Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences

Convertisseur d'unités astronomiques

Bascule entre le mode longueur (m, km, UA, al, pc) et le mode angle (rad, degrés, minutes d'arc, secondes d'arc).

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Le parsec existe pour que personne n’ait à convertir 🖖

Le parsec semble une unité incommode jusqu’à ce qu’on voie son origine : c’est la distance à laquelle 1 UA sous-tend exactement 1 seconde d’arc, si bien que distance en parsecs = 1 / parallaxe en secondes d’arc. Une étoile qui oscille d’une demi-seconde d’arc au cours de l’année est à 2 pc, et aucune constante n’intervient dans cette étape. Comme 1 seconde d’arc vaut 4,8481 × 10⁻⁶ radian, un parsec fait 206 264,8 UA, soit 3,2616 années-lumière. Les années-lumière se lisent mieux dans un texte, d’où la préférence du journalisme, mais toute mesure de parallaxe tombe d’abord en parsecs et n’est convertie qu’ensuite pour le lecteur.

Deux types de mesure, gardés séparés 🖖

En astronomie, on ne peut pas poser une règle contre une étoile. On mesure deux choses très différentes : la distance qui sépare les objets (longueur) et la taille sous laquelle ils apparaissent dans le ciel (angle). Elles ne sont pas interchangeables, donc ce convertisseur garde les modes longueur et angle séparés et ne les mélange jamais. Connaissant la taille angulaire d'un objet et sa distance, l'approximation des petits angles taille ≈ angle × distance transforme des secondes d'arc en kilomètres réels.

AU ne dépend plus de l'orbite terrestre 🖖

On s'attendrait à ce que l'unité astronomique soit simplement la distance de la Terre au Soleil — mais depuis 2012 l'Union astronomique internationale la définit par convention comme une longueur fixe exacte, 149,597,870,700 m. Elle ne suit plus l'orbite réelle de la Terre, qui varie au fil de l'année et dérive même lentement à mesure que le Soleil perd de la masse. Ici, AU est donc une constante définie, comme le mètre lui-même, et non une nouvelle mesure de la position de la Terre.

Problème entièrement résolu

  1. Construction d'un parsec en mètres et en années-lumière à partir de 1 seconde d'arc 6 étapes

    Un parsec est la distance à laquelle le rayon de l'orbite terrestre sous-tend exactement 1 seconde d'arc. Construisez-le à partir de cette définition — d'abord en mètres, puis en années-lumière. Il s'agit du mode longueur convertissant 1 pc en ly. Chaque donnée ici est une définition plutôt qu'une mesure : 1 au = 1,495978707 × 10¹¹ m, c = 2,99792458 × 10⁸ m/s, et une année de 365,25 jours.

    1. La trigonométrie ne sait pas ce qu'est un degré, il faut donc d'abord exprimer l'angle en radians. Un tour complet vaut 2π radians et également 1 296 000 secondes d'arc, ce qui fixe la conversion sans aucune constante à chercher.

    2. Tracez le triangle rectangle : l'au est le petit côté, la distance à l'étoile est le grand côté, et l'angle de parallaxe se situe au niveau de l'étoile. Le parsec est la valeur de d pour laquelle cet angle vaut 1 seconde d'arc.

    3. Voici l'étape sur laquelle il convient de s'arrêter, car elle est généralement admise sans explication. Remplacer la tangente de 1 seconde d'arc par l'angle lui-même n'est pas gratuit — le premier terme correctif est θ³/3, le coût relatif est donc θ²/3, soit environ 8 parties pour 10¹². La valeur convertie est affichée avec 4 chiffres significatifs, il en faudrait donc 12 avant que l'approximation ne devienne visible.

    4. Diviser par cet angle revient à multiplier par 648 000/π. Ce facteur constitue tout le contenu du parsec.

    5. L'année-lumière exige la même attention quant au choix de l'année. Il s'agit de l'année julienne, 365,25 jours exactement, et c est exacte par définition, ce produit est donc lui aussi exact.

    6. Divisez. Aucun de ces deux nombres ne provient d'une observation, le rapport relève donc d'une arithmétique exacte — ses chiffres s'arrêtent là où l'affichage s'arrête, et non là où s'arrêterait une incertitude.

    Réponse

    1 pc = 3,086 × 10¹⁶ m = 3,262 ly. Le facteur qui a fait tout le travail, 648 000/π = 206 265, est le nombre de secondes d'arc dans un radian — le parsec n'est donc pas du tout une nouvelle échelle astronomique, c'est le radian réécrit dans l'unité avec laquelle les astronomes mesurent réellement les angles. C'est pourquoi la distance d'une étoile en parsecs est égale à 1 divisé par sa parallaxe en secondes d'arc, sans constante devant : la constante a été consommée lors de la définition de l'unité. L'inverse est ce qui rend l'échelle si facile à parcourir : réduisez la parallaxe d'un facteur 1000, à 1 milliseconde d'arc, et l'étoile s'éloigne à 1000 pc — soit 3 262 ly, les 4 mêmes chiffres avec la virgule déplacée.

Références (1)

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