Convertisseur de taille angulaire

La formule des petits angles θ ≈ D/d est une approximation au premier ordre de la relation exacte θ = 2 arctan(D/2d). La formule exacte découle de la géométrie : l'observateur voit une corde de longueur D à une distance d, et l'angle total vaut deux fois l'arctangente de la demi-corde divisée par la distance. L'approximation fonctionne car arctan(x) ≈ x pour les petites valeurs de x. Pour la Lune (D ≈ 3475 km, d ≈ 384 000 km), le rapport D/d ≈ 0,0090, et l'erreur n'est que de 0,002 %. À 10°, l'erreur atteint déjà 0,25 % ; à 60°, elle atteint 15 %. En astronomie, presque toutes les cibles vérifient D ≪ d, si bien que l'approximation reste valable à quelques parties par million près — mais pour des objets proches (un terrain de football vu à 50 m, une planète lors d'un survol rapproché), la formule de l'arctangente devient importante.

La taille angulaire mesure la grandeur apparente d'un objet, pas sa taille réelle — un angle, non une longueur. Un gratte-ciel lointain et une pièce tenue à bout de bras peuvent sembler identiques, car taille et distance se compensent dans le rapport D/d. Le Soleil est environ 400 fois plus large que la Lune, mais aussi environ 400 fois plus loin, si bien que les deux couvrent près de 0.5° dans le ciel — la coïncidence qui rend possibles les éclipses solaires totales.

L'idée du petit angle suppose un espace plat et statique, mais la cosmologie la met en défaut. Comme l'univers s'est dilaté pendant que la lumière ancienne voyageait vers nous, la distance de diamètre angulaire n'est pas monotone : elle atteint un maximum vers un décalage vers le rouge z ≈ 1.6. Une galaxie de taille fixe rétrécit donc dans le ciel seulement jusque-là — au-delà, les galaxies plus lointaines (et plus jeunes) paraissent en réalité plus grandes, et non plus petites.