Lentille gravitationnelle

Une lentille massive courbe la lumière d'une source d'arrière-plan. Ajustez la masse, les distances et le décalage de la source pour explorer les anneaux d'Einstein et les paires d'arcs.

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Les lentilles pèsent ce qui ne brille jamais 🖖

Le rayon d’Einstein θ_E calculé par cet outil ne dépend que de la masse de la lentille et des trois distances. La luminosité n’intervient pas. La lentille gravitationnelle offre ainsi une rare méthode de mesure qui n’exige aucune émission de la masse étudiée. C’est essentiel puisque, pour l’essentiel, la matière n’émet rien : selon l’ajustement des données de Planck publié en 2018, la matière noire froide représente environ 26,1 % de la densité d’énergie, contre 4,9 % pour la matière ordinaire, soit un rapport supérieur à cinq contre un. Si vous estimez la masse d’une galaxie d’avant-plan à partir de sa lumière stellaire, l’essentiel vous échappe ; mesurez plutôt la déviation qu’elle impose à la lumière d’un quasar situé derrière elle, et vous obtenez toute la masse présente sur la ligne de visée, qu’elle soit lumineuse ou non. Le premier anneau d’Einstein complet n’a d’ailleurs pas été observé dans le visible, mais dans l’infrarouge : B1938+666, photographié avec la caméra NICMOS de Hubble et décrit par King et ses collaborateurs en 1998.

Une galaxie en guise de loupe 🖖

Toute concentration de masse courbe l'espace autour d'elle, et la lumière qui passe à proximité suit cette courbure : une galaxie au premier plan dévie ainsi la lumière d'un objet plus lointain situé derrière elle. Au lieu d'une seule image, on en voit deux, un arc ou un anneau complet, chacune étant amplifiée. Plus la lentille est massive et l'alignement précis, plus le rayon d'Einstein θ_E que calcule cet outil est grand. Les astronomes s'en servent comme d'un téléobjectif gratuit pour étudier des galaxies trop faibles pour être vues directement.

Une lentille qui focalise sur une ligne, pas un point 🖖

Une lentille gravitationnelle est un instrument optique étonnamment médiocre. Une lentille convergente en verre dévie d'autant plus les rayons qu'ils passent loin du centre et concentre la lumière parallèle en un foyer unique ; la gravité fait l'inverse — la déviation α = 4GM/(c²b) croît à mesure que la lumière frôle la masse. Les rayons parallèles ne se rejoignent donc jamais en un point, mais s'accumulent le long d'une ligne s'étendant à l'infini. C'est précisément ce 'défaut' qui étale les sources en anneaux et en arcs plutôt qu'en points nets.

Problème entièrement résolu

Une lentille de 10¹² masses solaires à mi-chemin d'une source à 1 000 Mpc 6 étapes
Une lentille de 10¹² masses solaires située à mi-chemin d'une source distante de 1000 Mpc. Déterminez le rayon d'Einstein, puis ce qui fait tout l'intérêt des lentilles gravitationnelles.
1. Une seule formule, et la géométrie réside entièrement dans la combinaison des distances. Remarquez qu'il ne s'agit pas de la distance à la lentille ou à la source, mais du rapport D_LS/(D_LD_S) — une lentille située à mi-chemin a une valeur bien supérieure à une lentille placée juste devant la source.
  
  $θ_{E} = \frac{4 GM}{c ^{2}} \cdot \frac{D _{L S}}{D _{L} D _{S}} M = 1 0^{12} M_{⊙}, D_{L} = 500, D_{S} = 1000, D_{L S} = 500 Mpc$
2. Considérez d'abord le facteur de masse. 10¹² masses solaires correspondent à une galaxie, et 4GM/c² est une longueur d'environ six millions de milliards de mètres — ce qui semble énorme et représente environ une demi-année-lumière.
  
  $\frac{4 GM}{c ^{2}} = \frac{4 ( 6.674 \times 1 0 ^{- 11} ) ( 1.989 \times 1 0 ^{42} )}{8.988 \times 1 0 ^{16}} = 5.908 \times 1 0^{15} m$
3. Le facteur de distance est l'inverse d'une longueur, et avec ces trois distances, il se réduit exactement à un sur 1000 Mpc.
  
  $\frac{D _{L S}}{D _{L} D _{S}} = \frac{500}{500 \times 1000 Mpc} = \frac{1}{1000 Mpc} = 3.241 \times 1 0^{- 26} m^{- 1}$
4. Multipliez, prenez la racine carrée, puis convertissez. Un radian vaut 206 265 secondes d'arc, ce qui est la constante même qui définit le parsec.
  
  $θ_{E}^{2} = 1.915 \times 1 0^{- 10} ⟹ θ_{E} = 1.384 \times 1 0^{- 5} rad \times 206265 = 2.85 4^{''}$
5. En multipliant l'angle par la distance à la lentille, on obtient le rayon physique de l'anneau au niveau de la lentille — la région de la galaxie dont la masse produit la déviation.
  
  $R_{E} = θ_{E} D_{L} = 1.384 \times 1 0^{- 5} \times 500 Mpc = 6.92 kpc$
6. Enfin, résolvez la même équation dans l'autre sens.
  
  $M = \frac{c ^{2}}{4 G} θ_{E}^{2} \frac{D _{L} D _{S}}{D _{L S}}$
Réponse

2,854 secondes d'arc, et tout le bénéfice tient dans la dernière ligne : on peut l'inverser. Réorganisée pour isoler M, la même équation transforme un angle mesuré et deux distances en une masse — sans jamais s'interroger sur la composition de cette masse. Aucune lumière ne doit en provenir, aucune orbite n'a besoin d'être chronométrée, aucune hypothèse sur la température ou l'ionisation n'intervient. C'est pourquoi l'effet de lentille est l'instrument de choix pour peser ce qui ne brille pas : les cartes de masse d'amas, et les mesures qui ont fait de la matière noire une quantité plutôt qu'un adjectif. La figure montre l'autre moitié de la réponse. Deux rayons partent de la source, passent de part et d'autre de la lentille et arrivent ensemble ; faites tourner l'ensemble du schéma autour de l'axe en tirets et la paire d'images devient un anneau.

$θ_{E} = 2.85 4^{''}, R_{E} = 6.92 kpc$

Références (4)

The dark-matter and baryon fractions quoted in the first block: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.
The first complete Einstein ring — imaged in the infrared, not in visible light: L. J. King, N. J. Jackson, R. D. Blandford et al., "A complete infrared Einstein ring in the gravitational lens system B1938+666." Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 295, L41–L44, 1998.
Strong lensing as a mass measurement, reviewed: T. Treu, "Strong Lensing by Galaxies." Annual Review of Astronomy and Astrophysics 48, 87–125, 2010.
The deflection α = 4GM/(c²b) and the Einstein radius: P. Schneider, J. Ehlers and E. E. Falco, Gravitational Lenses, ch. 2 and 8. Springer, 1992. ISBN 978-3-540-66506-9.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-01

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Exemples de problèmes

Anneau d'Einstein - Une galaxie de 10¹² masses solaires située à 500 Mpc, qui agit comme lentille sur une source à 1000, donne θE = 2,854 secondes d’arc. Lorsque la source est exactement derrière elle, les deux images se rejoignent pour former un anneau complet.
Paire d'arcs - La lentille et les distances sont les mêmes que pour l’anneau d’Einstein, mais la source est décalée de 0,8 seconde d’arc par rapport à l’axe. θE reste égal à 2,854 ; l’anneau se sépare en deux images situées à +3,28 et -2,48, tandis que le grossissement, auparavant non borné, tombe à 3,67.
Lentille d'amas - En multipliant la masse par cent, vous multipliez le rayon d’Einstein par dix, car θE est proportionnel à la racine carrée de M : 29,87 secondes d’arc. La source se trouve à un centième de ce rayon et son image est grossie près de cent fois.
Microlentille - Une masse solaire située à 8 kpc donne θE = 0,71 milliseconde d’arc, soit quatre mille fois moins que pour l’anneau galactique. Une séparation aussi faible ne peut pas être résolue : c’est pourquoi une microlentille se manifeste par une augmentation de luminosité, et non par deux images distinctes.