Calculateur d'effet Doppler astronomique

Saisis les valeurs spectrales au repos et observées pour estimer z et comparer la vitesse classique à la vitesse relativiste.

Exemple résolu — Calculateur d'effet Doppler astronomique

651.66 nm	664.62 nm
Vitesse relativiste	1694.501 km/s
Différence entre modèles	0.2842%
Décalage vers le rouge z	0.00566831

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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À grand décalage vers le rouge, le raccourci v = zc rend trois fois la vitesse de la lumière 🖖

L’outil affiche la vitesse relativiste et la vitesse classique v = zc côte à côte, et l’écart entre les deux est tout l’intérêt. Pour les deux préréglages hydrogène, z vaut environ 0,006 et les deux concordent au chiffre près : le raccourci est inoffensif. Charge ensuite le préréglage quasar : Lyman-α est passé de 121,567 nm à 486,268 nm, exactement quatre fois sa longueur d’onde au repos, donc z = 3. Là, v = zc donne 3c — trois fois la vitesse de la lumière — tandis que le β relativiste = ((1+z)² − 1)/((1+z)² + 1) donne 0,882c. Le raccourci surestime la vitesse de 240 % et casse la physique au passage.

Ce que mesure vraiment un décalage vers le rouge 🖖

Une raie spectrale est une empreinte fixe : au repos, l'hydrogène émet toujours à 656.28 nm. Repérez où vous voyez réellement cette raie : si elle glisse vers une longueur d'onde plus grande (plus rouge), la source s'éloigne ; plus courte (plus bleue), elle s'approche. Le décalage vers le rouge z est simplement l'étirement relatif. Voir H-alpha à 660 nm au lieu de 656.28 nm donne z ≈ 0.0057, soit une vitesse de récession d'environ 1700 km/s.

Le décalage vers le rouge dépasse 100% sans briser c 🖖

Chargez le préréglage du quasar : Lyman-alpha passe de 121.567 nm à 486.268 nm, donc z = 3 et la raie quadruple (1 + z = 4). Le naïf v = zc annoncerait trois fois la vitesse de la lumière — impossible. La formule relativiste β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) donne au contraire 15/17 ≈ 0.88, bien en dessous de c. Aussi grand que devienne z, β n'atteint jamais 1.

Problème entièrement résolu

Vitesse de récession quand la raie hydrogène alpha d'une galaxie est à 660,00 nm 6 étapes
La raie hydrogène-alpha d'une galaxie se situe à 660,00 nm au lieu de 656,28 nm. Calculez sa vitesse de récession de manière rigoureuse, et déterminez si la formule scolaire v = cz est suffisante ici — et là où elle cesse de l'être.
1. Le décalage vers le rouge est défini comme la variation relative de la longueur d'onde, et c'est la seule grandeur mesurée sur cette page. Tout ce qui suit n'est que du calcul arithmétique à partir de cette valeur.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{660.00 - 656.28}{656.28} = 0.00566831$
2. La formule de l'effet Doppler relativiste pour une source s'éloignant en ligne droite combine le décalage classique et la dilatation du temps. Inversez-la pour exprimer β — élever les deux membres au carré réduit la réorganisation à une seule ligne.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1}$
3. Effectuez la substitution. Le numérateur vaut essentiellement 2z et le dénominateur essentiellement 2, c'est pourquoi le résultat est si proche de z aux faibles décalages vers le rouge, et pourquoi l'accord doit nécessairement rompre dès lors que z² n'est plus négligeable.
  
  $(1 + z)^{2} = 1.01136877, β = \frac{0.01136877}{2.01136877} = 0.0056522$
4. Multipliez par c selon les deux méthodes et comparez. L'écart de 4,8 km/s est bien plus faible que la vitesse propre d'une galaxie au sein d'un amas ; à ce décalage vers le rouge, le choix de la formule ne constitue donc pas l'erreur limitante.
  
  $v_{rel} = β c = 1694.501 km/s; v_{class} = z c = 1699.317 km/s; Δ = 0.2842%$
5. Faites croître z et les deux expressions divergent. L'expression classique n'a aucun plafond ; l'expression relativiste intègre β → 1 directement dans sa structure algébrique.
  
  $z = 0.1 \Rightarrow β = 0.09502 (classical is 5.24% high); z = 1 \Rightarrow β = 0.600 (classical gives c)$
6. Une étape supplémentaire transforme la vitesse en distance. La loi de Hubble avec H₀ = 70 km/s/Mpc situe cette galaxie à environ 24 Mpc — bien au-delà du Groupe local, une distance qu'aucune autre donnée de la mesure n'aurait pu fournir.
  
  $d = \frac{v}{H _{0}} = \frac{1694.5}{70} = 24.2 Mpc \approx 79 million light years$
Réponse

1694,501 km/s, contre 1699,317 km/s avec v = cz — soit une surestimation de 0,28 %. À ce décalage vers le rouge, l'approximation est sans danger. Elle reste pertinente un moment puis échoue brutalement : à z = 0,1 elle est trop haute de 5,2 %, et à z = 1 elle donne exactement c, ce qui n'est pas une grande erreur mais une réponse impossible. La forme relativiste ne peut pas produire cela, car β = ((1+z)²−1)/((1+z)²+1) tend vers 1 par valeurs inférieures quel que soit le grandissement de z. Fournissez-lui z = 5 et elle donne 0,946c ; fournissez z = 5 à la formule simplifiée et elle donne cinq fois la vitesse de la lumière.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} \Rightarrow v = 1694.501 km/s$

Références (1)

The relativistic treatment this tool uses rather than the classical shortcut — the Doppler section is §7: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322, 891–921, 1905.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-06

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Exemples de problèmes

H-alpha s'éloignant - Un décalage de la raie H-alpha vers une longueur d'onde plus grande indique un éloignement (décalage vers le rouge).
H-alpha se rapprochant - Une longueur d'onde observée plus courte indique un rapprochement (décalage vers le bleu).
Source radio à 21 cm - Une fréquence de 21 cm observée plus basse correspond à un décalage vers le rouge positif.
Quasar à z élevé - Cas de grand z où la correction relativiste de la vitesse devient essentielle.