Kolme keha probleemi simulaator

kaootiline gravitatsioon, kaksiksimulatsioonide lahknemine ja numbriline stabiilsus

Näidisarvutus — Kolme keha probleemi simulaator

Kineetiline energia	1.2129
Potentsiaalne energia	−2.4996
Koguenergia	−1.2867
Suurus	0

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks näeb see igal värskendamisel ühesugune välja? 🖖

Kolme keha probleem on kaootiline, kuid mitte juhuslik. Kaos tähendab, et väikesed erinevused algtingimustes kasvavad eksponentsiaalselt – kuid lehe värskendamine ei muuda midagi: samad algpositsioonid, samad kiirused, sama dt, sama algoritm, iga kord sama tulemus. Deterministlik kaos ja arvutuslik korratavus on kaks erinevat asja. Et kaost tegelikult näha: sea häiring väärtusele 0,000001 ja jälgi katkendlikku kaksiktrajektoori. Mõlemad trajektoorid alustavad 10⁻⁶ kaugusel teineteisest ja lahknevad lõpuks täiesti erinevatele teedele. See eksponentsiaalne lahknemine ongi kaos – Ljapunovi eksponent tegevuses. Orbiitide all olev lahknevusgraafik kujutab selle lahknemise log₁₀ väärtust aja jooksul; sirge tõusev joon tähendab eksponentsiaalset kasvu.

miks kolm on raske arv 🖖

Kaks teineteist tõmbavat keha joonistavad lihtsaid, lõputult korduvaid ellipse — selle juhu lahendas Newton pliiatsi ja paberiga. Lisa kolmas keha ja korralik valem kaob: pole üldist võrrandit selle kohta, kuhu kõik jõuavad, nii et ainus tee on lükata simulatsiooni edasi ühe pisikese dt kaupa, täpselt nagu see tööriist teeb. Vajuta figure-8 eelseadistust, et näha üht haruldast erandit — kolm võrdset massi jälitamas üksteist igavesti ühel silmustaolisel rajal.

lahendus, mis on olemas, aga kasutu 🖖

Sageli öeldakse, et kolme keha probleem on 'lahendamatu', kuid 1912. aastal tõestas Karl Sundman koonduva astmerea muutujas t^1/3, mis annab kehade asukohad igaveseks ajaks (välja arvatud kolmikkokkupõrke algtingimused). Konks: see koondub nii aeglaselt, et astronoomiline täpsus nõuaks suurusjärgus 10^8000000 liiget — lootusetult üle iga arvuti võimete. Formaalne lahendus seega on olemas; simulatsiooni samm-sammult edasi lükkamine, nagu siin, on lihtsalt ainus kasutatav tee.

Ülesanne täielikult lahendatud

3 võrdse massi 8-kujulise koreograafia energia algtingimustest 7 sammu
8-kujuline koreograafia suunab 3 võrdset massi piki ühte suletud kõverat. Arvuta selle energia hetkel t = 0 üksnes algtingimustest. See on 8-kujulise orbiidi eelseadistus: G = 1, m₁ = m₂ = m₃ = 1, pehmendus ε = 0. Asukohad r₁ = (−0,97000436, 0,24308753), r₂ = −r₁, r₃ = (0, 0); kiirused v₁ = v₂ = (0,466203685, 0,43236573) ja koguimpulss on 0.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Need pikad kümnendmurrud tunduvad suvalised. Võta need ruutu ja liida kokku, ning selgub, et ei ole: kehad 1 ja 2 asuvad kumbki täpselt 1 ühiku kaugusel alguspunktist, kus asub keha 3.
  
  $∣ r_{1} ∣ = 0.9700043 6^{2} + 0.2430875 3^{2} = 0.940908 + 0.059092 = 1.0000$
2. Keha 2 on keha 1 peegeldus alguspunkti suhtes, seega asuvad sel hetkel kõik 3 keha ühel sirgel, kusjuures keha 3 on selle keskpunktis. Kõik vahekaugused tulenevad sellest ilma teise ruutjuureta.
  
  $r_{2} = - r_{1} ⟹ r_{13} = r_{23} = 1.0000, r_{12} = 2.0000$
3. Newtoni seadus vajab nüüd vaid neid vahekaugusi. Keha 3 on ülejänutest 1 ühiku kaugusel, samal ajal kui kehad 1 ja 2 on teineteisest kaks korda kaugemal, mistõttu on nendevaheline tõmbejõud 4 korda nõrgem.
  
  $F_{ij} = \frac{G m _{i} m _{j}}{r _{ij}^{2}} ⟹ F_{12} = \frac{1}{2 ^{2}} = 0.2500, F_{13} = F_{23} = 1.0000$
4. Kasutame ära kollineaarsuse. Keha 3 tõmmatakse vastassuundades võrdselt, mistõttu selle resultantjõud kaob täpselt. Kehi 1 ja 2 tõmmatakse mõlema partneri poolt samas suunas, sest keha 3 asub nende vahel, seega liituvad nende 2 jõudu lihtsate arvudena ilma komponente lahutamata.
  
  $∣ F_{3} ∣ = 1.0000 - 1.0000 = 0.0000, ∣ F_{1} ∣ = 1.0000 + 0.2500 = 1.2500$
5. Koguimpulsi nullväärtus koos kehade 1 ja 2 identse liikumisega fikseerib keha 3 kiiruseks −2v₁. See teeb selle kineetilise energia nende omast 4 korda suuremaks ning kõigi 3 keha summa taandub üheksainsaks liikmeks.
  
  $\sum m_{i} v_{i} = 0, v_{1} = v_{2} ⟹ v_{3} = - 2 v_{1}, K E = \frac{1}{2} (1 + 1 + 4) v_{1}^{2} = 3 v_{1}^{2}$
6. Suuruse v₁ 2 komponendi ruutuvõtmine ja kolmekordistamine ongi kogu 3 keha kineetilise energia arvutus.
  
  $v_{1}^{2} = 0.46620368 5^{2} + 0.4323657 3^{2} = 0.404286 ⟹ K E = 1.2129$
7. Ka potentsiaalne energia ei vaja vektoreid — vaid 3 vahekauguse pöördväärtusi, ning kui ε = 0, on need pöördväärtused täpsed.
  
  $P E = - G (\frac{m _{1} m _{2}}{2} + \frac{m _{1} m _{3}}{1} + \frac{m _{2} m _{3}}{1}) = - 2.5000$
Vastus

E = −1,2871 ning paneeli iga rida tabelis t = 0 — vahekaugused, paarisjõud, resultantjõud, mõlemad energiad ja koguenergia — tuli välja neist 4 kümnendkohast ja koguimpulsi nullumisest. Vaata, mis juhtub osadega: hetkeks t = 25,0 on kineetiline energia tõusnud väärtuseni 1,305 ja potentsiaalne langenud väärtuseni −2,592, kusjuures koguenergia pole paigast liikunud. Märk on see, millel on tagajärg. Seotud trio võib siiski kaotada liikme, kuid mitte tasuta: kui 1 keha eemaldub nii, et midagi üle ei jää, peab maha jäänud paar kandma kogu väärtust −1,2871 ja 2 ühikulise massiga kehal on selle energia juures pikepooltelg 1/(2 × 1,2871) = 0,3885 — alla 1/5 neid praegu eraldavast kaugusest 2,0000. Väljavise ja tihenemine on üks ja sama sündmus ning põhjus on energiabilansis.

$E = 1.2129 - 2.5000 = - 1.2871 ⟹ a_{m a x} = \frac{G m ^{2}}{2∣ E ∣} = \frac{1}{2 ( 1.2871 )} = 0.3885$

Allikad (1)

Sundman's convergent series in t^(1/3): K. F. Sundman, "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36, 105–179, 1913.

YouTube (1)

StarTalk·Neil deGrasse Tyson Explains The Three-Body Problem

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.