Stefani-Boltzmanni Päikese võimsuse kalkulaator

Sisesta tähe raadius ja temperatuur, et arvutada kiiratav võimsus Stefani-Boltzmanni seaduse abil.

Näidisarvutus — Stefani-Boltzmanni Päikese võimsuse kalkulaator

Pindala (4πR²)	4πR²≈6.082×10¹⁸ m²
Suhteline raadiuse ruut	(1)²≈1
Emissiivsus	1

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Betelgeuse on Päikesest jahedam ja 79 000× heledam 🖖

Ruutmeetri kohta domineerib temperatuur — T⁴ versus R² — ja ometi võidab nendes eelseadetes raadius, sest päris tähed ei varieeru neis kahes ühtviisi. Võrdle tööriista enda kahte tegurirea: nende nelja eelseade lõikes ulatub raadius 3820-kordselt (0,2 kuni 764 R☉), temperatuur aga vaid 3,1-kordselt (3200 kuni 9940 K). Betelgeuse on Päikesest jahedam, nii et selle rida (T/T☉)⁴ näitab 0,135 — puhas trahv — ja täht jõuab siiski väärtuseni 78 914 L☉, sest selle rida (R/R☉)² näitab 5,84 × 10⁵. Siirius, ligi kaks korda kuumem kui Päike, saavutab vaid 25,7. Järsem astendaja kaotab, kui teisel muutujal on mängida neli suurusjärku.

Ruutmeetri kohta on temperatuur tugevam mõjutegur 🖖

Sellel tööriistal on vaid kaks sisendit: tähe suurus ja pinnatemperatuur. Nende mõju on aga väga erinev. Raadius esineb kujul R², temperatuur aga kujul T⁴, mistõttu määrab ruutmeetri kohta kiirgusvõimsuse eelkõige temperatuur. Kui tähe temperatuur kahekordistada, kuid suurus samaks jätta, kiirgab iga ruutmeeter 2⁴ = 16 korda rohkem energiat. Kiirgusvoogu juhib neljas aste. Kogu tähe puhul sõltub tulemus ka selle raadiusest.

Stefan mõõtis 1879 Päikese kuumust 🖖

Josef Stefan ei sedastanud üksnes, et voog kasvab kui T⁴ — 1879. aastal pööras ta seaduse ümber. Lastes mõõdetud päikesevalguse läbi σT⁴, hindas ta Päikese pinnaks umbes 5430 °C (ligikaudu 5700 K), esimese usutava arvu ajal, mil konkureerivad hinnangud ulatusid 1500°-st miljonite kraadideni. See kalkulaator teeb sama ümberpööramise: voog, mille arvutad, on täpselt see suurus, mida Stefan mõõtis, et Päikese temperatuuri määrata.

Ülesanne täielikult lahendatud

Päikese koguvõimsus selle suuruse ja pinnatemperatuuri põhjal 5 sammu
Arvutage Päikese koguvõimsus üksnes selle mõõtmete ja pinnatemperatuuri põhjal ning kasutage seejärel seda ühte arvu, et ennustada, kui külm Maa peaks olema. See on tööriista olek Päike: R = 1 R_☉ = 6,957 × 10⁸ m, T = 5772 K, ε = 1.
1. Stefan-Boltzmanni seadus annab võimsuse ruutmeetri kohta, seega peab ruutmeetrite arv tulema esimesena. Täht kiirgab oma fotosfäärist ning kera pindala jaoks on vaja ainult raadiust.
  
  $A = 4 π R^{2} = 4 π (6.957 \times 1 0^{8})^{2} = 6.082 \times 1 0^{18} m^{2}$
2. Nüüd voog ühelt ruutmeetrilt. Neljas aste teebki selle seaduse nii leppimatuks: täht, mis on Päikesest vaid 20% kuumem, kiirgab oma pinna iga lapikese kohta 1,20⁴ = 2,07 korda rohkem.
  
  $F = ε σ T^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (5772)^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (1.110 \times 1 0^{15}) = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
3. Heledus on voog korrutatud pindalaga ja mitte midagi muud, sest iga tähelt lahkuv foton läbib seda pinda täpselt ühe korra. Tulemuseks on ühe Päikese heleduse definitsioon, mistõttu tööriista võrdlusrida näitab 1.
  
  $L = A F = (6.082 \times 1 0^{18}) (6.294 \times 1 0^{7}) = 3.828 \times 1 0^{26} W$
4. Eemaldugem tähest. Seesama võimsus jaotub nüüd kerale, mille raadiuseks on Maa kaugus, seega muutub nimetajas ainult pindala. Atmosfäärist kõrgemal asuvad satelliidid mõõdavad väärtuseks 1361 W/m² ning see kooskõla kinnitab kõiki kolme ülaltoodud sammu.
  
  $S = \frac{L}{4 π d ^{2}} = \frac{3.828 \times 1 0 ^{26}}{4 π ( 1.496 \times 1 0 ^{11} ) ^{2}} = 1361 W/ m^{2}$
5. Maa püüab päikesevalgust ketta kaudu, mille pindala on πR_⊕², kuid kiirgab kogu oma kera pinnalt, 4πR_⊕². Planeedi raadius taandub välja, kordaja 4 aga mitte, ning pilved ja jää peegeldavad umbes 30% otse tagasi enne, kui midagi neelatakse.
  
  $π R_{\oplus}^{2} (1 - a) S = 4 π R_{\oplus}^{2} σ T_{eq}^{4} ⟹ T_{eq} = 4 \frac{( 1 - 0.30 ) ( 1361 )}{4 σ} = 254.6 K$
Vastus

Tööriist kuvab väärtused 6,082 × 10¹⁸ m², 6,294 × 10⁷ W/m² ja 3,828 × 10²⁶ W. Kõik pärast seda on sama seadus kahel lisakorral ning tulemus lõpeb väärtusega 254,6 K. Maa tegelik keskmine pinnatemperatuur on 288 K, seega eksib ennustus 33 K võrra ja see eksib kindlas suunas: alati liiga külm. See erinevus on kasvuhooneefekt ning see on ainus suurus ahelas, mida σT⁴ ei suuda anda, sest seadus kirjeldab seda, mida pind kiirgab, ega ütle midagi selle kohta, mida selle kohal olev õhk kiirgusega väljumisel teeb. Nii jäme arvutus, mis tabab planeedi väärtust 12% piires, on põhjus, miks see on esimene asi, mida keegi eksoplaneedi kohta arvutab.

$T_{eq} = 4 \frac{( 1 - a ) S}{4 σ} = 254.6 K, T_{\oplus} = 288 K, Δ T = 33 K$

Allikad (3)

Betelgeuse’s radius and temperature, the preset behind the first block: M. Joyce et al., "Standing on the Shoulders of Giants: New Mass and Distance Estimates for Betelgeuse through Combined Evolutionary, Asteroseismic, and Hydrodynamic Simulations with MESA." The Astrophysical Journal 902(1), 63, 2020.
The solar radius, luminosity and temperature the tool normalises to: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The value of σ: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Päike - R = 1 R☉ ja T = 5772 K, seega on mõlema tegurirea väärtus täpselt 1 ning heledus 1 L☉. Kõiki teisi väärtusi võrreldakse siin Päikesega.
Siirius A - Temperatuur 9940 K on Päikese omast peaaegu kaks korda kõrgem ja annab juba üksi teguri 8,80. Koos raadiuse 1,711 R☉ ruuduga saadakse heleduseks 25,7 L☉.
Betelgeuse - 764 R☉ ja 3500 K: temperatuurirea kahandav tegur on 0,135, raadiuserea väärtus aga 5,84 × 10⁵. Tulemuseks on ikkagi 78 914 L☉.
Punane kääbus - 0,2 R☉ ja 3200 K, mistõttu jäävad mõlema rea väärtused alla 1 ning nende korrutis annab 0,004 L☉. See on ainus eelseadistus, kus kumbki mõjutegur tulemust ei suurenda.