Jäätmaa signaalimikser

Häälesta kolm harmoonilist amplituudi ja mürarõngast, et leida peidetud kummitussignaal jäätmaa staatikast.

Näidisarvutus — Jäätmaa signaalimikser

RMS	0.73
Tippväärtus	1.26
Selgus	83%
Viga	0.08
Staatiline müra	18%
Baassagedus	3x

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Iga sakiline laine on siledate lainete virn 🖖

Iga perioodilist lainet, ükskõik kui sakiline see ka poleks, saab ehitada, virnastades siinuslaineid baassageduse täisarvkordsetel — põhitoon pluss selle harmoonikud. Fourier' idee toimib ka vastupidi: keeruka signaali, olgu see hääl, raadiosaade või jäätmaa staatika, saab lahutada tagasi samadeks siinuskomponentideks. Ülaltoodud selguse skoor on tegelikult sinu segu ja peidetud kummituslaine vahelise taastamisvea pöördväärtus — sama liiki matemaatika, mida kasutavad päris raadiovastuvõtja filtrid müra eemaldamiseks signaalist või JPEG pildi tihendamiseks vaid mõne domineeriva sageduseni.

Sama helikõrgus, teine kuju 🖖

Põhisageduse liugur määrab helikõrguse — kui tihti kogu laine kordub —, samal ajal kui kolm amplituudiliugurit vaid muudavad selle kuju. Kuna iga ülemtoon on põhisageduse täpne täisarvkordne, rikastab nende kuhjamine laine iseloomu, muutmata kordumissagedust. Just seepärast kõlavad flööt ja viiul sama nooti mängides selgelt erinevalt, kuid jagavad üht helikõrgust: sama põhitoon, erinev ülemtoonide segu. Kummitussignaali tabamiseks pead leidma mõlemad — helikõrguse ja segu.

Helikõrgus, mille kõrv ise loob 🖖

Kummitussignaal toetub oma põhitoonile sagedusel 3, kuid tegelikult su kõrv seda ei vaja. Eemalda põhitoon ja jäta alles vaid kõrgemad ülemtoonid — aju kuuleb ikkagi seda algset madalat helikõrgust; seda veidrust nimetatakse puuduvaks põhitooniks. Just seepärast suudab pisike telefonikõlar, mis füüsiliselt ei liiguta sügava bassi jaoks piisavalt õhku, panna sind seda ometi kuulma, taastades põhitooni ainuüksi ülemtoonide vahekauguste järgi.

Ülesanded täielikult lahendatud

0,73 RMS avaldisest y = 0.90·sin(3x) + 0.45·sin(6x) + 0.25·sin(9x) 5 sammu
Aktiivne võrrand on y = 0,90·sin(3x) + 0,45·sin(6x) + 0,25·sin(9x) ning statistikakast annab selle RMS-iks 0,73. Tuletage see 0,73 üksnes amplituudidest — ja pange tähele, mis arvutusse üldse ei sisene.
1. RMS tähendab täpselt seda, mida nimes väljendatakse: võta laine ruutu, leia selle keskväärtus üle terve tsükli ja võta tulemusest ruutjuur. Summa ruutu võtmine jätab iga harmooniku kohta ühe ruudu ja iga paari kohta ühe segakorrutise, seega taandub kogu küsimus sellele, mida teevad segakorrutised.
  
  $y_{rms} = \overline{y^{2}}, \overline{f} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f d x$
2. Need ei tee midagi. sin(3x)·sin(6x) avaldub kui pool cos(3x)-st miinus pool cos(9x)-st ning koosinuse terve tsükli keskväärtus on 0; samasugune taandumine toimub iga paari puhul. Tööriista enda arvutuses on see taandumine ligikaudse asemel täpne, sest see liidab 180 sämplit üle ühe perioodi ning 3, 6 ja 9 jagavad kõik arvu 180.
  
  $\overline{sin m x sin n x} = 0 (m \neq = n), \overline{sin^{2} n x} = \frac{1}{2}$
3. Need 3 ruutu jäävad alles ning igaühe keskväärtus on 0,5. Seega on ruutude keskväärtus pool summast 0,81 + 0,2025 + 0,0625. Võimsused liituvad; amplituudid mitte.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}) = \frac{1}{2} (0.81 + 0.2025 + 0.0625)$
4. Pool arvust 1,075 on 0,5375, mille ruutjuur on 0,7331 — see 0,73 kastis.
  
  $\overline{y^{2}} = 0.5375 ⟹ y_{rms} = 0.5375 = 0.7331 \to 0.73$
5. Vaadake tagasi, mis arvutusse läks: 3 amplituudi ja ei midagi muud. Ei faasi ega sagedust. Põhisageduse kang katab vahemiku 1x kuni 8x ja mitte ükski neist asenditest ei nihuta RMS-i väärtuselt 0,73. Tipuväärtus on teine asi: |y| ei saa kunagi ületada väärtust 0,90 + 0,45 + 0,25 = 1,60, kuid see, kui lähedale see jõuab, sõltub täielikult sellest, kas need 3 harja langevad kokku. Seetõttu ulatub harjutegur siin kuni 2,18-ni, samas kui üksiku siinuse puhul on see fikseeritud väärtusele 1,414.
  
  $∣ y ∣ \leq A_{1} + A_{2} + A_{3} = 1.60, \frac{1.60}{0.7331} = 2.18 (2 = 1.414)$
Vastus

RMS 0,73, mis tuleneb 3 kangi asendist ja ei millestki muust. Jagades arvu 1,075 liikmete kaupa, moodustab põhiharmoonik sellest 75,3%, teine harmoonik 18,8% ja kolmas 5,8% — seega 24,7% sellest, mida see saatja kiirgab, asub kõrgemal noodist, mille järgi see on nimetatud. Sellel suhtel on standardne nimetus, nelineaarmoonutustegur, √(A₂² + A₃²) / A₁ = 57,2%, ja ükski kast paneelil seda ei kuva. Samuti ei eralda paneel 2 piirangut, mille vastu need kangid põrkuvad. Keskmine võimsus järgib RMS-i, mis, nagu 5. samm näitas, on faasi suhtes tundetu. Dünaamiline varu järgib tipuväärtust, mis ei ole faasi suhtes sugugi tundetu: samad 3 amplituudi piiravad laine väärtusega 1,60 ning see, kus vahemikus 0,73 kuni 1,60 see tegelikult asub, on määratud üksnes faasiga. RMS-näit vastab võimsuse küsimusele ja vaikib teise suhtes.

$THD = \frac{A _{2}^{2} + A _{3}^{2}}{A _{1}} = \frac{0.265}{0.90} = 57.2%$
Väikseim lahknevus, mida 3 amplituudikangi suudavad saavutada 5 sammu
See on Staatiline põrgu: kangid on asendites 0,50, 0,60 ja 0,40 ning põhisagedus on 5x, seega on edastatav laine y = 0,50·sin(5x) + 0,60·sin(10x) + 0,40·sin(15x). Jahitav kummitussignaal põhineb sagedusel 3x, harmoonikutega sagedustel 6x ja 9x. Leidke väikseim lahknevus, mida 3 amplituudikangi suudavad saavutada, kui sagedus jääb samaks.
1. Tähistage lahknevus d = y − g ja võtke see ruutu. Keskmistamine üle tsükli jagab d² teie laine ruutkeskmiseks, kummitussignaali omaks ja segaliikmeks. Ainult segaliige saab olla negatiivne, seega saab ainult segaliige midagi tühistada.
  
  $d = y - g, \overline{d^{2}} = \overline{y^{2}} - 2 \overline{y g} + \overline{g^{2}}$
2. Siin ei saa see seda teha. Iga korrutis selle sees paarib harmooniku hulgast {5, 10, 15} harmoonikuga hulgast {3, 6, 9}; neil hulkadel pole ühtegi ühist liiget; ning erinevate täisarvuliste sagedustega siinuste korrutise keskväärtus üle perioodi on 0. Segaliige ei ole väike. See on 0.
  
  ${5, 10, 15} \cap {3, 6, 9} = \emptyset ⟹ \overline{y g} = 0$
3. Järele jääb 2 mittenegatiivse osa summa ja kangid mõjutavad ainult esimest. Teie oma on pool summast 0,25 + 0,36 + 0,16, mis on 0,385, ning selle ruutjuur 0,6205 on 0,62, mida paneel kuvab RMS-ina.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (0.25 + 0.36 + 0.16) = 0.385 ⟹ y_{rms} = 0.6205 \to 0.62$
4. Nõnda allub lahknevus tingimusele d_rms ≥ 0,62, milline tahes see kummitussignaal ka ei oleks — selle väitmiseks ei pea te teadma ühtegi selle amplituudi. Veakast (Error) ei näita väärtust 0,62, sest see keskmistab ruutu võetud erinevuse asemel absoluutse erinevuse; tõke on sama laine teistsugusel keskmisel.
  
  $\overline{d^{2}} = 0.385 + \overline{g^{2}} \geq 0.385 ⟹ d_{rms} \geq 0.62$
5. Sagedusel 5x muudab iga tõstetud kang lahknevuse suuremaks ning miinimum saavutatakse siis, kui 0,50, 0,60 ja 0,40 on kõik viidud väärtusele 0. Sagedusel 3x langevad need 2 harmoonikute hulka hoopis kokku, vahelainel on amplituudid A_i − G_i ning need samad 3 kangi suudavad viia lahknevuse täpselt väärtusele 0.
  
  $f = 3 : \overline{d^{2}} = \frac{1}{2} i \sum (A_{i} - G_{i})^{2} A_{i} \to G_{i} 0$
Vastus

Parim, mida need kangid sagedusel 5x teha suudavad, on end välja lülitada: mitte midagi edastada on parem kui edastada seda. See muudab sageduse reguleerimise väravaks, mitte lihtsaks häälestuseks. 3 sujuvat liugurit ei ole väärt vähimatki, kuni 1 täisarv pole õige, ning ükskõik kui suur hoolikus nendega ei anna murdosa lukustumisest — mis on rangem reegel, kui üks häälestusmäng tavaliselt eeldab. Samuti annab see RMS-kastile teise ülesande. Tavaliselt teatab see, kui vali sa oled; kui põhisagedus on vale, on see alumiseks piiriks sellele, kui valesti sa eksid, sest kogu sinu võimsus satub veasse selle asemel, et tühistada midagi kummituse omast. Ortogonaalsus on see, mis muudab värava absoluutseks: 2 lainet, mis põhinevad täisarvuliste harmoonikute ühisosata hulkadel, ei saa teineteist tühistada ega vähendada vähimalgi määral, ükskõik kuidas te neid ka ei skaalaks.

$A_{1}, A_{2}, A_{3} min \overline{d^{2}} = \overline{g^{2}}_{A_{1} = A_{2} = A_{3} = 0}$

Allikad (2)

The decomposition the clarity score is built on: J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, Paris, 1822.
The same transform as used in image compression: N. Ahmed, T. Natarajan and K. R. Rao, "Discrete Cosine Transform." IEEE Transactions on Computers C-23(1), 90–93, 1974.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-29

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Loodete Tsoon õppetunnid →

Näiteülesanded

Puhas signaal - Puhas põhitoon: y = sin(3x) — üks harmoonik, müra puudub
Doof Warrior - Kolme harmoonikuga segu sagedusel freq=3 ja mõõduka müraga — vaikimisi kõrbemaailma ülekanne
Staatika põrgu - Tugev müra sagedusel freq=5 — selgus langeb alla 10%
Kummituse vaste - Sihtmärgile lähedane segu — peenhäälesta, et lukustuda kummitussignaalile