Mõjusfääri kalkulaator

Arvuta patched-conic mõjusfäär (SOI) orbiidi kauguse ja massisuhte põhjal ning võrdle seda Hilli sfääri mõõtkavaga.

Näidisarvutus — Mõjusfääri kalkulaator

Massisuhe	3.00×10⁻⁶
Suhe2/5	0.006181
Mõjusfääri raadius	0.006181AU
Mõjusfääri raadius (km)	9.246×10⁵km
Hilli raadius	0.01000AU
Hilli raadius (km)	1.497×10⁶km
Hilli/mõjusfääri suhe	1.619

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks mõjusfäär ei ole Hilli sfäär — ja mida kosmoseaparaadid tegelikult kasutavad 🖖

Tegu on kahe erineva küsimusega ja kahe erineva raadiusega. Hilli sfäär küsib: kus saab kuu stabiilselt tiirelda? See tuleneb tõusujõududest — tasakaalust planeedi enda gravitatsiooni ja Päikese tõusujõu vahel — andes r_H = a(m₂/3m₁)^1/3. Laplace'i mõjusfäär esitab kitsama küsimuse: kus on hea lähendus teeselda, et eksisteerib ainult planeedi gravitatsioon (Päike ignoreeritakse)? See tasakaal annab r_SOI = a(m₂/m₁)^2/5. Mõjusfäär on alati väiksem kui Hilli sfäär — Maa jaoks on Hill ≈ 1,5 miljonit km, kuid mõjusfäär ≈ 925 000 km; Jupiteri jaoks on Hill ≈ 53 miljonit km, kuid mõjusfäär ≈ 48 miljonit km. Suhe ei ole siiski konstant: see skaleerub kui (m/M)^−1/15 ja ulatub Jupiteri 1,10-st Merkuuri 1,96-ni — mida raskem planeet, seda lähemal on tema mõjusfäär Hilli sfäärile. Missioonide kavandajad kasutavad mõjusfääri piiri üleminekupunktina patched-conic trajektooridele: mõjusfääri sees integreeritakse Maa-kesksena, väljaspool lülitutakse heliotsentrilisele süsteemile. See ei ole füüsikaliselt täpne — teravat piiri pole olemas —, kuid viga on esialgse missioonikavandamise jaoks piisavalt väike. Tegeliku navigatsiooni jaoks vajaliku täieliku täpsuse annab alati n-keha simulatsioon.

gravitatsiooni koduväli, lihtsalt 🖖

Mõjusfäär on nähtamatu mull planeedi või kuu ümber, kus tema gravitatsioon sisuliselt "juhib". Piiri seespool võib Päikese julgelt unustada; rada kujundab üksnes planeet. Just seepärast on ka Kuul oma väike mõjusfäär, raadiusega umbes 66,000 km. Apollo missioonide ajal vahetati trajektooriarvutustes just sellel piiril Maa-keskne taustsüsteem Kuu-keskse vastu.

miks kaugus võidab massi 🖖

Vaata tähelepanelikult valemit r = a(m₂/m₁)^2/5: kaugus a siseneb lineaarselt, mass aga vaid astmes 2/5. Päikesest kaugel olemine loeb seega palju rohkem kui suur mass. Pluuto on umbes 25 korda väiksema massiga kui Merkuur, ent tema mõjusfäär (~3 miljonit km) ületab kaugelt Merkuuri oma (~112,000 km) — lihtsalt seetõttu, et Pluuto tiirleb umbes 100 korda kaugemal.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kaks standardvastust, kus Maa gravitatsioon lakkab võitmast 5 sammu
Kustmaalt ei jää Maa gravitatsioon Päikese omaga võrreldes enam peale? On kaks standardset vastust, need erinevad 62% võrra ja mõlemad on õiged. Arvutage mõlemad ning tehke kindlaks, mis neid eristab.
1. Kõik sõltub ühest arvust, masside suhtest, ja see on väike: Maa on umbes kolmesajatuhandik Päikesest.
  
  $q = \frac{m}{M} = \frac{1}{332 946} = 3.00 \times 1 0^{- 6}$
2. Esimene vastus on liidetud koonuselõigete mõjukera ja selle astendaja on 2/5. See märgib piiri, kus arvutuste üleviimine heliotsentriliselt taustsüsteemilt geotsentrilisele tekitab kõige väiksema vea — see on väide ligikaudistuse kvaliteedi, mitte jõu kohta.
  
  $r_{SOI} = a q^{2/5} = 1 \times (3.00 \times 1 0^{- 6})^{0.4} = 0.006181 AU$
3. Teine on Hilli raadius, mille astendaja on 1/3. See märgib piiri, kus väike kolmas keha saab jääda orbiidile määramatuks ajaks — see on väide stabiilsuse kohta pöörlevas taustsüsteemis, kus tsentrifugaalliikmed on olulised.
  
  $r_{H} = a 3 \frac{q}{3} = 3 1.001 \times 1 0^{- 6} = 0.01000 AU$
4. Just need kaks astendajat põhjustavadki vastuste erinevuse ning 1,619 on nende suhe.
  
  $\frac{r _{H}}{r _{SOI}} = \frac{0.01000}{0.006181} = 1.619$
5. Kuu lahendab praktilise küsimuse: 384 400 km kaugusel asub see mõjukera 42% kohal, kindlalt mõlema sees, mispärast ongi see Maa kuu, mitte teine planeet.
  
  $r_{Moon} = 3.844 \times 1 0^{5} km = 0.416 r_{SOI}$
Vastus

Tööriist kuvab mõjukera väärtuseks 0,006181 AU, Hilli raadiuseks 0,01000 AU ja nende suhteks 1,619. Tuum seisneb selles, et kumbki ei ole see piir — need vastavad erinevatele küsimustele ja vale väärtuse kasutamine on tõeline navigatsiooniviga. Taustsüsteeme vahetav missiooni planeerija vajab väärtust 2/5; see, kes küsib, kas haaratud asteroid jääb tiirlema, vajab väärtust 1/3. Nende kahe raadiuse vahele jäävad objektid on ebamugavas vahealas: piisavalt seotud, et mõnda aega tiirelda, kuid mitte piisavalt, et jääda. Umbes seal asuvadki kauged ebaregulaarsed kaaslased ja seetõttu ongi neid nii kerge kaotada.

$r_{SOI} = a q^{2/5} \neq = r_{H} = a 3 q /3 : 1.619 \times apart$

Allikad (1)

The patched-conic method that makes the SOI boundary useful, and its limits: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §7.4. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-10

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Maa ümber Päikese - Maa mõjusfäär (SOI) on ligikaudu 0.006 AU, tavapärane võrdlusalus lapitud koonuse (patched-conic) ülekannetele.
Marss ümber Päikese - Marsi mõjusfäär on Maa omast väiksem, hoolimata suuremast orbiidikaugusest, kuna Marsi mass on väiksem.
Kuu ümber Maa - Kuu mõjusfäär ümber Maa on kasulik tsislunaartrajektooride segmenteerimisel.
Jupiter ümber Päikese - Jupiteril on väga suur mõjusfäär, mis domineerib tugevalt kohaliku trajektoori geomeetrias.