Sünoodilise perioodi kalkulaator

Sisesta kaks orbiidiperioodi, et arvutada löögitsükli ajastus korduvate nurkkonfiguratsioonide jaoks.

Näidisarvutus — Sünoodilise perioodi kalkulaator

Eelvaade mööda tsüklit	0%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Sünoodiline periood võib olla pikem kui mõlemad tiirud 🖖

Esimesel korral tundub see vale: kaks keha, millest kumbki läbib ringi vähem kui kahe aastaga, võivad uuesti kohakuti sattumiseks kulutada rohkem aega. Maa kulutab 1 aasta ja Marss 1,881, ning 1/S = |1/1 − 1/1,881| annab S = 2,135 aastat — umbes 25,6 kuud, rohkem kui kumbki tiir. Mida lähemal kaks perioodi teineteisele on, seda hullemaks läheb, sest kiirem keha jõuab aeglasemale järele väga aeglaselt; kui perioodid lähenevad võrdsusele, jookseb S lõpmatuse poole. See ei ole kurioosum. Just see 25,6 kuu arv on põhjus, miks Marsi-missioonid väljuvad kobaratena umbes kaheaastase vahega akendes ja mitte siis, kui rakett on valmis, ning miks maha magatud aken tähendab kaheaastast viivitust.

Kaks jooksjat rajal 🖖

Kujuta ette kahte jooksjat, kes tiirlevad rajal erineva kiirusega. Kiirem jääb pidevalt ette, ja sünoodiline periood on lihtsalt aeg, mille jooksul ta teeb aeglasemale ühe täisringi ja nad taas ühele joonele jõuavad. Seepärast jõuavad Maa (365 päeva) ja Marss (687 päeva) vastasseisu vaid umbes iga 780 päeva tagant — ja seepärast saavad mehitatud Marsi-missioonid startida vaid umbes iga 26 kuu tagant.

Veenuse pentagramm 🖖

Maa ja Veenus on lähedal 8:13 orbiidirütmile: kaheksa Maa aastat võrdub peaaegu täpselt kolmeteistkümne Veenuse aastaga, mis on ühtlasi viis Maa–Veenuse sünoodilist perioodi (5 × 584 ≈ 2920 päeva ≈ 8 aastat). Selle peaaegu-resonantsi tõttu naaseb Veenus igal alumisel konjunktsioonil peaaegu samasse kohta, ja kui need kohtumispunktid kaheksa aasta jooksul kaardistada, joonistub üllatavalt korrapärane viielehine roos — kuulus „Veenuse pentagramm“.

Ülesanne täielikult lahendatud

Tsükkel, kui tihti Jupiter ja Saturn reastuvad 5 sammu
Jupiteri aasta on 4332,59 päeva ja Saturni oma 10759,22. Leidke, kui tihti need kaks ühele joonele sattuvad, kuhu taevas iga kohtumine langeb, ning seejärel palju aeglasem tsükkel, mis peidab end neis samades kahes arvus. See on olek Jupiter-Saturn, kus joondumise sihtühikuks on määratud sama suhteline pikkuskraad.
1. Perioode ei lahutata; lahutatakse kiirusi. Iga perioodi teisendamine tiirudeks päevas ongi see, mis teeb ülejäänud ülesandest geomeetria asemel ariteetika.
  
  $n_{1} = \frac{1}{4332.59} = 2.3081 \times 1 0^{- 4} d^{- 1}, n_{2} = \frac{1}{10759.22} = 9.2944 \times 1 0^{- 5} d^{- 1}$
2. Kaks jooksjat ringrajal kohtuvad uuesti siis, kui kiirem on võitnud täpselt ühe terve ringi, seega on kohtumissagedus ringide läbimise kiiruste vahe. Kahe väikese arvu lahutamisel saadakse veel väiksem arv, mistõttu 12-aastane planeet ja 29-aastane planeet satuvad 20-aastasele tsüklile — aeglasemale kui kumbki neist.
  
  $ν = n_{1} - n_{2} = 1.3787 \times 1 0^{- 4} d^{- 1} ⟹ S = \frac{1}{ν} = \frac{P _{1} P _{2}}{P _{2} - P _{1}} = 7253.4577 d = 19.8589 yr$
3. Üks Jupiteri aasta ei vii tööd lõpule ning puudujääk on suur. 4332,59 päevaga läbib Saturn 40% omaenda orbiidist, seega on joondumine nihkunud rohkem kui poole tiiru võrra ning Jupiter peab seda taga ajama veel kaks kolmandikku tiiru.
  
  $θ_{P_{1}} = 36 0^{\circ} (1 - \frac{P _{1}}{P _{2}}) = 36 0^{\circ} (1 - 0.40269) = 215.032 9^{\circ}$
4. Nüüd küsige, kus kohtumine toimub, mitte ainult millal. Jupiter teeb tsükli kohta 1,674 oma orbiiti ning just see murdosa nihutab konjunktsiooni piki taevast — iga järgmine langeb 117,3° eelmisest tahapoole. Kolm sellist sulgevad peaaegu kolmnurga.
  
  $\frac{S}{P _{1}} = \frac{7253.4577}{4332.59} = 1.6741 ⟹ 36 0^{\circ} \times 1.6741 = 602.7 0^{\circ} \equiv + 242.7 0^{\circ} (- 117.3 0^{\circ}), 3 \times 242.7 0^{\circ} = 728.1 0^{\circ} \equiv 8.1 0^{\circ}$
5. Perioodide suhe on vihje teisele tsüklile. Lihtmurru lähedane suhe tähendab, et kahe kiiruse mingi täisarvuline kombinatsioon on peaaegu null, ning 5/2 on murd, millele see paar on kõige lähemal. Jupiteri kaks tiiru Saturni viie vastu jätab alles umbes tuhandendiku kraadi päevas.
  
  $\frac{P _{2}}{P _{1}} = 2.4833 \approx \frac{5}{2} : 2 \dot{λ}_{1} - 5 \dot{λ}_{2} = \frac{720}{4332.59} - \frac{1800}{10759.22} = - 0.001116 0^{\circ} d^{- 1} ⟹ \frac{360}{0.0011160} = 322575 d = 883 yr$
Vastus

Tööriist kuvab sünoodiliseks perioodiks 7253,4577 päeva, 19,8589 aastat, nihkeks Jupiteri orbiidi kohta 215,0329° ja perioodide suhteks 2,4833. Edasine on Kepleri päralt: järjestikused suured konjunktsioonid astuvad 117,3° võrra piki sodiaaki, kolm neist naasevad 59,6 aasta järel 8,1° ulatuses alguskohta ning see aeglaselt pöörlev kolmnurk vajab üheainsa märgi läbimiseks 221 aastat. Arv 2,4833 peidab endas enamat kui 20-aastast rütmi. Kuna see asub 0,7% kaugusel suhtest 5/2, liigub kombinatsioon 2λ_J − 5λ_S kiirusega 0,0011160° päevas, mis teeb tsükli pikkuseks 883 aastat — see on Suur ebavõrdsus, mis pani Jupiteri näima kiirenevana ja Saturni aeglustuvana kogu vaatluste ajaloo vältel, kuni Laplace näitas 1785. aastal, et mõlemad pöörduvad tagasi. Kalkulaator, mis moodustab vaid avaldise |n₁ − n₂|, leiab 20-aastase tsükli ega näe 883-aastast: lähiresonants tekitab rütmi kahe kiiruse igal väikeste täisarvude kombinatsioonil, mitte ainult nende vahel.

$S = \frac{P _{1} P _{2}}{∣ P _{2} - P _{1} ∣} = 19.86 yr \frac{36 0 ^{\circ}}{∣2 λ ˙ _{1} - 5 λ ˙ _{2} ∣} = 883 yr$

Allikad (1)

The commensurability behind insight block 3: J. Kepler, Harmonices Mundi, Book V. Linz, 1619 — the ratios between planetary periods, including the Venus–Earth near-commensurability the pentagram comes from.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Maa-Marss - Maa-Marsi opositsioonid korduvad ligikaudu iga 780 päeva järel, vastavalt klassikalisele sünoodilisele tsüklile.
Maa-Veenus - Maa-Veenuse sünoodiline tsükkel on umbes 584 päeva, mis põhjustab korduva hommiku-/õhtutähe geomeetria.
Jupiter-Saturn - Jupiteri-Saturni suure konjunktsiooni tsükkel kestab umbes 19.9 aastat.
LEO-GTO faseerimine - Ka tehisorbiitide perioodid tekitavad taktitsükleid, mis on kasulikud korduskülastuste ja faseerimise analüüsimisel.