Kosmoloogilise punanihke kalkulaator

Veni footon üle paisuva universumi. Määra z, vali kiiratud lainepikkus ja jälgi, kuidas spekter nihkub.

Näidisarvutus — Kosmoloogilise punanihke kalkulaator

Punanihke definitsioon	0.1000
Vaadeldud lainepikkus	721.6 nm
Taandumiskiirus	28487 km/s (9.50% of c)
Mastaabitegur a	0.9091

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kolm erinevat horisonti ja ainult ühel kehtib v = c 🖖

Kosmoloogilist punanihet kirjeldatakse tihti Doppleri efektina, kuid see on peenem. Galaktika ei liigu läbi ruumi — ruum meie ja tema vahel venib ning footoni lainepikkus kasvab võrdeliselt skaalateguriga a(t). Väikese z korral on vahetegemine akadeemiline, sest mõlemad pildid annavad v ≈ H₀d. Alates z ≈ 1,5 ületab eemaldumiskiirus c, mis on ruumis liikumise jaoks võimatu ja ruumi enda jaoks tähelepanuväärimatu: relatiivsusteooria kiirusepiirang kehtib liikumisele läbi aegruumi, mitte selle paisumisele. Siin aetakse segamini kolm eri kaugust. Eemaldumine jõuab c-ni Hubble'i raadiusel, c/H₀ ≈ 14,5 miljardit valgusaastat — ja me vaatleme rutiinselt galaktikaid tublisti sellest kaugemal, mis ongi lihtsaim tõend, et ülivalguskiirusel eemaldumine ei peida midagi. Millest kaugemale me näha ei saa, on osakeste horisont umbes 46 miljardi valgusaasta kaugusel, see tee, mille valgus on jõudnud läbida. Ja lõplikult kättesaamatu piiri seab kolmas pind, sündmuste horisont ligi 16 miljardi valgusaasta kaugusel: valgus, mis sellest kaugemalt täna teele asub, ei jõua kunagi kohale.

Mida punanihe tegelikult mõõdab 🖖

Kauge galaktika valgus jõuab meieni lainepikkustega, mis on venitatud punase poole. Jaga vaadeldud lainepikkus kiiratud lainepikkusega, lahuta 1 ja saadki z. Mida suurem on z, seda kauem on valgus teel olnud — nii on z korraga universumi kell ja mõõdupuu. Kui z = 1, lahkus valgus oma galaktikast umbes 8 miljardit aastat tagasi, kui universum oli poole väiksem kui praegu (skaalategur a = 1/(1+z) = 0.5).

Punanihe venitab ka aega 🖖

Paisumine venitab iga lainepikkust teguri (1+z) võrra — kuid venitab sama teguri võrra ka sündmuste kestust. Ia tüüpi supernoova, mille z = 1, näib helendavat ja kustuvat kaks korda rohkemate päevade jooksul kui samasugune lähedalasuv. Just seda venitust on mõõdetud ja see lükkas ümber vana 'väsinud valguse' idee: ainult tõeline paisumine aeglustab kella ja punastab valgust ühtaegu.

Ülesanne täielikult lahendatud

Eemaldumiskiirus, kui vesiniku Hα joon saabub lainepikkusel 721,6 nm 5 sammu
Vesiniku Hα-joon väljub galaktikast lainerapikkusel 656 nm ja saabub lainerapikkusel 721,6 nm. Leia eemaldumiskiirus. Ilmne valem eksib siin umbes 1500 km/s võrra ning suurema punanihke korral vedab see täielikult alt.
1. Punanihe on defineeritud kui lainepikkuse suhteline pikenemine, nii et see selgub otse neist kahest arvust. z = 0,1: valgus saabus 10% punasemana kui teele asus.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{721.6 - 656}{656} = 0.1000$
2. Valem, mida peaaegu kõik kasutavad, on v = cz, mis on pärit väikeste kiiruste Doppleri nihkest. See annab tulemuseks 29 979 km/s, kümnendiku valguse kiirusest.
  
  $v_{naive} = cz = 0.1 \times 299792 = 29979 km/s$
3. Kuid kümnendik valguse kiirusest ei ole väike kiirus. Relativistlik Doppleri seos seob avaldise 1 + z ruutjuurega avaldisest (1 + β)/(1 − β); β suhtes lahendamine võtab ühe rea algebrat ja annab tulemuseks 0,09502, mitte 0,1.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} = \frac{0.21}{2.21} = 0.09502$
4. See on 28 487 km/s. Naiivne tulemus hindab seda 5,2% võrra üle — umbes 1500 km/s, mis on suurem kui kiiruste erinevused, mille üle astronoomid rutiinselt vaidlevad.
  
  $v = 0.09502 c = 28487 km/s (\frac{29 979}{28 487} = 1.052)$
5. Suurenda z väärtuseni 1 ja lahknevus ei ole enam pisiparandus. v = cz annab tulemuseks täpselt c; relativistlik valem annab sellest kolm viiendikku.
  
  $a = \frac{1}{1 + z} = 0.9091; z = 1 : v_{naive} = c, β = \frac{3}{5} = 0.600$
Vastus

Tööriist kuvab 721,6 nm, 28 487 km/s ja 9,50% c-st, skaalateguriga 0,9091 — universum oli selle valguse teele asumisel 91% oma praegusest suurusest. Oluline tõdemus on sammust 5: kui z = 1, annab lihtsustatud tee tulemuseks täpselt valguse kiiruse, samal ajal kui tegelik vastus on 0,600c. Klõpsa süvavälja eelseadistust ja kontrolli seda. Galaktikaid kataloogitakse punanihkega z = 7 ja kaugemalgi, kus cz annaks tulemuseks seitsmekordse valguse kiiruse — mis ei ole relativismiasjade paradoks, vaid valemi kasutamine kaugel väljaspool selle tuletamise piire.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} : z = 0.1 \Rightarrow 0.0950 c, z = 1 \Rightarrow 0.600 c (not c)$

Allikad (2)

The distinction between the three horizons the first block separates: T. M. Davis and C. H. Lineweaver, "Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe." Publications of the Astronomical Society of Australia 21(1), 97–109, 2004.
The H₀ value the Hubble radius is computed from: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-06

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Lähedane galaktika (z=0,01) - Hα alustab teed lainepikkusel 656 nm ning meieni jõudes on see 662,6. Neis paaris nanomeetris peitubki kogu mõõtmine. Nende põhjal loeb paneel meile kiiruseks 2983 km/s ja kaasaliikuvaks kauguseks 42,7 Mpc. Näeme sedagi, et valgus asus teele 0,139 Gyr tagasi. Universumi suurus oli toona 0,9901 praegusest. Kõigest üheprotsendiline venimine on nõudnud valguselt juba saja neljakümne miljoni aasta pikkust rännakut.
Hubble'i sügavväli (z=1) - Kõige puhtam näide on z = 1. Algne 656 nm kiirgusjoon on kohale jõudes täpselt kahekordistunud ning asub nüüd väärtusel 1312,0. Skaalategur 0,5000 ütleb meile, et universum oli toona poole väiksem kui praegu. Valgus on lennanud 7,655 Gyr. See on enam kui pool universumi elueast. Eemaldumiskiiruseks saame aga 60,00% c-st, ehkki otsene valemi v = cz rakendamine annaks tulemuseks 100%.
Kvasar (z=3) - z=2.5: kauge kvasar, vaatlusaeg minevikku ~11 Gyr
Taustkiirgus (z=1089) - z=1089: kosmiline mikrolaine-taustkiirgus, T~3000 K tollal