Kolme keha probleemi simulaator

kaootiline gravitatsioon, kaksiksimulatsioonide lahknemine ja numbriline stabiilsus

Näidisarvutus — Kolme keha probleemi simulaator

Kineetiline energia	1.2129
Potentsiaalne energia	−2.4996
Koguenergia	−1.2867
Suurus	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks näeb see igal värskendamisel ühesugune välja? 🖖

Kolme keha probleem on kaootiline, kuid mitte juhuslik. Kaos tähendab, et väikesed erinevused algtingimustes kasvavad eksponentsiaalselt – kuid lehe värskendamine ei muuda midagi: samad algpositsioonid, samad kiirused, sama dt, sama algoritm, iga kord sama tulemus. Deterministlik kaos ja arvutuslik korratavus on kaks erinevat asja. Et kaost tegelikult näha: sea häiring väärtusele 0,000001 ja jälgi katkendlikku kaksiktrajektoori. Mõlemad trajektoorid alustavad 10⁻⁶ kaugusel teineteisest ja lahknevad lõpuks täiesti erinevatele teedele. See eksponentsiaalne lahknemine ongi kaos – Ljapunovi eksponent tegevuses. Orbiitide all olev lahknevusgraafik kujutab selle lahknemise log₁₀ väärtust aja jooksul; sirge tõusev joon tähendab eksponentsiaalset kasvu.

miks kolm on raske arv 🖖

Kaks teineteist tõmbavat keha joonistavad lihtsaid, lõputult korduvaid ellipse — selle juhu lahendas Newton pliiatsi ja paberiga. Lisa kolmas keha ja korralik valem kaob: pole üldist võrrandit selle kohta, kuhu kõik jõuavad, nii et ainus tee on lükata simulatsiooni edasi ühe pisikese dt kaupa, täpselt nagu see tööriist teeb. Vajuta figure-8 eelseadistust, et näha üht haruldast erandit — kolm võrdset massi jälitamas üksteist igavesti ühel silmustaolisel rajal.

lahendus, mis on olemas, aga kasutu 🖖

Sageli öeldakse, et kolme keha probleem on 'lahendamatu', kuid 1912. aastal tõestas Karl Sundman koonduva astmerea muutujas t^1/3, mis annab kehade asukohad igaveseks ajaks (välja arvatud kolmikkokkupõrke algtingimused). Konks: see koondub nii aeglaselt, et astronoomiline täpsus nõuaks suurusjärgus 10^8000000 liiget — lootusetult üle iga arvuti võimete. Formaalne lahendus seega on olemas; simulatsiooni samm-sammult edasi lükkamine, nagu siin, on lihtsalt ainus kasutatav tee.

Ülesanne täielikult lahendatud

3 võrdse massi 8-kujulise koreograafia energia algtingimustest 7 sammu
8-kujuline koreograafia suunab 3 võrdset massi piki ühte suletud kõverat. Arvuta selle energia hetkel t = 0 üksnes algtingimustest. See on 8-kujulise orbiidi eelseadistus: G = 1, m₁ = m₂ = m₃ = 1, pehmendus ε = 0. Asukohad r₁ = (−0,97000436, 0,24308753), r₂ = −r₁, r₃ = (0, 0); kiirused v₁ = v₂ = (0,466203685, 0,43236573) ja koguimpulss on 0.
1. Need pikad kümnendmurrud tunduvad suvalised. Võta need ruutu ja liida kokku, ning selgub, et ei ole: kehad 1 ja 2 asuvad kumbki täpselt 1 ühiku kaugusel alguspunktist, kus asub keha 3.
  
  $∣ r_{1} ∣ = 0.9700043 6^{2} + 0.2430875 3^{2} = 0.940908 + 0.059092 = 1.0000$
2. Keha 2 on keha 1 peegeldus alguspunkti suhtes, seega asuvad sel hetkel kõik 3 keha ühel sirgel, kusjuures keha 3 on selle keskpunktis. Kõik vahekaugused tulenevad sellest ilma teise ruutjuureta.
  
  $r_{2} = - r_{1} ⟹ r_{13} = r_{23} = 1.0000, r_{12} = 2.0000$
3. Newtoni seadus vajab nüüd vaid neid vahekaugusi. Keha 3 on ülejänutest 1 ühiku kaugusel, samal ajal kui kehad 1 ja 2 on teineteisest kaks korda kaugemal, mistõttu on nendevaheline tõmbejõud 4 korda nõrgem.
  
  $F_{ij} = \frac{G m _{i} m _{j}}{r _{ij}^{2}} ⟹ F_{12} = \frac{1}{2 ^{2}} = 0.2500, F_{13} = F_{23} = 1.0000$
4. Kasutame ära kollineaarsuse. Keha 3 tõmmatakse vastassuundades võrdselt, mistõttu selle resultantjõud kaob täpselt. Kehi 1 ja 2 tõmmatakse mõlema partneri poolt samas suunas, sest keha 3 asub nende vahel, seega liituvad nende 2 jõudu lihtsate arvudena ilma komponente lahutamata.
  
  $∣ F_{3} ∣ = 1.0000 - 1.0000 = 0.0000, ∣ F_{1} ∣ = 1.0000 + 0.2500 = 1.2500$
5. Koguimpulsi nullväärtus koos kehade 1 ja 2 identse liikumisega fikseerib keha 3 kiiruseks −2v₁. See teeb selle kineetilise energia nende omast 4 korda suuremaks ning kõigi 3 keha summa taandub üheksainsaks liikmeks.
  
  $\sum m_{i} v_{i} = 0, v_{1} = v_{2} ⟹ v_{3} = - 2 v_{1}, K E = \frac{1}{2} (1 + 1 + 4) v_{1}^{2} = 3 v_{1}^{2}$
6. Suuruse v₁ 2 komponendi ruutuvõtmine ja kolmekordistamine ongi kogu 3 keha kineetilise energia arvutus.
  
  $v_{1}^{2} = 0.46620368 5^{2} + 0.4323657 3^{2} = 0.404286 ⟹ K E = 1.2129$
7. Ka potentsiaalne energia ei vaja vektoreid — vaid 3 vahekauguse pöördväärtusi, ning kui ε = 0, on need pöördväärtused täpsed.
  
  $P E = - G (\frac{m _{1} m _{2}}{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{1} + \frac{m _{2} m _{3}}{1}) = - 2.5000$
Vastus

E = −1,2871 ning paneeli iga rida tabelis t = 0 — vahekaugused, paarisjõud, resultantjõud, mõlemad energiad ja koguenergia — tuli välja neist 4 kümnendkohast ja koguimpulsi nullumisest. Vaata, mis juhtub osadega: hetkeks t = 25,0 on kineetiline energia tõusnud väärtuseni 1,305 ja potentsiaalne langenud väärtuseni −2,592, kusjuures koguenergia pole paigast liikunud. Märk on see, millel on tagajärg. Seotud trio võib siiski kaotada liikme, kuid mitte tasuta: kui 1 keha eemaldub nii, et midagi üle ei jää, peab maha jäänud paar kandma kogu väärtust −1,2871 ja 2 ühikulise massiga kehal on selle energia juures pikepooltelg 1/(2 × 1,2871) = 0,3885 — alla 1/5 neid praegu eraldavast kaugusest 2,0000. Väljavise ja tihenemine on üks ja sama sündmus ning põhjus on energiabilansis.

$E = 1.2129 - 2.5000 = - 1.2871 ⟹ a_{m a x} = \frac{G m ^{2}}{2∣ E ∣} = \frac{1}{2 ( 1.2871 )} = 0.3885$

Allikad (1)

Sundman's convergent series in t^(1/3): K. F. Sundman, "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36, 105–179, 1913.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-05-31

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

kaheksakujuline orbiit - Kolm võrdse massiga keha liiguvad üksteise kannul mööda üht ja sama kaheksakujulist suletud trajektoori. Alguspunkti naasvaid orbiite leidub kolme keha probleemi lahendite seas nii harva, et kõigil teadaolevatel on oma nimi.
peaaegu kokkupõrge - Kaks keha mööduvad teineteisest nii lähedalt, et tunnevad hetkeks vastastikust mõju palju tugevamalt kui kolmanda keha oma. Just lähikohtumistes sünnib kaos: mida napim on möödumine, seda enam võimendub väljumisel pisimgi erinevus lähteasendis.
Pythagorase juht - Täisnurkse kolmnurga tippudes paiknevad kehad massidega kolm, neli ja viis ning kõik lastakse paigalseisust vabaks. Nad langevad sissepoole, liiguvad kaua korrapäratult ning viimaks paiskub kergeim eemale, samal ajal kui ülejäänud kaks moodustavad paari. Trajektoori esimese poole põhjal ei saa lõpptulemust ette näha.
liblikorbiit - Kolm võrdse massiga keha liiguvad mööda üht tiivapaari meenutavat suletud trajektoori. Kaks äärmist alustavad ühesuguse kiirusega, keskmise keha kiirus aga tasakaalustab need täpselt. Nii ei triivi kujund joonistumise ajal ekraanilt välja.
Euleri kollineaarne - Kolm keha paiknevad ühel sirgel, tiirlevad ümber ühise massikeskme ja jäävad alatiseks samale sirgele. Sellest lahendist pärinevad Lagrange'i punktid Päikese ja Maa teljel. Seega paikneb James Webbi kosmoseteleskoop ühe selle probleemi lahendi sees.
kaksiktäht + sissetungija - Tihedalt seotud paar kohtub paremalt läheneva kergema kehaga. Tavaliselt lahkub sissetungija suurema kiirusega, kui saabus, ning paar tõmbub tihedamalt kokku, sest kaasa viidud energia pärineb kaksiksüsteemi enda seoseenergiast. Just see hoiab kerasparved kohevana.

YouTube

StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem