ni, tajudes tähte, mis liigub meist tohutu kauguse tagant aeglasemalt kui jalutav inimene.

Ülesanne täielikult lahendatud

Tähe võnkumine 0,2968 m/s Maa massiga planeedilt 10-päevasel orbiidil 5 sammu
Maa-massiga planeet 10-päevasel orbiidil paneb oma tähe võnkuma kiirusega 0,2968 m/s. See on jalutamise tempo. Arvuta, kui kaugele täht tegelikult liigub — ja miks leiti esimesena kuumad Jupiterid.
1. Mõlemad kehad tiirlevad ümber ühise massikeskme, mistõttu täht kirjeldab ise väikest ellipsit. Poolamplituud K on selle liikumise kiiruse projektsioon meie vaatekiirele, mis on ainus, mida spektrograaf suudab mõõta.
  
  $K = (\frac{2 π G}{P})^{1/3} \frac{m _{p} sin i}{( M _{⋆} + m _{p} ) ^{2/3}} \cdot \frac{1}{1 - e ^{2}}$
2. Valemis on siin teada kõik peale planeedi: Päikese massiga täht, küljelt vaadeldav ringorbiit ja ühe Maa mass kümnepäevasel orbiidil.
  
  $P = 10 d, m_{p} = 1 M_{\oplus}, M_{⋆} = 1 M_{⊙}, i = 9 0^{\circ}, e = 0$
3. Tulemus on 0,2968 m/s. Seetõttu peab spektrograaf eristama Doppleri nihet täpsusega üks osa miljardist — mistõttu ootas see valdkond pigem mõõteriistade stabiilsuse kui teleskoopide suuruse taga.
  
  $K = 0.2968 m/s ⟹ peak-to-peak = 0.5936 m/s$
4. Tähe orbiit on veelgi väiksem ning selle leidmine annab teise võimaluse sama kiiruse arvutamiseks. Kepleri kolmanda seaduse järgi vastab kümnepäevasele tiirlemisperioodile ümber Päikese massiga tähe planeedi orbiit raadiusega 1,359 × 10¹⁰ m. Tähe enda ringjoone raadius on massisuhte võrra väiksem, üks osa 333 000-st: 40,8 km. Selle vahemaa võiks autoga läbida, ehkki ringjoont mööda liigub 1,4 miljoni kilomeetri laiune taevakeha. Üks tiir kümne päevaga annab kiiruseks 0,2968 m/s. Sama poolamplituudi saab seega leida ka liitvalemit kasutamata.
  
  $a_{⋆} = a \frac{m _{p}}{M _{⋆} + m _{p}} = 40.814 km$
5. Skaalautuvus selgitab avastuste järjekorda. K kahaneb vaid kui perioodi kuupjuur, seega annab sama planeet üheaastase perioodi korral ikkagi 0,0895 m/s — kuid K kasvab otseses võrdelisuses massiga, mistõttu annab Jupiter kolmepäevasel orbiidil 141 m/s.
  
  $K \propto P^{- 1/3} : P = 365 d \Rightarrow 0.0895 m/s; 318 M_{\oplus} at 3 d \Rightarrow 141 m/s$
Vastus

Tööriist kuvab K = 0,2968 m/s, täielikuks kõikumisulatuseks 0,5936 ning tähe orbiidi raadiuseks 40,814 km. See suhe võtab kokku kogu valdkonna ajaloo: kuum Jupiter tekitab umbes 475 korda suurema signaali kui see Maa ja ligikaudu 1600 korda suurema kui Maa üheaastasel orbiidil. Seepärast olidki esimesed leitud eksoplaneedid lühikese perioodiga hiidplaneedid — mitte et need oleksid sagedased, vaid sest need olid ainukesed, mida 1995. aasta instrumendid suutsid näha. Sea perioodiks 365 päeva ja vaata, kuidas K langeb väärtuseni 0,0895 m/s, mida tekitab päris Maa.

$K \propto \frac{m _{p}}{M _{⋆}^{2/3}} P^{- 1/3} : Earth moves the Sun 0.3 m/s$

Allikad (1)

The measurement this tool models, and the m·sin i limit it carries: M. Mayor and D. Queloz, "A Jupiter-mass companion to a solar-type star." Nature 378, 355–359, 1995 — 51 Pegasi b, found by exactly this wobble.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-05

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Maa-Päikese analoog - Maa-Päikese analoog tekitab alla 0.1 m/s tähe võnkumise, mis on äärmusliku täpsuse piiri lähedal.
Kuum Jupiter - Kuum Jupiter lühikese perioodiga orbiidil annab suure radiaalkiiruse poolamplituudi, mida on lihtne tuvastada.
Mini-Neptuun - 17 Maa massi 12-päevasel orbiidil 0,8 Päikese massiga tähe ümber: 5,5 m/s. See on kuuskümmend korda suurem Maa-Päikese signaalist ja kakskümmend viis korda väiksem kuuma Jupiteri omast. Vaatlusprogrammides on see igati realistlik leid.
Tuleta mõõdetud K põhjal - Pöördrežiim hindab minimaalset massi m sin(i) mõõdetud K ja orbiidi eelduste põhjal.